第五章动量和角动量 · 速览

§5.1 动量定理与动量守恒

动量 $\vec{p}=m\vec{v}$ ；牛顿第二定律动量形式 $\vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt}$ ， $\vec{F}\,dt=d\vec{p}$ 。
冲量 $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,dt$ ；质点动量定理 $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,dt=\vec{p}_2-\vec{p}_1$ （合力冲量＝动量增量）。
质点系动量定理 $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,dt=\vec{p}_2-\vec{p}_1$ （ $\vec{F}$ 为合外力）；内力成对抵消，不改变系统总动量。
动量守恒：孤立系统或合外力为零时 $\vec{p}=\sum m_i\vec{v}_i=$ 常矢量；三分量各自独立——某方向合外力分量为零，则该方向动量分量守恒。
守恒律比牛顿第三定律适用更广（计及场的动量仍成立）；本质对应空间平移不变性。
火箭方程 $v=u\ln\dfrac{M_0}{M_{\mathrm r}}=u\ln\!\left(1+\dfrac{M_{\mathrm f}}{M_{\mathrm r}}\right)$ （ $u$ ＝喷气相对箭体速率， $M_0$ 总质量、 $M_{\mathrm r}$ 箭体、 $M_{\mathrm f}$ 燃料）。
例题法（斜面接球）：碰撞瞬间冲力≫外力 ⇒ 只在冲力主导方向用动量守恒；平滑段用机械能守恒；异向速度先取投影（ $v_m\to v_m\sin\theta$ ）。

碰撞：极短时间内强相互作用、状态显著变化；可当 black box，用守恒律联系初末态。
分类（按动能）：弹性 $E_{ki}=E_{kf}$ ；非弹性 $E_{ki}\neq E_{kf}$ ；完全非弹性（碰后粘连）动能损失最大。
弹性碰撞：动量守恒 + 动能守恒两式联立。
对心碰撞（ $v_2=0$ ）： $v_1'=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1$ ， $v_2'=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1$ ； $m_1>m_2$ 前进、 $m_1<m_2$ 反弹、 $m_1=m_2$ 交换速度。
二维等质量弹性碰撞（ $m_1=m_2,\ v_2=0$ ）： $\vec{v}_1=\vec{v}_1'+\vec{v}_2'$ 且 $v_1^2=v_1'^2+v_2'^2$ ⇒ 碰后两速度互相垂直，末端落在以 $\vec{v}_1$ 为直径的散射圆上。

质心 $\vec{r}_c=\dfrac{\sum m_i\vec{r}_i}{\sum m_i}$ ；连续分布 $\vec{r}_c=\dfrac{\int\vec{r}\,dm}{\int dm}$ （含三个直角坐标分量）。
质心运动定理 $M\dfrac{d\vec{v}_c}{dt}=\vec{F}_e$ （ $\vec{F}_e$ 为合外力，内力不影响质心运动）；孤立系统质心匀速直线运动或静止。
质心系：原点取质心、随质心平动；在该参考系中质心速度为零， $\sum m_i\vec{v}_i=0$ （又称零动量系）。
运动分解：任一质点系运动＝随质心的运动（平动）＋相对质心的运动。
半圆环质心 $x_c=\dfrac{2R}{\pi}\approx0.64R$ ；质心不一定落在物体本体上。
例题法（三棱体）：水平无外力 ⇒ $v_{cx}$ 守恒 ⇒ $\sum m_i\Delta x_i=0$ ，再用「相对位移＋绝对位移」联立解约束体位移。

角动量 $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$ ；力矩 $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$ ，大小 $M=Fr\sin\theta=Fd$ （ $d=r\sin\theta$ 为力臂）。
质点角动量定理 $d\vec{L}=\vec{M}\,dt$ ；质点系 $d\vec{L}=\vec{M}_e\,dt$ （沿质点连线的内力矩成对为零，只有外力矩起作用）。
角动量守恒： $\vec{M}=0$ （质点）或 $\vec{M}_e=0$ （质点系）⇒ $\vec{L}=$ 常矢量；分量上 $M_z=0\Rightarrow L_z$ 守恒。
自由质点： $v\,r\sin\theta=$ 常量（矢径在相等时间内扫过相等面积）。
有心力（含万有引力）取力心为原点 $\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}=0$ ⇒ 角动量守恒：轨道为过力心的定平面曲线；面积速度 $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{L}{2m}=$ 常量（开普勒第二定律）。行星角动量守恒，但动量不守恒。
例题法（半球碗）：合力矩≠0 但 $M_z=0$ ⇒ $L_z$ 守恒 $(rmv_0)\sin\theta_0=rmv$ ，配机械能守恒 $\tfrac12 mv_0^2=\tfrac12 mv^2+mgr\cos\theta_0$ ⇒ $v_0=\sqrt{\dfrac{2gr}{\cos\theta_0}}$ 。

判断多体中某物体的运动趋势：对整体用质心运动定理 $\sum\vec{F}_{ext}=(\sum m)\vec{a}_c$ ；质心加速度由质心坐标对时间二次求导得到，所需角速度/角加速度由子系统机械能守恒提供；临界判据取约束力（绳张力 $T$ ）减到 $0$ 。结论： $m\ge\tfrac{3}{2}M$ 时大铁环才可能被向上拉动。