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第1章 质点运动学（速览）

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§1.1 质点运动的描述

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质点与参考系、坐标系

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  • 质点（mass point，particle）：无大小和形状、无内部结构、仅占据空间位置、具有一定质量的点，是一种理想模型。
  • 可看作质点的条件：r≫lr \gg l（ll 为线度，rr 为到观察者的距离）；物体作平动时可看作质点。
  • 实际物体：质点 → 质点系 → 刚体 → ⋯；刚体是特殊的质点系。
  • 参考系（reference frame）：研究运动时选定的参考物体；描述运动需引入参考系与坐标系（coordinate system）。
  • 直角坐标系（Cartesian）：(x,y,z)(x,y,z)，基矢 i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j}、k⃗\vec{k}，F⃗=Fxi⃗+Fyj⃗+Fzk⃗\vec{F}=F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}。
  • 球坐标系（spherical）：(r,θ,φ)(r,\theta,\varphi)，基矢 r^\hat{r}、θ^\hat{\theta}、φ^\hat{\varphi}。
  • 平面极坐标系（planar polar）：(r,φ)(r,\varphi)，φ\varphi 自极轴量起，基矢 r^\hat{r}、φ^\hat{\varphi}。

位矢、位移、路程

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  • 位矢（position vector）：r⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}；运动方程 r⃗=r⃗(t)\vec{r}=\vec{r}(t)；∣r⃗∣=x2+y2+z2|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}；方向由方向余弦 cos⁡α=x/∣r⃗∣\cos\alpha=x/|\vec{r}| 等给出。
  • 位移 Δr⃗=r⃗(t+Δt)−r⃗(t)\Delta\vec{r}=\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)（displacement）；路程 Δs\Delta s（path）。
  • 一般情形 ∣Δr⃗∣≠Δs|\Delta\vec{r}|\neq\Delta s；取极限 ∣dr⃗∣=ds|\mathrm{d}\vec{r}|=\mathrm{d}s。
  • 位矢大小的增量 Δr=∣r⃗(t+Δt)∣−∣r⃗(t)∣\Delta r=|\vec{r}(t+\Delta t)|-|\vec{r}(t)|；三量必须区分：Δr≠∣Δr⃗∣\Delta r\neq|\Delta\vec{r}|，dr≠∣dr⃗∣\mathrm{d}r\neq|\mathrm{d}\vec{r}|。
  • 位移与坐标原点选择无关：Δr⃗=Δr⃗′\Delta\vec{r}=\Delta\vec{r}'。
  • 三个求和：∣∑i=1nΔr⃗i∣=∣r⃗B−r⃗A∣\left|\sum_{i=1}^{n}\Delta\vec{r}_i\right|=|\vec{r}_B-\vec{r}_A|；∑i=1nΔ∣r⃗i∣=∣r⃗B∣−∣r⃗A∣\sum_{i=1}^{n}\Delta|\vec{r}_i|=|\vec{r}_B|-|\vec{r}_A|；∑i=1n∣Δr⃗i∣→∫AB∣dr⃗∣=∫ABds=SAB\sum_{i=1}^{n}|\Delta\vec{r}_i|\to\int_A^B|\mathrm{d}\vec{r}|=\int_A^B\mathrm{d}s=S_{AB}（n→∞n\to\infty）。

速度

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  • 平均速度 ⟨v⃗⟩=Δr⃗Δt\langle\vec{v}\rangle=\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}（矢量）；平均速率 ⟨v⟩=ΔsΔt\langle v\rangle=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}。
  • 瞬时速度 v⃗=lim⁡Δt→0Δr⃗Δt=dr⃗dt\vec{v}=\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}，方向沿切线；瞬时速率 v=dsdtv=\dfrac{ds}{dt}；由 ∣dr⃗∣=ds|d\vec{r}|=ds 得 ∣v⃗∣=v|\vec{v}|=v。
  • 直角坐标：v⃗=vxi⃗+vyj⃗+vzk⃗\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k}，vx=dxdtv_x=\dfrac{dx}{dt} 等；v=vx2+vy2+vz2v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}；方向余弦 cos⁡α=vx/∣v⃗∣\cos\alpha=v_x/|\vec{v}| 等。

