第27讲：相似矩阵与矩阵的相似对角阵

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说明：下文关于“特征值/特征向量/可对角化/几何重数”等结论均默认在同一数域上讨论（常取复数域 $\mathbb{C}$；若限定在实数域 $\mathbb{R}$，需额外保证相关特征值属于 $\mathbb{R}$）。

关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 相似矩阵的定义：$P^{-1}AP = B$，记作 $A \sim B$
2. ⭐ 相似关系是等价关系（自反性、对称性、传递性）
3. ⭐ 相似矩阵有相同的特征多项式、特征值、行列式、迹
4. ⭐ $AB$ 与 $BA$ 有相同的特征值（连重数都一样）
5. ⭐ 矩阵可对角化 $\Leftrightarrow$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
6. ⭐ 可对角化的另一等价条件：每个特征值的几何重数 = 代数重数
7. ⭐ 几何重数 $\leq$ 代数重数（恒成立）
8. ⭐ $n$ 个不同特征值 $\Rightarrow$ 必可对角化
9. 反例：$A_1 \sim B_1$，$A_2 \sim B_2$ 不能推出 $A_1 + A_2 \sim B_1 + B_2$（变换矩阵P不同时）
10. 计算技巧：$A = PBP^{-1} \Rightarrow A^k = PB^kP^{-1}$

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一、相似矩阵的概念

(1) 定义

• 相似矩阵：设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，$P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $P^{-1}AP = B$，则称矩阵 $A$ 相似于矩阵 $B$，记作 $A \sim B$。[来源：p1]

(2) 相似关系的性质

• 矩阵间的相似关系是一个等价关系：[来源：p2]
  • 自反性：$A \sim A$（因为 $E^{-1}AE = A$）
  • 对称性：若 $A \sim B$，则 $B \sim A$（若 $P^{-1}AP = B$，则 $PBP^{-1} = A$）
  • 传递性：若 $A \sim B$，$B \sim C$，则 $A \sim C$（若 $P_1^{-1}AP_1 = B$，$P_2^{-1}BP_2 = C$，则 $(P_1P_2)^{-1}A(P_1P_2) = C$）

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二、相似矩阵的性质

(1) 特征多项式与特征值

• ⭐ 若 $A \sim B$，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式，相同的特征值。 进一步，$|A| = |B|$ 且 $\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B)$。[来源：p5，p11]

• 证明要点：$|\lambda E - B| = |\lambda E - P^{-1}AP| = |P^{-1}(\lambda E - A)P| = |P^{-1}||\lambda E - A||P| = |\lambda E - A|$ [来源：p5]

(2) 转置矩阵

• ⭐ 若 $A \sim B$，则 $A^T \sim B^T$。 [来源：p7，红色方框标注]

• 证明要点：由 $P^{-1}AP = B$，两边转置得 $P^T A^T (P^{-1})^T = B^T$，即 $P^T A^T (P^T)^{-1} = B^T$ [来源：p7]

(3) 同一变换矩阵下的运算封闭性

• ⭐ 若 $P^{-1}A_1P = B_1$，$P^{-1}A_2P = B_2$（同一个 $P$），则：

  • $A_1 + A_2 \sim B_1 + B_2$
  • $A_1A_2 \sim B_1B_2$

  [来源：p8，p11]

• 证明：$P^{-1}(A_1 + A_2)P = P^{-1}A_1P + P^{-1}A_2P = B_1 + B_2$；$B_1B_2 = (P^{-1}A_1P)(P^{-1}A_2P) = P^{-1}(A_1A_2)P$ [来源：p8]

(4) 可逆性保持

• 若 $A \sim B$，则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $B$ 可逆；且当可逆时，$A^{-1} \sim B^{-1}$。 [来源：p9，p11]

• 证明：由 $P^{-1}AP = B$，两边求逆得 $B^{-1} = (P^{-1}AP)^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$ [来源：p9]

(5) 数乘、幂与多项式

• ⭐ 若 $A \sim B$，则：

  • $kA \sim kB$（$k$ 为常数）
  • $A^m \sim B^m$（$m$ 为正整数）
  • $g(A) \sim g(B)$，其中 $g(x) = a_0x^m + a_1x^{m-1} + \cdots + a_{m-1}x + a_m$（因此 $g(A)=a_0A^m+a_1A^{m-1}+\cdots+a_{m-1}A+a_mE$）

