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Chap 15 Fourier 级数（15.1–15.3 速览）

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15.1 Fourier 级数：基本概念

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  • 三角函数系 {1,cos⁡x,sin⁡x,⋯ ,cos⁡nx,sin⁡nx,⋯ }\{1,\cos x,\sin x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots\} 的核心特点是正交性：∫−ππcos⁡mxcos⁡nx dx\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx\,\mathrm{d}x 当 m≠nm\neq n 为 00、m=n≠0m=n\neq 0 为 π\pi、m=n=0m=n=0 为 2π2\pi；∫−ππsin⁡mxsin⁡nx dx\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,\mathrm{d}x 当 m≠nm\neq n 为 00、m=nm=n 为 π\pi；∫−ππsin⁡mxcos⁡nx dx=0\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx\,\mathrm{d}x=0。
  • Fourier 系数公式（由正交性导出）：an=1π∫−ππf(x)cos⁡nx dx (n=0,1,2,⋯ )a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x\ (n=0,1,2,\cdots)，bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dx (n=1,2,⋯ )b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x\ (n=1,2,\cdots)。
  • 可积与绝对可积：f∈R[−π,π]f\in R[-\pi,\pi]，或瑕积分 ∫−ππf(x) dx\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x 绝对收敛（两条件之一）。
  • F 氏级数定义：ff 以 2π2\pi 为周期、在 [−π,π][-\pi,\pi] 上可积与绝对可积，以其 Fourier 系数构成的三角级数记为 f(x)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)；注意正确理解"∼\sim"的含义。
  • 正弦级数：ff 为奇函数 ⇒an=0\Rightarrow a_n=0，bn=2π∫0πf(x)sin⁡nx dxb_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x，f(x)∼∑bnsin⁡nxf(x)\sim\sum b_n\sin nx；若 ff 仅在 [0,π][0,\pi] 上定义，作奇延拓后同此公式。
  • 引例背景：Fourier 级数源于热流问题——分离变量 T=φ(x)ψ(t)T=\varphi(x)\psi(t) 得非零特征解对应的 λn=(nπ/l)2 (n=1,2,⋯ )\lambda_n=(n\pi/l)^2\ (n=1,2,\cdots) 与解的叠加，初始条件要求 f(x)=∑bnsin⁡nπlxf(x)=\sum b_n\sin\frac{n\pi}{l}x，引出"函数能否展开成三角级数"的问题。

15.2 收敛性

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  • n 阶 Fourier 多项式：Sn(f,x)=a02+∑k=1n(akcos⁡kx+bksin⁡kx)S_n(f,x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)。
  • Dirichlet 积分：Sn(f,x)=1π∫0π[f(x+u)+f(x−u)] Dn(u) duS_n(f,x)=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}[f(x+u)+f(x-u)]\,D_n(u)\,\mathrm{d}u，积分核 Dn(u)=sin⁡2n+12u2sin⁡u2D_n(u)=\dfrac{\sin\frac{2n+1}{2}u}{2\sin\frac{u}{2}}，且 2π∫0πDn(u) du=1\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}D_n(u)\,\mathrm{d}u=1。
  • 收敛充要条件：Sn(f,x)→S(x)  ⟺  1π∫0π[f(x+u)+f(x−u)−2S(x)] Dn(u) du→0S_n(f,x)\to S(x)\iff\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}[f(x+u)+f(x-u)-2S(x)]\,D_n(u)\,\mathrm{d}u\to 0。
  • Riemann 引理：ff 在 [a,b][a,b] 上可积与绝对可积 ⇒lim⁡p→+∞∫abf(u)sin⁡pu du=0\Rightarrow\displaystyle\lim_{p\to+\infty}\int_a^b f(u)\sin pu\,\mathrm{d}u=0（cos⁡\cos 同）。局部性定理：F 氏级数在 xx 处的收敛性与收敛值仅与 ff 在 U(x)U(x) 的值相关。
  • 重要积分：∫0+∞sin⁡xx dx=π2\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}。
  • Dini 定理：f(x+u)+f(x−u)−2S(x)u\dfrac{f(x+u)+f(x-u)-2S(x)}{u} 在某 [0,δ][0,\delta] 上可积与绝对可积 ⇒Sn(f,x)→S(x)\Rightarrow S_n(f,x)\to S(x)。
  • Dirichlet 引理：gg 在 [0,h][0,h] 上单调（或分段单调、分段单调之和）⇒lim⁡p→+∞∫0hg(u)sin⁡puu du=π2g(0+0)\Rightarrow\displaystyle\lim_{p\to+\infty}\int_0^h g(u)\frac{\sin pu}{u}\,\mathrm{d}u=\frac{\pi}{2}g(0+0)。
  • 收敛性判别法（前提：以 2π2\pi 为周期、在 [−π,π][-\pi,\pi] 上可积与绝对可积，并满足下列条件之一）：
    • Dirichlet–Jordan：ff 在 U(x,δ]U(x,\delta] 上分段单调或为分段单调函数之和；
    • Dini–Lipschitz：ff 在 xx 处满足指数 α∈(0,1]\alpha\in(0,1] 的 Hölder 条件 ∣f(x±u)−f(x±0)∣≤Luα|f(x\pm u)-f(x\pm 0)|\le Lu^{\alpha}； 则 F 氏级数在 xx 处收敛于 f(x+0)+f(x−0)2\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}。
  • 和函数取值（至多有限个第一类间断点 + 有限个严格极值点）：连续点取 f(x)f(x)；间断点取 f(x+0)+f(x−0)2\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}；x=±πx=\pm\pi 取 f(−π+0)+f(π−0)2\dfrac{f(-\pi+0)+f(\pi-0)}{2}。
  • 推论：在 xx 处有左、右导数或拟左、右导数（lim⁡u→0+f(x−u)−f(x−0)−u\lim_{u\to 0^+}\frac{f(x-u)-f(x-0)}{-u}、lim⁡u→0+f(x+u)−f(x+0)u\lim_{u\to 0^+}\frac{f(x+u)-f(x+0)}{u}）⇒\Rightarrow 收敛于 f(x+0)+f(x−0)2\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}。
  • 常用展开结果：
    • x2∼π23+4∑n=1∞(−1)nn2cos⁡nx=x2 (−π≤x≤π)x^2\sim\dfrac{\pi^2}{3}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx=x^2\ (-\pi\le x\le\pi)。
    • f={0,−π<x<0x,0≤x≤πf=\begin{cases}0,&-\pi<x<0\\ x,&0\le x\le\pi\end{cases}：f(x)∼π4+∑n=1∞{(−1)n−1n2πcos⁡nx+(−1)n−1nsin⁡nx}f(x)\sim\dfrac{\pi}{4}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl\{\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi}\cos nx+\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin nx\Bigr\}，x=±πx=\pm\pi 处和为 π2\dfrac{\pi}{2}。
    • 方波 f={1,−π≤x<00,0≤x<πf=\begin{cases}1,&-\pi\le x<0\\ 0,&0\le x<\pi\end{cases}：f(x)∼12−2π(sin⁡x+sin⁡3x3+sin⁡5x5+⋯ )f(x)\sim\dfrac12-\dfrac{2}{\pi}\Bigl(\sin x+\dfrac{\sin 3x}{3}+\dfrac{\sin 5x}{5}+\cdots\Bigr)，x=0,±πx=0,\pm\pi 处和为 12\dfrac12；部分和 S1,S5,S15S_1,S_5,S_{15} 随 mm 增大逐渐贴近方波（正弦波叠加）。

