第10-11讲：行列式按行（列）展开与拉普拉斯定理

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关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 余子式 $M_{ij}$ 与代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 的定义
2. ⭐ 行列式按行（列）展开定理：$D = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}$
3. ⭐ 推论：$\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = 0$（当 $i \ne j$ 时）
4. ⭐ 范德蒙行列式公式：$\prod_{1 \le j < i \le n}(x_i - x_j)$
5. ⭐ k阶子式的代数余子式：$A = (-1)^{(i_1+\cdots+i_k)+(j_1+\cdots+j_k)}M$
6. ⭐ 拉普拉斯定理：按k行展开为子式与代数余子式乘积之和
7. ⭐ 行列式乘法法则：$|AB| = |A||B|$
8. ⭐ 方阵行列式性质：$|A^T|=|A|$，$|A^k|=|A|^k$，$|cA|=c^n|A|$
9. 块三角行列式的计算方法
10. 求代数余子式之和的技巧：构造行列式

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第10讲：行列式按行（列）展开

一、余子式与代数余子式

(1) 定义

• 余子式：在 $n$ 阶行列式 $D_n$ 中，划掉元素 $a_{ij}$ 所在的行与列中的所有元素，余下的元素按原来的次序构成的 $n-1$ 阶行列式，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ [来源：p2，定义]

• 代数余子式：称 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，记作 $A_{ij}$，即：

  $$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$

  [来源：p2，定义]

(2) 余子式的具体形式

对 $n$ 阶行列式 $D_n$，元素 $a_{ij}$ 的余子式为：

$$M_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

[来源：p5，公式图示]

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二、行列式按行（列）展开定理

(1) 定理（行列式按行展开）

⭐ n阶行列式D的值等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

$$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{ik} \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$$

[来源：p7，定理]

(2) 定理（行列式按列展开）

$$D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{k=1}^{n} a_{kj}A_{kj} \quad (j = 1, 2, \ldots, n)$$

[来源：p8，公式]

(3) 推论

⭐ n阶行列式D的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的各元素的代数余子式的乘积之和等于零。

• 按行：$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0 \quad (i \ne j)$
• 按列：$a_{1s}A_{1t} + a_{2s}A_{2t} + \cdots + a_{ns}A_{nt} = 0 \quad (s \ne t)$

[来源：p13，推论]

(4) 定理及推论的统一形式

⭐ 设 $D = |a_{ij}|_n$，则：

$$\sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{jk} = \begin{cases} D, & i = j \\ 0, & i \ne j \end{cases}$$ $$\sum_{k=1}^{n} a_{ks}A_{kt} = \begin{cases} D, & s = t \\ 0, & s \ne t \end{cases}$$

[来源：p14-15，公式]

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三、范德蒙行列式

(1) 定理

⭐ 范德蒙（Vandermonde）行列式：

$$D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le n}(x_i - x_j)$$

[来源：p16，公式]

(2) 常用技巧

• 计算范德蒙行列式可通过递推公式得到
• 范德蒙行列式 $D_n \ne 0 \Leftrightarrow x_1, x_2, \ldots, x_n$ 两两不等 【整理自PPT】

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四、行列式的递归定义

(1) 二、三阶行列式的关系

三阶行列式按第一行展开：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$$

[来源：p17，公式]

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五、常用技巧

(1) 求代数余子式之和

技巧：若要求 $A_{11} + A_{12} + \cdots + A_{1n}$，可构造一个新行列式，将第一行元素全部替换为1，则该行列式的值即为所求。[来源：p12，思考题提示]

例：设 $D_n$ 为 $n$ 阶行列式，求第一行各元素的代数余子式之和 $A_{11} + A_{12} + \cdots + A_{1n}$。

方法：构造行列式 $\overline{D}_n$，将 $D_n$ 的第一行元素全部换为1，则 $\overline{D}_n = A_{11} + A_{12} + \cdots + A_{1n}$。[来源：p12]

(2) 利用展开定理计算行列式

• 选择零元素较多的行或列展开，可简化计算 【整理自PPT，由例题归纳】
• 先通过行列变换制造零元素，再展开 【整理自PPT】

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第11讲：拉普拉斯展开定理

一、k阶子式与代数余子式

(1) 定义

• k阶子式：在 $n$ 阶行列式 $D$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列，位于这 $k$ 行 $k$ 列交叉位置的元素按原行列式 $D$ 中的相对位置排成的 $k$ 阶行列式 $N$ 称为行列式 $D$ 的一个 k阶子式。[来源：p2-3，定义]

• k阶子式的余子式：在行列式 $D$ 中，划去 $k$ 阶子式 $N$ 所在的 $k$ 行 $k$ 列，剩余元素按原行列式 $D$ 中的相对位置排成的 $n-k$ 阶行列式 $M$ 称为 $k$ 阶子式 $N$ 的余子式。[来源：p2-3，定义]

• k阶子式的代数余子式：如果子式 $N$ 的 $k$ 行 $k$ 列在 $D$ 中的行标与列标分别为 $i_1, i_2, \ldots, i_k$ 和 $j_1, j_2, \ldots, j_k$，则称

  $$A = (-1)^{(i_1+i_2+\cdots+i_k)+(j_1+j_2+\cdots+j_k)}M$$

  为 $N$ 的代数余子式。[来源：p3，定义]

