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大学物理 第4章 功和能 · 速览版

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§4.1 动能定理与功

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质点的动能定理

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  • 推导前提：不考虑相对论效应，mm 为常量，取 F⃗=mdv⃗dt\vec F=m\dfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}。
  • 核心微分关系（12mv2\tfrac12mv^2 即动能 KK）：
F⃗⋅dr⃗=d ⁣(12mv2)=dK\vec F\cdot\mathrm d\vec r=\mathrm d\!\left(\tfrac12mv^2\right)=\mathrm dK
  • 动能 K=12mv2K=\tfrac12mv^2。

功

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  • 元功（点积定义，θ\theta 为 F⃗\vec F 与 dr⃗\mathrm d\vec r 夹角，∣dr⃗∣=ds|\mathrm d\vec r|=\mathrm ds）：
dA=F⃗⋅dr⃗=(Fcos⁡θ) ds\mathrm dA=\vec F\cdot\mathrm d\vec r=(F\cos\theta)\,\mathrm ds
  • 总功为元功沿路径积分；功表征力的空间积累效果，是过程量（依赖路径，非状态量）：
AAB=∫r⃗Ar⃗BF⃗⋅dr⃗A_{AB}=\int_{\vec r_A}^{\vec r_B}\vec F\cdot\mathrm d\vec r

动能定理

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  • 积分形式：合外力对质点做的功等于动能增量。
∫r⃗Ar⃗BF⃗⋅dr⃗=12mvB2−12mvA2\int_{\vec r_A}^{\vec r_B}\vec F\cdot\mathrm d\vec r=\tfrac12mv_B^2-\tfrac12mv_A^2
  • 微分形式：F⃗⋅dr⃗=d ⁣(12mv2)\vec F\cdot\mathrm d\vec r=\mathrm d\!\left(\tfrac12mv^2\right)。
  • 适用范围（易错点）：与参考系有关，只在惯性系中成立。

功率

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  • 功率等于合外力与速度点积，也等于动能对时间的变化率：
P=dAdt=F⃗⋅v⃗=dKdtP=\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\vec F\cdot\vec v=\frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}

一对作用力与反作用力的功

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  • F⃗ij=−F⃗ji\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}，其元功之和只与相对位移有关（r⃗ji=r⃗i−r⃗j\vec r_{ji}=\vec r_i-\vec r_j）：
dA=F⃗ij⋅dr⃗ji\mathrm dA=\vec F_{ij}\cdot\mathrm d\vec r_{ji}
  • 该功取决于两受力质点的相对位移，与参考系无关。
  • 判据：力有沿相对位移分量（如摩擦力）则做功不为零；垂直于相对位移（如法向力）则为零。一对作用反作用力的功一般不为零。
  • 例（楔块光滑、斜面有摩擦）：dAf=F⃗f⋅dr⃗ji≠0\mathrm dA_f=\vec F_f\cdot\mathrm d\vec r_{ji}\neq0；dAN=F⃗N⋅dr⃗ji=0\mathrm dA_N=\vec F_N\cdot\mathrm d\vec r_{ji}=0（F⃗N⊥dr⃗ji\vec F_N\perp\mathrm d\vec r_{ji}）。

质点系的动能定理

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  • 受力分外力、内力。对各质点求和：所有外力与内力做功之和等于系统动能增量。
Ae+AI=K−K0A_e+A_I=K-K_0
  • 要点：与单质点不同，系统动能改变还含内力的功 AIA_I；内力（成对）一般也改变总动能。