15.3 性质

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  • 逐项积分定理：ff 在 [−π,π][-\pi,\pi] 上分段连续（对可积与绝对可积的 ff 也成立）⇒∫0xf(t) dt=a02x+∑n=1∞(annsin⁡nx−bnncos⁡nx+bnn)\Rightarrow\displaystyle\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t=\frac{a_0}{2}x+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{a_n}{n}\sin nx-\frac{b_n}{n}\cos nx+\frac{b_n}{n}\Bigr)，∀x∈[−π,π]\forall x\in[-\pi,\pi]。
  • 必要条件：ff 可积与绝对可积 ⇒∑n=1∞bnn\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{n} 收敛（=12π∫−ππ(∫0xf(t) dt) dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\bigr)\,\mathrm{d}x）；故 ∑bnn\sum\frac{b_n}{n} 发散的三角级数必不是 F 氏级数——如 ∑n=2∞sin⁡nxln⁡n\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin nx}{\ln n} 点态收敛但不是其和函数的 F 氏级数。
  • 逐项微分定理：f∈D[−π,π]f\in D[-\pi,\pi]，f(−π)=f(π)f(-\pi)=f(\pi)，f′f' 可积与绝对可积 ⇒f′(x)∼∑n=1∞(nbncos⁡nx−nansin⁡nx)\Rightarrow f'(x)\sim\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(nb_n\cos nx-na_n\sin nx)。
  • 平方平均偏差距离：d(f,g)=(1π∫−ππ[f(x)−g(x)]2 dx)1/2d(f,g)=\Bigl(\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}[f(x)-g(x)]^2\,\mathrm{d}x\Bigr)^{1/2}；X={f∣f 在 [−π,π] 上可积与平方可积}X=\{f\mid f\text{ 在 }[-\pi,\pi]\text{ 上可积与平方可积}\}。
  • 最佳逼近：f∈X⇒f\in X\Rightarrow 对一切 n 阶三角多项式 TnT_n 有 d(f,Sn(x))≤d(f,Tn(x))d(f,S_n(x))\le d(f,T_n(x))（Fourier 部分和最优）。
  • Bessel 不等式：f∈X⇒a022+∑n=1∞(an2+bn2)≤1π∫−ππf2(x) dxf\in X\Rightarrow\dfrac{a_0^2}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\le\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\,\mathrm{d}x；从而该级数收敛、an→0a_n\to 0、bn→0b_n\to 0。
  • 一致收敛充分条件：ff 除有限点外可导、有限点处单侧可导、f(−π)=f(π)f(-\pi)=f(\pi)、f′f' 可积与平方可积 ⇒\Rightarrow F 氏级数在 [−π,π][-\pi,\pi] 上一致收敛于 ff。
  • Parseval 等式：f∈X⇒{Sn}f\in X\Rightarrow\{S_n\} 平方平均收敛于 ff（d(f,Sn)→0d(f,S_n)\to 0），且 a022+∑n=1∞(an2+bn2)=1π∫−ππf2(x) dx\dfrac{a_0^2}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)\,\mathrm{d}x；例：对 x2x^2 的展开用 Parseval 等式求 ∑1n4\sum\frac{1}{n^4}。
  • 唯一性：f∈C[−π,π]f\in C[-\pi,\pi] 与三角函数系每一项都正交 ⇒f≡0\Rightarrow f\equiv 0；f,g∈C[−π,π]f,g\in C[-\pi,\pi] 的 F 氏系数相等 ⇒f≡g\Rightarrow f\equiv g。
  • 乘积积分公式：f,g∈Xf,g\in X，系数 an,bna_n,b_n 与 aˉn,bˉn⇒1π∫−ππf(x)g(x) dx=a0aˉ02+∑n=1∞(anaˉn+bnbˉn)\bar a_n,\bar b_n\Rightarrow\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=\frac{a_0\bar a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\bar a_n+b_n\bar b_n)。