第28讲：方阵的Jordan标准形与最小多项式

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关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ n阶Jordan块的定义及其特征多项式 $(\lambda - \lambda_0)^n$
2. ⭐ Jordan标准形的存在性与唯一性（不计Jordan块次序）
3. ⭐ 化零多项式的定义：$f(A) = O$ 则 $f(x)$ 为 $A$ 的化零多项式
4. ⭐ Cayley-Hamilton定理：特征多项式是化零多项式
5. ⭐ 最小多项式的定义：首项系数为1、次数最低的化零多项式
6. ⭐ 最小多项式整除特征多项式（特征多项式是最小多项式的倍式）
7. ⭐ 相似矩阵有相同的最小多项式
8. ⭐ （复数域$\mathbb{C}$上）可对角化的充要条件：最小多项式无重根
9. 分块对角矩阵的最小多项式 = 各对角块最小多项式的最小公倍式
10. 特殊矩阵的化零多项式：幂等矩阵 $x^2-x$、对合矩阵 $x^2-1$

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一、n阶Jordan块

(1) 定义

• n阶Jordan块：主对角线元素均为 $\lambda_0$，次对角线（下方）元素均为1，其余元素为0的 $n$ 阶方阵，记作 $J_n(\lambda_0)$。[来源：p1]

  具体形式：

  • 1阶：$(\lambda_0)$
  • 2阶：$\begin{pmatrix} \lambda_0 & 0 \\ 1 & \lambda_0 \end{pmatrix}$
  • 3阶：$\begin{pmatrix} \lambda_0 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda_0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda_0 \end{pmatrix}$
  • n阶：主对角线为 $\lambda_0$，下次对角线为1

(2) 定理/命题

• 设 $J$ 是一个 $n$ 阶Jordan块，对角线元素均为 $\lambda_0$。则：[来源：p2, p16]
  1. 方阵 $J$ 的特征多项式为 $|\lambda E - J| = (\lambda - \lambda_0)^n$
  2. 方阵 $\lambda_0 E - J$ 是幂零指数为 $n$ 的幂零矩阵
  3. 方阵 $J$ 的最小多项式为 $(\lambda - \lambda_0)^n$

(3) 推论/二级结论

• ⭐ （单个Jordan块）Jordan块的特征多项式等于最小多项式，均为 $(\lambda - \lambda_0)^n$。【整理自PPT】（由p2和p16结合推得）
• 设 $J_1, J_2$ 是 $n$ 阶Jordan块，对角线元素分别为 $\lambda_1, \lambda_2$。若 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，则 $J_1$ 和 $J_2$ 不相似。[来源：p3]

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二、Jordan标准形

(1) 定义

• Jordan标准形矩阵：形如分块对角矩阵 $J = \text{diag}(J_1, J_2, \ldots, J_s)$，其中每个 $J_i$ 都是Jordan块。[来源：p4]

$$J = \begin{pmatrix} J_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_s \end{pmatrix}_{n \times n}$$

(2) 定理/命题

• ⭐ Jordan标准形存在性定理：复数域 $\mathbb{C}$ 上的任意 $n$ 阶方阵 $A$，都与某个Jordan标准形矩阵 $J$ 相似。[来源：p5]
• ⭐ Jordan标准形唯一性：若不考虑 $J$ 中对角线上Jordan块的次序，则Jordan标准形矩阵是唯一的。[来源：p5]

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三、方阵的化零多项式

(1) 定义

• 化零多项式（零化多项式）：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$f(x)$ 为非零多项式。若 $f(A) = O$（零矩阵），则称 $f(x)$ 为 $A$ 的化零多项式。[来源：p6]

(2) 定理/命题

• ⭐ Cayley-Hamilton定理：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$f(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$ 是 $A$ 的特征多项式。则 $f(A) = O$。[来源：p12，黄色框标注]

  • 即：方阵的特征多项式是它的化零多项式。

• 化零多项式的倍式性质：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$f(x)$ 为 $A$ 的化零多项式（即 $f(A) = O$）。对任意非零多项式 $g(x)$，都有 $f(x)g(x)$ 也是 $A$ 的化零多项式。[来源：p10]

  • ⭐ 核心结论：化零多项式的倍式还是化零多项式。[来源：p10，黄色框标注]

• 分块对角矩阵的化零多项式：设 $A = \text{diag}(A_1, A_2)$，$g(x)$ 是 $A_1$ 的化零多项式，$h(x)$ 是 $A_2$ 的化零多项式。则 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的最小公倍式是 $A$ 的化零多项式。[来源：p11，黄色框标注]

(3) 常用例子

矩阵类型	化零多项式	来源
秩为1的 $n$ 阶方阵 $A$，迹为 $\text{tr}(A)$	可取 $f(x)=x^2-\text{tr}(A)x$（一般地 $x^k-\text{tr}(A)^{k-1}x,\ k\ge2$ 也可）	p7
幂等矩阵 $A$（即 $A^2 = A$）	$f(x) = x^2 - x = x(x-1)$	p8
对合矩阵 $A$（即 $A^2 = E$）	$f(x) = x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$	p9