平面极坐标系中的速度

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  • 基矢 r^=cos⁡θ i⃗+sin⁡θ j⃗\hat{r}=\cos\theta\,\vec{i}+\sin\theta\,\vec{j}，θ^=−sin⁡θ i⃗+cos⁡θ j⃗\hat{\theta}=-\sin\theta\,\vec{i}+\cos\theta\,\vec{j}。
  • 求导：dr^dt=dθdtθ^\dfrac{d\hat{r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\hat{\theta}，dθ^dt=−dθdtr^\dfrac{d\hat{\theta}}{dt}=-\dfrac{d\theta}{dt}\hat{r}。
  • 由 r⃗=rr^\vec{r}=r\hat{r} 得 v⃗=drdtr^+rdθdtθ^=vrr^+vθθ^\vec{v}=\dfrac{dr}{dt}\hat{r}+r\dfrac{d\theta}{dt}\hat{\theta}=v_r\hat{r}+v_\theta\hat{\theta}；径向 vr=drdtv_r=\dfrac{dr}{dt}，横向 vθ=rdθdtv_\theta=r\dfrac{d\theta}{dt}。

加速度

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  • 平均加速度 ⟨a⃗⟩=Δv⃗Δt\langle\vec{a}\rangle=\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}；瞬时加速度 a⃗=lim⁡Δt→0Δv⃗Δt=dv⃗dt\vec{a}=\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}。
  • 直角坐标：a⃗=axi⃗+ayj⃗+azk⃗=d2r⃗dt2\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}=\dfrac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}，ax=dvxdt=d2xdt2a_x=\dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} 等。
  • 切向与法向分解：a⃗=a⃗∥+a⃗⊥\vec{a}=\vec{a}_{\parallel}+\vec{a}_{\perp}，a⃗∥\vec{a}_{\parallel} 沿切向、a⃗⊥\vec{a}_{\perp} 沿法向。术语：切向 tangential、法向 normal、自然坐标系 intrinsic coordinate system。

例题：跳水入水深度（a=v dv/dxa=v\,dv/dx 分离变量）

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  • 取水面为原点、竖直向下为 xx 正向；入水速度 v0=2ghv_0=\sqrt{2gh}，减为 10% 即 vt=v0/10v_t=v_0/10。
  • 由 a=dvdt=−kv2a=\dfrac{dv}{dt}=-kv^2，作链式代换 dvdt=vdvdx\dfrac{dv}{dt}=v\dfrac{dv}{dx}，得 dvv=−k dx\dfrac{dv}{v}=-k\,dx；定积分得 x=1kln⁡10=5.76 mx=\dfrac{1}{k}\ln 10=5.76\ \text{m}。

§1.2 圆周运动和一般曲线运动

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圆周运动

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  • 匀速圆周运动（v=const.v=\text{const.}）：a=v2ra=\dfrac{v^2}{r}，a⃗=v2re^n\vec{a}=\dfrac{v^2}{r}\hat{e}_n（沿法向指向圆心）。
  • 变速圆周运动：a⃗=a⃗n+a⃗t\vec{a}=\vec{a}_n+\vec{a}_t，法向 a⃗n=v2re^n\vec{a}_n=\dfrac{v^2}{r}\hat{e}_n，切向 a⃗t=dvdte^t\vec{a}_t=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\hat{e}_t。
  • 大小 a=an2+at2=(v2r)2+(dvdt)2a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}=\sqrt{\left(\dfrac{v^2}{r}\right)^2+\left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)^2}；方向 tan⁡θ=anat\tan\theta=\dfrac{a_n}{a_t}（θ\theta 为 a⃗\vec{a} 与切向夹角）。