§4.2 保守力与势能

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三种保守力做功（均与路径无关，只取决始末位置）

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力做功 ∫abF⃗⋅dr⃗\displaystyle\int_a^b\vec F\cdot\mathrm d\vec r
重力（zz 向上为正，F⃗=−mgk⃗\vec F=-mg\vec k）−(mgzb−mgza)-(mgz_b-mgz_a)
万有引力（F⃗=−GMmr3r⃗\vec F=-G\frac{Mm}{r^3}\vec r，吸引）−[(−GMmrb)−(−GMmra)]-\left[\left(-G\frac{Mm}{r_b}\right)-\left(-G\frac{Mm}{r_a}\right)\right]
弹性力（F⃗=−kxi⃗\vec F=-kx\vec i，指向平衡位置）−(12kxb2−12kxa2)-\left(\tfrac12kx_b^2-\tfrac12kx_a^2\right)

保守力与非保守力

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  • 保守力：做功只与始末位置有关、与路径无关（重力、万有引力、弹性力、静电力…）。非保守力：做功与路径有关（摩擦力、回旋力…）。
  • 判据：保守力沿任意闭合路径做功为零，等价于做功与路径无关。
∮LF⃗⋅dr⃗=0\oint_L\vec F\cdot\mathrm d\vec r=0

势能 UU 与势能零点

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  • 保守力做功等于势能增量的负值：
∫abF⃗⋅dr⃗=−(Ub−Ua)\int_a^b\vec F\cdot\mathrm d\vec r=-(U_b-U_a)
  • 取 bb 为势能零点（Ub=0U_b=0）时，Ua=∫abF⃗⋅dr⃗U_a=\displaystyle\int_a^b\vec F\cdot\mathrm d\vec r。
势能表达式零点
重力势能U=mgzU=mgzz=0z=0
引力势能U=−GMmrU=-G\dfrac{Mm}{r}r→∞r\to\infty
弹性势能U=12kx2U=\tfrac12kx^2x=0x=0

保守力与势能的微分关系

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  • F⃗⋅dr⃗=−dU\vec F\cdot\mathrm d\vec r=-\mathrm dU，分量 Fx=−∂U∂x, Fy=−∂U∂y, Fz=−∂U∂zF_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x},\,F_y=-\dfrac{\partial U}{\partial y},\,F_z=-\dfrac{\partial U}{\partial z}。
  • 梯度算符 ∇=i⃗∂∂x+j⃗∂∂y+k⃗∂∂z\nabla=\vec i\dfrac{\partial}{\partial x}+\vec j\dfrac{\partial}{\partial y}+\vec k\dfrac{\partial}{\partial z}，则 F⃗=−∇U\vec F=-\nabla U。
  • 径向分量：Fr=−∂U∂rF_r=-\dfrac{\partial U}{\partial r}。

判断保守力的方法

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  • 环路积分判据：保守力沿任意闭合路径满足 ∮LF⃗⋅dr⃗=0\oint_L\vec F\cdot\mathrm d\vec r=0；若能找到一条闭合路径使积分非零，则非保守。
  • 平面情形偏导判据：在无奇点、单连通区域且偏导连续时，可用 ∂Fx∂y=∂Fy∂x\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=\dfrac{\partial F_y}{\partial x} 判别（来自 F⃗=−∇U\vec F=-\nabla U 与二阶混合偏导相等）。
  • 力场判别：均匀平行场、径向场为保守力；杂乱发散场、涡旋（环流）场为非保守力。
  • 判别策略：判“保守”须对任意闭合路径成立（取一般路径）；判“非保守”只需举出一条环路积分非零的路径。
  • 由势能求功：A=−(Ub−Ua)A=-(U_b-U_a)，与路径无关，代入始末坐标即得。

势能曲线

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  • 径向力 Fr=−dUdrF_r=-\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dr}；平衡位置在 dUdr=0\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dr}=0（势能极小处 r0r_0，Fr=0F_r=0）。
  • 机械能 E=K+UE=K+U，因 K≥0K\ge0 故 E≥UE\ge U，质点只能在 U≤EU\le E 区域运动。
  • 势能曲线作用：判各位置保守力的大小方向；据曲线形状讨论运动。
  • 一维 Fx=−dUdxF_x=-\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dx}，平衡处 dUdx=0\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dx}=0；极小点为稳定平衡（有回复力），极大点为不稳定平衡，另有随遇平衡。
  • 极大处为势垒、极小处为势阱，质点可在势阱内振动。