(2) 具体例子

例：在5阶行列式 $D = |a_{ij}|_5$ 中，取第2,4行和第1,4列：

• 2阶子式：$N = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24} \\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}$

• $N$ 的余子式：$M = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{15} \\ a_{32} & a_{33} & a_{35} \\ a_{52} & a_{53} & a_{55} \end{vmatrix}$

• $N$ 的代数余子式：$A = (-1)^{(2+4)+(1+4)}M = -M$

[来源：p12，例题]

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二、拉普拉斯（Laplace）定理

(1) 定理

⭐ 设在 $n$ 阶行列式 $D$ 中，取定某 $k$ 行，则 $D$ 位于这 $k$ 行的所有 $k$ 阶子式 $N_1, N_2, \ldots, N_t$ 与它们各自对应的代数余子式 $A_1, A_2, \ldots, A_t$ 的乘积之和等于行列式 $D$，即：

$$D = N_1A_1 + N_2A_2 + \cdots + N_tA_t = \sum_{i=1}^{t} N_iA_i$$

其中 $t = C_n^k$（从 $n$ 列中选 $k$ 列的组合数）。

[来源：p13，Laplace定理]

(2) 说明

• 行列式按单行（列）展开是拉普拉斯定理的特例（$k=1$）【整理自PPT】
• 按列展开同样成立 【整理自PPT】

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三、块矩阵行列式

(1) 块三角行列式

⭐ 设 $D_1$ 为 $m$ 阶方阵，$D_2$ 为 $n$ 阶方阵，则：

$$\begin{vmatrix} D_1 & * \\ O & D_2 \end{vmatrix} = |D_1| \cdot |D_2| \qquad \begin{vmatrix} D_1 & O \\ * & D_2 \end{vmatrix} = |D_1| \cdot |D_2|$$

【整理自PPT，由p17-19例题归纳】

(2) 副对角块行列式

设 $D_1$ 为 $m$ 阶方阵，$D_2$ 为 $n$ 阶方阵，则：

$$\begin{vmatrix} O & D_1 \\ D_2 & C \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|D_1| \cdot |D_2|$$

[来源：p20，公式]

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四、行列式的乘法

(1) 定理（行列式的乘积法则）

⭐ 两个 $n$ 阶行列式 $A = |a_{ij}|_n$，$B = |b_{ij}|_n$ 的乘积等于一个 $n$ 阶行列式 $C = |c_{ij}|_n$，其中 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行各元素与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素之积的和，即：

$$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$$

[来源：p24-26，定理]

注：这实际上是矩阵乘法的定义，$|AB| = |A||B|$。【整理自PPT】

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五、方阵的行列式运算性质

(1) 基本性质

⭐ 设 $A$, $B$ 为 $n$ 阶方阵，$c$ 为常数，则：

1. $|A^T| = |A|$
2. $|AB| = |A||B|$
3. $|A_1A_2\cdots A_m| = |A_1||A_2|\cdots|A_m|$
4. $|A^k| = |A|^k$
5. $|cA| = c^n|A|$

[来源：p31，性质]

(2) 易错点

⭐ 注意区分：$|cA|$、$c|A|$、$cA$ 三者的含义不同！

• $|cA| = c^n|A|$（$n$ 阶方阵 $A$ 的每个元素都乘以 $c$）
• $c|A|$（行列式的值乘以 $c$）
• $cA$（矩阵数乘）

[来源：p31，红色标注]

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六、循环行列式

(1) 定义

由 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 构成的 $n$ 阶循环行列式：

$$D_n = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{vmatrix}$$

[来源：p28, p30]

(2) 计算方法

循环行列式可以利用行列式乘法或单位根进行计算（也请注意联系矩阵的特征值）。[来源：p30，备注]

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附：典型例题类型

例题类型1：利用展开定理计算行列式

选择零元素多的行或列展开，如副对角行列式、三对角行列式等。[来源：p9-10，例题]

例题类型2：求代数余子式之和

设 $D = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & -8 & 7 \\ 4 & 4 & 5 & 5 \end{vmatrix}$，求 $A_{11} + A_{12}$ 及 $A_{13} + A_{14}$。

方法：将第一行相应元素换为要求的系数（如1,1,0,0或0,0,1,1），计算新行列式即可。[来源：p11，例题]

例题类型3：利用拉普拉斯定理计算块行列式

当行列式呈块三角形式时，按块展开可简化计算。[来源：p14-20，例题]

例题类型4：利用行列式乘法计算

将行列式分解为两个行列式的乘积来计算。

例：设 $D = \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \end{vmatrix}$，求 $D^2$。

[来源：p27，例题]

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本讲公式速查表

公式名称	公式内容	来源
代数余子式	$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$	p2
按行展开	$D = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}$	p7
按列展开	$D = \sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj}$	p8
异行元素展开为零	$\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = 0 \;(i \ne j)$	p13
范德蒙行列式	$\prod_{1 \le j < i \le n}(x_i - x_j)$	p16
k阶子式代数余子式	$A = (-1)^{\sum i_l + \sum j_l}M$	p3
拉普拉斯定理	$D = \sum_{i=1}^t N_iA_i$	p13
行列式乘法	$\|AB\| = \|A\|\|B\|$	p24
数乘行列式	$\|cA\| = c^n\|A\|$	p31

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知识集锦整理完毕，祝考试顺利！