第2章 质点动力学

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本章目录（按讲义封面）：§2.1 牛顿运动定律；§2.2 万有引力和力学中常见的力；§2.3 SI 单位和量纲；§2.4 动力学问题的求解；§2.5 非惯性系和惯性力。

说明：以下按讲义正文幻灯片的实际编号与标题组织（正文中 §2.3 为「动力学问题的处理」、§2.4 为「SI 单位和量纲」，与封面目录的 §2.3/§2.4 次序相反）。

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§2.1 牛顿运动定律

牛顿三大运动定律出自《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica），1687 年。

一、牛顿第一定律（惯性定律）

• Newton's first law（牛顿第一定律）= The law of inertia（惯性定律）。
• 自由运动状态：物体不受外力作用的运动状态称为「自由运动状态」。
• 自由质点（free particle）：force-free（不受力）、Force is negligible（力可忽略）或 Forces are cancelled locally（力在局部相互抵消）的质点。
• 第一定律内容：处在自由运动状态的物体必定作「速度恒定」的运动——A free particle moves with constant velocity，即 $\vec{v}=\text{const. vector}$（including zero，包含静止），做匀速直线运动或静止。
• 力的定义：力是迫使质点改变其恒定速度（constant velocity）的一种作用。
• 惯性（inertia）：每个物体在不受外力作用时都有"保持其以恒定速度运动的状态"的属性，这就是惯性。
• 重要限制：「自由质点以恒定速度运动」并非对所有参考系都成立（Not true for some frames!），成立与否取决于参考系。
• 惯性参考系（惯性系，inertial system）：一定存在这样的参考系，相对于它所有不受外力作用的物体都以恒定速度运动；这类特殊的参考系称为惯性参考系。

二、惯性系的等价性

• 设 S 与 S′ 均为惯性系，S′ 相对 S 以速度 $\vec{u}$ 沿 $x/x'$ 方向平动；对应坐标轴平行（$x\parallel x'$、$y\parallel y'$、$z\parallel z'$）。空间点 P 在 S 中位矢 $\vec{r}$、在 S′ 中位矢 $\vec{r}\,'$，两原点间位矢 $\vec{R}=\overrightarrow{OO'}$，几何上 $\vec{r}=\vec{R}+\vec{r}\,'$。

• 速度变换：

  $$\frac{d\vec{r}\,'}{dt'}=\frac{d\vec{r}}{dt}-\vec{u}$$

• 等价性论证（双向）：若 $\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ 与 $\vec{u}$ 均为常矢量，则 $\dfrac{d\vec{r}\,'}{dt'}$ 亦为常矢量（S′ 中自由质点也作匀速运动）；反之，若 $\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ 与 $\dfrac{d\vec{r}\,'}{dt'}$ 均为常矢量，则两惯性系相对速度 $\vec{u}$ 必为常矢量。

• 结论：All inertial systems are equivalent.（所有惯性系彼此等价）

三、牛顿第二定律

• 文字表述：运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。
• 动量形式：$\vec{F}\propto\dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$，取等式 $\vec{F}=\dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$；其中动量（momentum）$\vec{p}=m\vec{v}$。该方程形式由欧拉（L. Euler）给出。
• 常用形式：$\vec{F}=m\vec{a}$，$m$ 为惯性质量（inertial mass）。
• 力的操作性定义 / 惯性质量的操作定义：在相同的力 $\vec{F}$ 作用下两物体满足 $m_1a_1=m_2a_2$，故 $m_2=m_1\dfrac{a_1}{a_2}$。
• 质量的性质（牛顿力学）：质量 $m$ 是绝对量，与时间选取、参考系选取、物体速度均无关。
• 实验事实与相对论修正：当 $v$ 接近真空光速 $c$ 时质量大大增加，$m=m(v)=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$（$m_0$ 为静止质量）；$v=0$ 时 $m=m_0$，低速段近似不变，$v/c\to1$ 时 $m\to\infty$。
• 适用范围：牛顿第二定律只在惯性系（inertial frames）中成立，且对象为质点（mass point）。

第二定律的分量形式

• 矢量方程：$\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i=m\vec{a}$（合力等于各分力之和）。
• 直角坐标系：$F_x=ma_x$，$F_y=ma_y$，$F_z=ma_z$。
• 自然（内禀）坐标系：法向 $F_n=ma_n=m\dfrac{v^2}{\rho}$（$\rho$ 为曲率半径）；切向 $F_t=ma_t=m\dfrac{dv}{dt}$。

四、牛顿第三定律

• 内容：$\vec{F}_{AB}=-\vec{F}_{BA}$，A 对 B 的作用力与 B 对 A 的作用力大小相等、方向相反。
• 成立性：对接触力（contact forces）总是成立；对非接触力不一定成立。
• 第三定律不涉及运动，因而不要求参考系一定是惯性系。
• 作用力与反作用力性质相同；分别作用在两个物体上，永远不会相互抵消。