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四、方阵的最小多项式

(1) 定义

• ⭐ 最小多项式：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。$A$ 的首项系数为1、次数最低的化零多项式称为 $A$ 的最小多项式，记作 $m_A(\lambda)$ 或 $m_A(x)$。[来源：p13，黄色框标注]

(2) 定理/命题（引理）

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。则：[来源：p14]

1. $A$ 的任意化零多项式都是 $A$ 的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 的倍式。
   • ⭐ 特别地，$A$ 的特征多项式是 $m_A(\lambda)$ 的倍式。[来源：p14，黄色框标注]
2. $A$ 的最小多项式存在且唯一。[来源：p14]
3. ⭐ 相似的方阵有相同的最小多项式。[来源：p14，黄色框标注]

(3) 分块对角矩阵的最小多项式

• 设 $A = \text{diag}(A_1, A_2)$，$m_{A_1}(x)$ 是 $A_1$ 的最小多项式，$m_{A_2}(x)$ 是 $A_2$ 的最小多项式。则 $m_{A_1}(x)$ 和 $m_{A_2}(x)$ 的最小公倍式是 $A$ 的最小多项式。[来源：p15，黄色框标注]

(4) Jordan标准形的最小多项式

• 设 $J = \text{diag}(J_1, J_2, \ldots, J_s)$ 是Jordan标准形矩阵，其中 $J_i$ 是对角线元素为 $\lambda_i$、阶数为 $n_i$ 的Jordan块。则：[来源：p17]

  $m_J(x)$ 为 $(x - \lambda_1)^{n_1}, \ldots, (x - \lambda_s)^{n_s}$ 这 $s$ 个多项式的最小公倍式。

  • ⭐ 关键技巧：相同特征值的选阶数最大的！[来源：p17，黄色框标注]

(5) 特征值与最小多项式的关系

• 定理：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。则 $A$ 的特征值必为 $m_A(x) = 0$ 的根。[来源：p18]
  • 即：特征值是最小多项式的根。

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五、可对角化的判定

(1) 充要条件（核心定理）

• ⭐⭐ 定理：设 $A$ 为复数域上 $n$ 阶方阵。则 $A$ 相似于对角阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的最小多项式 $m_A(x)$ 没有重根。[来源：p19，黄色框+蓝色框双重标注]

(2) 典型应用

• 例1：设 $A$ 为复数域上 $n$ 阶方阵，$f(x) = (x-a)(x-b)$，$a \neq b$。若 $f(A) = O$，则 $A$ 相似于对角阵。[来源：p20]

  • 分析：由于 $f(A) = O$，最小多项式整除 $f(x) = (x-a)(x-b)$，因此最小多项式只能是 $(x-a)$、$(x-b)$ 或 $(x-a)(x-b)$，均无重根。

• 例2（周期矩阵）：设 $A$ 为复数域上 $n$ 阶方阵，存在正整数 $k$ 使得 $A^k = E$（这样的矩阵被叫做周期矩阵）。则 $A$ 相似于对角阵。[来源：p21]

  • 分析：$x^k - 1$ 是化零多项式，其在复数域上分解为 $k$ 个不同一次因式的乘积（$k$ 次单位根两两不同），故最小多项式无重根。

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六、常用技巧总结

(6) 常用技巧

1. 判断可对角化（复数域上）：检验最小多项式是否有重根。若特征多项式无重根，则必可对角化；若有重根，需进一步分析最小多项式。【整理自PPT】

2. 求Jordan标准形的最小多项式：对每个不同特征值 $\lambda_i$，找出所有以 $\lambda_i$ 为对角元的Jordan块中阶数最大的那个，其对应因子 $(x - \lambda_i)^{n_{\max}}$ 参与最小公倍式的计算。[来源：p17]

3. 利用化零多项式判断可对角化：若能找到一个无重根的化零多项式，则矩阵可对角化。[来源：p19-p21]

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第29讲：相似标准形的应用 - 知识集锦

关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 幂等矩阵的行列式计算：$|A + tE|$
2. ⭐ 利用化零多项式计算矩阵幂 $A^m$
3. ⭐ 利用对角化求矩阵幂
4. ⭐ 利用矩阵对角化求递推数列通项
5. ⭐ 与对角矩阵可交换的矩阵的刻画
6. ⭐ 可交换矩阵的对角化性质

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一、典型例题与结论

(1) 幂等矩阵的行列式

• 例：设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵（$A^2 = A$），且 $r(A) = r$。求行列式 $|A + tE|$ 的值。[来源：p1]