曲线运动与自然坐标系

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  • 曲率 K=lim⁡Δs→0ΔθΔs=dθdsK=\lim_{\Delta s\to0}\dfrac{\Delta\theta}{\Delta s}=\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}；曲率半径 ρ=1K=dsdθ\rho=\dfrac{1}{K}=\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}。
  • 由圆周运动推广（r→ρr\to\rho）：a⃗=a⃗n+a⃗t\vec{a}=\vec{a}_n+\vec{a}_t，a⃗n=v2ρe^n\vec{a}_n=\dfrac{v^2}{\rho}\hat{e}_n，a⃗t=dvdte^t\vec{a}_t=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\hat{e}_t，a=an2+at2a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}，tan⁡θ=anat\tan\theta=\dfrac{a_n}{a_t}。
  • 推导：v⃗=ve^t\vec{v}=v\hat{e}_t，a⃗=dvdte^t+vde^tdt\vec{a}=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\hat{e}_t+v\dfrac{\mathrm{d}\hat{e}_t}{\mathrm{d}t}，其中 de^tdt=dθdte^n=vρe^n\dfrac{\mathrm{d}\hat{e}_t}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\hat{e}_n=\dfrac{v}{\rho}\hat{e}_n，dθdt=Kv=vρ\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=Kv=\dfrac{v}{\rho}；得 a⃗=dvdte^t+v2ρe^n\vec{a}=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\hat{e}_t+\dfrac{v^2}{\rho}\hat{e}_n。

圆周运动的角量描述

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  • 选圆心为原点，用 θ(t)\theta(t) 代替 r⃗(t)\vec{r}(t)（直线运动用 x(t)x(t)，圆周运动用 θ(t)\theta(t)）。
  • Δs=r∣Δθ∣\Delta s=r|\Delta\theta|，v=rωv=r\omega；角速率 ω=∣dθdt∣\omega=\left|\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right|（单位 rad⋅s−1\mathrm{rad\cdot s^{-1}}）。
  • 角速度矢量 ω⃗\vec{\omega}（右手螺旋法则）：v⃗=ω⃗×r⃗\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}，v=rωv=r\omega；角加速度 α=∣dωdt∣\alpha=\left|\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\right|（单位 rad⋅s−2\mathrm{rad\cdot s^{-2}}）。
  • 切向有向分量 at=dvdt=rdωdta_t=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=r\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}，切向加速度大小为 rαr\alpha；法向 an=v2r=rω2a_n=\dfrac{v^2}{r}=r\omega^2；v=rωv=r\omega。

抛体运动（projectile motion）

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  • 前提：物体视为质点；g⃗\vec{g} 恒定；忽略空气阻力；运动位于初速度与加速度确定的平面内。
  • 由 a⃗=g⃗\vec{a}=\vec{g} 积分：v⃗=v⃗0+g⃗t\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{g}t，r⃗=v⃗0t+12g⃗t2\vec{r}=\vec{v}_0t+\dfrac{1}{2}\vec{g}t^2。
  • 取 yy 轴向上、g⃗=−gj⃗\vec{g}=-g\vec{j}、原点出发：v0x=v0cos⁡θ0v_{0x}=v_0\cos\theta_0，v0y=v0sin⁡θ0v_{0y}=v_0\sin\theta_0；vx=v0cos⁡θ0v_x=v_0\cos\theta_0，vy=v0sin⁡θ0−gtv_y=v_0\sin\theta_0-gt。
  • 分量 x=(v0cos⁡θ0)tx=(v_0\cos\theta_0)t，y=(v0sin⁡θ0)t−12gt2y=(v_0\sin\theta_0)t-\dfrac{1}{2}gt^2；轨道方程 y=xtan⁡θ0−gx22v02cos⁡2θ0y=x\tan\theta_0-\dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta_0}。
  • 同高落地（y=0y=0）时，射程 R=v02gsin⁡2θ0R=\dfrac{v_0^2}{g}\sin2\theta_0，最大射程 Rmax⁡=v02gR_{\max}=\dfrac{v_0^2}{g}。
  • 同高落地时，飞行时间 T=2v0gsin⁡θ0T=\dfrac{2v_0}{g}\sin\theta_0；最大高度 h=v02sin⁡2θ02gh=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta_0}{2g}。