由势能曲线求振动周期

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  • 由 12m(dxdt)2+U(x)=E2\tfrac12m\left(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2+U(x)=E_2 分离变量，往返两段相加得周期：
T=2m2∫x1x2dxE2−U(x)T=2\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{E_2-U(x)}}

单个质点的机械能守恒

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  • 当 F⃗\vec F 为保守力时，∫abF⃗⋅dr⃗=−ΔU=ΔK\int_a^b\vec F\cdot\mathrm d\vec r=-\Delta U=\Delta K，故 Δ(K+U)=0\Delta(K+U)=0：
E=K+U=const.E=K+U=\text{const.}
  • 条件：合力（F⃗\vec F）为保守力；适用对象为单个质点。

§4.3 机械能守恒定律

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质点系势能与保守内力的功

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  • 质点系受力分外力与内力，内力又分保守内力、非保守内力。
  • 一对保守内力做功之和只与始末相对位置有关，等于两质点相互作用势能 UijU_{ij} 增量的负值。
  • 质点系势能为各对相互作用势能之和（取 j>ij>i 避免重复）：
U=∑i∑j>iUijU=\sum_i\sum_{j>i}U_{ij}
  • 质点系保守内力的功：ACI=−ΔUA_{CI}=-\Delta U。

功能原理

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  • 由动能定理 Ae+AI=ΔKA_e+A_I=\Delta K，将内力分为非保守内力 ANIA_{NI} 与保守内力 ACI=−ΔUA_{CI}=-\Delta U，机械能 E=K+UE=K+U，移项得功能原理：外力与非保守内力做功之和等于机械能增量。
Ae+ANI=ΔEA_e+A_{NI}=\Delta E

能量守恒与机械能守恒

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  • 孤立系统（Ae=0A_e=0）：ANI=ΔEA_{NI}=\Delta E，即能量守恒和转换定律。ANI>0A_{NI}>0 时其他能转为机械能，ANI<0A_{NI}<0 时机械能转为其他能。
  • 机械能守恒条件：Ae=0A_e=0 且 ANI=0A_{NI}=0，则 ΔE=0\Delta E=0：
K+U=K0+U0K+U=K_0+U_0

质能关系

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  • 动能增量一般式（F⃗=d(mv⃗)dt\vec F=\dfrac{\mathrm d(m\vec v)}{\mathrm dt}，乘积法则展开）：dK=v2 dm+mv dv\mathrm dK=v^2\,\mathrm dm+mv\,\mathrm dv。
  • 由 m=m01−v2/c2m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} 得 mv dv=c2(1−v2c2)dmmv\,\mathrm dv=c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\mathrm dm，代回后 v2v^2 项抵消：dK=c2 dm\mathrm dK=c^2\,\mathrm dm。
  • 由 v=0v=0 时 m=m0, K=0m=m_0,\,K=0 积分，得相对论动能与总能量：
K=mc2−m0c2,E=K+m0c2=mc2K=mc^2-m_0c^2,\qquad E=K+m_0c^2=mc^2
  • 静止能量 E0=m0c2E_0=m_0c^2（由静止质量决定），总能量 = 动能 + 静止能量。
  • 质能关系增量式：ΔE=c2Δm\Delta E=c^2\Delta m。
  • 质量亏损 Δm=Zmp+(A−Z)mn−m\Delta m=Zm_p+(A-Z)m_n-m，原子核结合能 ΔE=c2Δm\Delta E=c^2\Delta m，比结合能 ΔEA\dfrac{\Delta E}{A}。
  • 能量–动量关系：
E2=p2c2+m02c4E^2=p^2c^2+m_0^2c^4