  [来源：p10，p11]

• ⭐ 重要公式：$P^{-1}g(A)P = g(P^{-1}AP) = g(B)$ [来源：p10，黄色标注]

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三、重要结论与技巧

(1) AB与BA的特征值

• ⭐ 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $AB$ 与 $BA$ 有相同的特征值（连重数都一样）。 [来源：p6]

• 证明方法：利用分块矩阵证明 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ A & AB \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} BA & 0 \\ A & 0 \end{pmatrix}$ 相似 [来源：p6]

• 关键等式：$|\lambda E - AB| = |\lambda E - BA|$（因此 $AB$ 与 $BA$ 的特征多项式相同，特征值含重数相同） [来源：p6]

(2) 计算矩阵幂的技巧

• ⭐ $A = PBP^{-1} \Rightarrow A^k = PB^kP^{-1}$ [来源：p12，黄色标注]

• ⭐ $AP = PB \Leftrightarrow A(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)B$ [来源：p12，黄色标注]

(3) 分块对角矩阵的相似

• 分块对角矩阵 $\mathrm{diag}(A_1, A_2, \ldots, A_s)$ 与 $\mathrm{diag}(A_{i_1}, A_{i_2}, \ldots, A_{i_s})$ 相似，其中 $i_1, i_2, \ldots, i_s$ 是 $1, 2, \ldots, s$ 的一个排列。[来源：p3]

(4) 初等矩阵的相似类

• 所有 $n$ 阶第三类初等矩阵都相似于矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$ [来源：p4]

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四、矩阵与对角矩阵相似的条件

(1) 核心定理

• ⭐ 定理：$n$ 阶矩阵 $A$ 与一个对角矩阵 $B$ 相似 $\Leftrightarrow$ 矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。 [来源：p14，p15]

• 必要性：若 $P^{-1}AP = \Lambda$（对角矩阵），则 $AP = P\Lambda$。设 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$，则 $A\alpha_i = \lambda_i\alpha_i$，即 $\alpha_i$ 是 $A$ 关于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。由于 $P$ 可逆，$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 线性无关。[来源：p13]

• 充分性：将 $n$ 个线性无关的特征向量一列列摆好，成为矩阵 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$，则 $P$ 可逆，且 $P^{-1}AP = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$。[来源：p14，红色方框标注]

(2) 推论

• ⭐ 推论：若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则矩阵 $A$ 必能相似于对角矩阵。 [来源：p15]

(3) 几何重数与代数重数

• ⭐ 定理：设 $\lambda_i$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的一个 $n_i$ 重特征值（代数重数），而 $\dim V_{\lambda_i} = m_i$（几何重数），则 $m_i \leq n_i$。（几何重数 $\leq$ 代数重数）[来源：p16，黄色标注]

• 推论：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $s$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s$，代数重数分别为 $n_1, n_2, \ldots, n_s$（则 $n_1 + n_2 + \cdots + n_s = n$），几何重数分别为 $m_1, m_2, \ldots, m_s$，则 $m_1 + m_2 + \cdots + m_s \leq n$。[来源：p16]

(4) 可对角化的等价条件

• ⭐ 矩阵 $A$ 相似于对角矩阵当且仅当 $m_i = n_i$，$i = 1, 2, \ldots, s$。（每一个特征值的几何重数等于代数重数）[来源：p16，黄色标注及红色方框标注]

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五、判断矩阵可对角化的方法和步骤

(1) 完整步骤

1. 求出矩阵 $A$ 的所有不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s$，以及它们的代数重数 $n_1, n_2, \ldots, n_s$；

2. 对每一个特征值 $\lambda_i$，求出矩阵 $\lambda_i E - A$ 的秩 $r(\lambda_i E - A)$：

   • 若存在一个 $\lambda_i$ 使得 $r(\lambda_i E - A) > n - n_i$，则矩阵 $A$ 不能相似于对角矩阵
   • 若对所有的 $\lambda_i$，都有 $r(\lambda_i E - A) = n - n_i$，$i = 1, 2, \ldots, s$，则矩阵 $A$ 能够与对角矩阵相似