§1.3 伽利略变换

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伽利略变换与绝对时空观

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  • 两参考系 S、S′ 相对匀速平动（u⃗\vec{u} 沿 xx）：r⃗=r⃗ ′+R⃗\vec{r}=\vec{r}^{\,\prime}+\vec{R}，速度 v⃗=v⃗ ′+u⃗\vec{v}=\vec{v}^{\,\prime}+\vec{u}，加速度 a⃗=a⃗ ′\vec{a}=\vec{a}^{\,\prime}，t=t′t=t'。
  • 坐标变换：x=x′+utx=x'+ut，y=y′y=y'，z=z′z=z'，t=t′t=t'；矢量形式 r⃗=r⃗ ′+u⃗t\vec{r}=\vec{r}^{\,\prime}+\vec{u}t。
  • 时间间隔绝对：由 t=t′t=t' 得 t2−t1=t2′−t1′t_2-t_1=t_2'-t_1'。
  • 空间间隔绝对：同时测两端（t1=t2t_1=t_2）得 x2−x1=x2′−x1′x_2-x_1=x_2'-x_1'，杆长是绝对的。

例题：A 追 B 相对运动追及（v⃗′=v⃗−u⃗\vec{v}'=\vec{v}-\vec{u}、径向投影）

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  • 设置：地面为 S 系，S′ 系固定在 B 上、以 B 为原点；初始 A 距 B 为 r0r_0，v⃗⊥u⃗\vec{v}\perp\vec{u}，v>uv>u，A 始终对准 B。
  • 速度变换 v⃗′=v⃗−u⃗\vec{v}'=\vec{v}-\vec{u}；A 在径向的速度分量 −v+ucos⁡θ-v+u\cos\theta，径向方程 (v−ucos⁡θ) dt=−dr′(v-u\cos\theta)\,\mathrm{d}t=-\mathrm{d}r'。
  • 积分得 vt0−u∫0t0cos⁡θ dt=r0vt_0-u\int_0^{t_0}\cos\theta\,\mathrm{d}t=r_0；又 A 沿 B 方向行驶距离等于 B 行驶距离 ∫0t0vcos⁡θ dt=ut0\int_0^{t_0}v\cos\theta\,\mathrm{d}t=ut_0，即 ∫0t0cos⁡θ dt=ut0v\int_0^{t_0}\cos\theta\,\mathrm{d}t=\dfrac{ut_0}{v}。
  • 代入得 vt0−u2t0v=r0vt_0-\dfrac{u^2t_0}{v}=r_0，故 t0=vr0v2−u2t_0=\dfrac{vr_0}{v^2-u^2}（v>uv>u），路程 s=vt0=v2r0v2−u2s=vt_0=\dfrac{v^2r_0}{v^2-u^2}。

易混点

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  • ∣Δr⃗∣|\Delta\vec{r}|（位移大小）、Δs\Delta s（路程）、Δr\Delta r（位矢大小增量）三者区分：一般 ∣Δr⃗∣≠Δs|\Delta\vec{r}|\neq\Delta s，Δr≠∣Δr⃗∣\Delta r\neq|\Delta\vec{r}|；极限下 ∣dr⃗∣=ds|\mathrm{d}\vec{r}|=\mathrm{d}s 但 dr≠∣dr⃗∣\mathrm{d}r\neq|\mathrm{d}\vec{r}|。
  • 平面极坐标记号：p6 用 (r,φ)(r,\varphi) 与 φ^\hat{\varphi}，而速度推导（p15–16）用 θ\theta 与 θ^\hat{\theta}。
  • ω\omega、α\alpha 均按绝对值定义：ω=∣dθdt∣\omega=\left|\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right|，α=∣dωdt∣\alpha=\left|\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\right|。