• 结论：幂等矩阵的特征值只能为0或1。若 $r(A) = r$，则特征值1的重数为 $r$，特征值0的重数为 $n - r$。

  因此 $|A + tE| = t^{n-r}(1+t)^r$。【整理自PPT】（由幂等矩阵性质推得）

(2) 利用化零多项式求矩阵幂

• 例：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 - 5A + 6E = O$。求 $A^m$。[来源：p2]

• 方法要点：

  1. 由 $A^2 - 5A + 6E = O$ 知 $(A-2E)(A-3E) = O$
  2. 最小多项式无重根，故 $A$ 可对角化
  3. $A$ 的特征值只能是2或3
  4. 利用对角化 $A = P\Lambda P^{-1}$ 计算 $A^m = P\Lambda^m P^{-1}$

(3) 由特征值和特征向量求矩阵幂

• 例：设 $A$ 为3阶方阵，$A$ 的属于特征值 $0, 1, -1$ 的特征向量分别为 $(1, 0, 0)^T$, $(1, 1, 0)^T$, $(0, 1, 1)^T$。求 $A^m$。[来源：p3]

• 方法要点：

  1. 构造可逆矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$（列向量为特征向量）
  2. $A = P \cdot \text{diag}(0, 1, -1) \cdot P^{-1}$
  3. $A^m = P \cdot \text{diag}(0, 1, (-1)^m) \cdot P^{-1}$

(4) 矩阵对角化求递推数列

• 例：设 $x_0 = 2$, $y_0 = 1$，且递推关系：[来源：p4]

  $$\begin{cases} x_n = x_{n-1} + 2y_{n-1} \\ y_n = 4x_{n-1} + 3y_{n-1} \end{cases}$$

  求 $x_{100}$。

• 方法要点：

  1. 设 $\mathbf{v}_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$，转化为 $\mathbf{v}_n = A \mathbf{v}_{n-1}$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
  2. 对 $A$ 进行对角化
  3. 利用 $\mathbf{v}_{100} = A^{100} \mathbf{v}_0$ 计算

(5) 与对角矩阵可交换的矩阵

• 例：设 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是 $n$ 个两两不同的数，$A = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$ 是对角矩阵。求与 $A$ 可交换的全体矩阵。[来源：p5]

• ⭐ 结论：与特征值两两不同的对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵。【整理自PPT】

(6) 可交换矩阵的对角化

• 例：设 $A$ 有 $n$ 个两两不同的特征值，$AB = BA$。证明：$B$ 相似于对角矩阵。[来源：p6]

• ⭐ 结论：若 $A$ 有 $n$ 个不同特征值（即 $A$ 可对角化为特征值两两不同的对角阵），且 $AB = BA$，则 $B$ 也可对角化。【整理自PPT】

• 证明思路：$A$ 可对角化为 $\Lambda = P^{-1}AP$，其中 $\Lambda$ 特征值两两不同。由 $AB = BA$ 可得 $(P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = (P^{-1}BP)(P^{-1}AP)$，即 $\Lambda \cdot (P^{-1}BP) = (P^{-1}BP) \cdot \Lambda$。由(5)的结论，$P^{-1}BP$ 为对角阵，故 $B$ 可对角化。

(7) 分块对角矩阵的对角化

• 例：已知方阵 $A$ 可相似对角化。试证：方阵 $\begin{pmatrix} A & O \\ O & A \end{pmatrix}$ 可以相似对角化。[来源：p7]

• 证明要点：

  1. 设 $A$ 的最小多项式为 $m_A(x)$，无重根
  2. 分块对角矩阵 $\begin{pmatrix} A & O \\ O & A \end{pmatrix}$ 的最小多项式为 $\text{lcm}(m_A(x), m_A(x)) = m_A(x)$
  3. 仍无重根，故可对角化

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二、方法论总结

常用技巧

1. 矩阵幂的计算：

   • 方法一：对角化 $A = P\Lambda P^{-1}$，则 $A^m = P\Lambda^m P^{-1}$
   • 方法二：利用化零多项式降幂

2. 递推数列问题：转化为矩阵幂问题，利用对角化求解

3. 可交换矩阵的性质：若 $A$ 的特征值两两不同且 $AB = BA$，则 $A$ 和 $B$ 可同时对角化

4. 判断可对角化：检验最小多项式是否有重根，或直接验证每个特征值的几何重数是否等于代数重数

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三、核心公式速查表

内容	公式/结论	来源
Jordan块的特征多项式	$(\lambda - \lambda_0)^n$	第28讲p2
Jordan块的最小多项式	$(\lambda - \lambda_0)^n$	第28讲p16
幂等矩阵的化零多项式	$x^2 - x$	第28讲p8
对合矩阵的化零多项式	$x^2 - 1$	第28讲p9
可对角化充要条件	最小多项式无重根	第28讲p19
分块对角阵的最小多项式	各块最小多项式的最小公倍式	第28讲p15
特征多项式与最小多项式	特征多项式是最小多项式的倍式	第28讲p14