3. 求出齐次线性方程组 $(\lambda_i E - A)X = 0$ 的一个基础解系（在第2步条件 $r(\lambda_iE-A)=n-n_i$ 成立时，该基础解系可取 $n_i$ 个向量）$\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \ldots, \alpha_{in_i}$，$i = 1, 2, \ldots, s$

4. 令 $P = (\alpha_{11}, \alpha_{12}, \ldots, \alpha_{1n_1}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \ldots, \alpha_{2n_2}, \ldots, \alpha_{s1}, \alpha_{s2}, \ldots, \alpha_{sn_s})$

5. 则 $P^{-1}AP = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1, \ldots, \lambda_1}_{n_1\text{个}}, \ldots, \underbrace{\lambda_s, \ldots, \lambda_s}_{n_s\text{个}})$

[来源：p20，p21]

(2) 快速判定技巧

• 几何重数 = $n - r(\lambda_i E - A)$【整理自PPT】
• 若对某个 $\lambda_i$，几何重数 $<$ 代数重数，则不可对角化

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六、反例与易错点

(1) 相似的加法不封闭（变换矩阵不同时）

• ⭐ 若 $A_1 \sim B_1$（通过 $P_1$），$A_2 \sim B_2$（通过 $P_2$），则 $A_1 + A_2$ 与 $B_1 + B_2$ 不一定相似。 [来源：p8，"NO"标记]

• 注意：只有当同一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}A_1P = B_1$ 且 $P^{-1}A_2P = B_2$ 时，才有 $A_1 + A_2 \sim B_1 + B_2$。

(2) 不能对角化的例子

• 例1：矩阵 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，特征值为 $\lambda_1 = 2$（代数重数1），$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$（代数重数2）。对 $\lambda = 1$，基础解系只有1个向量（几何重数1 $<$ 代数重数2），故不能对角化。[来源：p19]

• 例2：矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，特征值为3（代数重数3）。$r(3E - A) = 2$，几何重数 $= 3 - 2 = 1 < 3$，故不能相似对角化为 $\mathrm{diag}(3, 3, 3)$。[来源：p22]

(3) 可以对角化的例子

• 例：矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，特征值为 $\lambda_1 = 2$（重数1），$\lambda_2 = \lambda_3 = -1$（重数2）。对每个特征值，几何重数都等于代数重数，可以对角化。[来源：p18]

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七、常用技巧

(1) 特征值法求行列式

• 若行列式的每行（列）元素和都一样，可考虑用特征值法计算。[来源：p24，红色标注]

• 方法：求出行列式对应矩阵的全部特征值及其重数，则行列式 = 所有特征值的乘积（计重数）。[来源：p25]

(2) 判断两矩阵是否相似

• 若两矩阵有不同的特征值，则不相似
• 若两矩阵都可对角化且对角化后的对角矩阵相同（特征值相同），则相似
• 例：$A = \mathrm{diag}(1, 3, 2)$ 与 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 相似，因为 $B$ 有3个不同特征值1, 2, 3，可对角化为 $\mathrm{diag}(1, 3, 2) = A$。[来源：p23]

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八、公式速查表

条件	结论
$A \sim B$	特征多项式相同，特征值相同，$\det(A)=\det(B)$，$\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B)$
$A \sim B$	$A^T \sim B^T$，$A^{-1} \sim B^{-1}$（若可逆），$A^m \sim B^m$，$g(A) \sim g(B)$
$P^{-1}A_1P = B_1$，$P^{-1}A_2P = B_2$（同一$P$）	$A_1 + A_2 \sim B_1 + B_2$，$A_1A_2 \sim B_1B_2$
$A, B$ 为 $n$ 阶矩阵	$AB$ 与 $BA$ 有相同特征值（含重数）
$A$ 有 $n$ 个不同特征值	$A$ 可对角化
$A$ 可对角化	$\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关特征向量 $\Leftrightarrow$ 每个特征值几何重数=代数重数
$\lambda_i$ 是 $n_i$ 重特征值	几何重数 $m_i \leq n_i$（代数重数）

【整理自PPT】