五、伽利略变换与伽利略相对性原理

• 伽利略变换（Galilean transformation）：

  $$x=x'+ut,\quad y=y',\quad z=z',\quad t=t'$$

  其中 $u$ 为 S′ 相对 S 的速率；同一事件 P 在 S 系记为 $(x,y,z,t)$、在 S′ 系记为 $(x',y',z',t')$。

• 第二定律在惯性系间形式不变：S 系中 $\vec{F}=m\vec{a}$，S′ 系中 $\vec{F}\,'=m'\vec{a}\,'$；由 $\vec{a}=\vec{a}\,'$、$m=m'$ 得 $\vec{F}\,'=\vec{F}$。

• 第三定律在惯性系间不变：S 系中 $\vec{F}_{AB}=-\vec{F}_{BA}$，S′ 系中 $\vec{F}\,'_{AB}=-\vec{F}\,'_{BA}$。

• 伽利略相对性原理（Galilean relativity principle）：力学规律在一切惯性系中都可以表示为相同的形式。

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§2.2 万有引力和力学中常见的力

一、万有引力定律

• 万有引力（Gravitation）：

  $$\vec{F}_{21}=-G\frac{m_1 m_2}{r_{12}^{2}}\hat{r}_{12}$$

  $\hat{r}_{12}$ 为由 $m_1$ 指向 $m_2$ 的单位矢量；负号表示引力为吸引力（方向沿 $-\hat{r}_{12}$，指向施力质点）。$m_1,m_2$ 为引力质量，$G$ 为引力常量（gravitational constant），$r_{12}$ 为两质点间距。

• 一般式：质量 $m$ 的质点受质量 $M$ 物体的引力 $\vec{F}=-G\dfrac{mM}{r^2}\hat{r}$。

• 历史脉络（背景）：第谷（Tycho Brahe）观测 → 开普勒（Kepler）行星运动定律 → 牛顿《自然哲学的数学原理》万有引力定律。

二、由开普勒定律得平方反比律（行星轨道）

• 偏心率 $e$ 越大椭圆越扁，$e=0$ 为圆；由下表可见除水星（.206）、冥王星（.25）外，多数行星偏心率都很小、轨道接近圆形。

行星 Planet	偏心率 $e$
Mercury 水星	.206
Venus 金星	.0068
Earth 地球	.0167
Mars 火星	.0934
Jupiter 木星	.0485
Saturn 土星	.0556
Uranus 天王星	.0472
Neptune 海王星	.0086
Pluto 冥王星	.25

• 平方反比推导（椭圆轨道⟶圆轨道近似，面积定律⟶匀速圆周）：向心加速度 $a=\dfrac{v^2}{r}$，速率 $v=\dfrac{2\pi r}{T}$，由 $T\propto r^{3/2}$ 得 $v\propto r^{-1/2}$，故 $a\propto\dfrac{1}{r^2}$，行星受力 $F=ma\propto\dfrac{m}{r^2}$，引入比例系数 $\alpha$ 得 $F=m\dfrac{\alpha}{r^2}$。
• 结论：若太阳引力是行星运动的原因，则该力应与 $r$ 的平方成反比（$F\propto 1/r^2$）。

三、牛顿的月—地检验（可迁移方法）

• 方法：利用同一引力比例常数 $\alpha'$ 同时支配地面重力与月球运动；对月球用匀速圆周模型，即可由地面量 $R,g$ 和月球周期 $T$ 反求月—地距离。

• 月球：$F_{\text{月地}}=m_{\text{月}}\dfrac{\alpha'}{(r')^2}=m_{\text{月}} a_{\text{月}}\Rightarrow a_{\text{月}}=\dfrac{\alpha'}{(r')^2}$；地面物体：$F_{\text{物地}}=m_{\text{物}}\dfrac{\alpha'}{R^2}=m_{\text{物}} g\Rightarrow g=\dfrac{\alpha'}{R^2}$。

• 消去 $\alpha'$：$r'=R\sqrt{\dfrac{g}{a_{\text{月}}}}$；再用 $a_{\text{月}}=\dfrac{v^2}{r'}$、$v=\dfrac{2\pi r'}{T}$ 得

  $$(r')^{3}=\frac{R^2 g T^2}{4\pi^2}$$

• 代入 $R\approx6400\,\mathrm{km}$、$g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$、$T=27.3215$ 天，得 $r'=3.84\times10^{5}\,\mathrm{km}$。

• 核心论点：地面物体的运动规律与月亮运动规律本质相同（反对亚里士多德"天上、地面是本质不同的两类运动"）；抛体运动与地球卫星运动的差别只在于初始速度不同——初速由小到大依次为近圆轨道、椭圆轨道、不再返回的逃逸轨道。

四、重力（gravity）

• 地表附近（$r-R\ll R$，离地高度远小于地球半径 $R$）用 $R$ 代替 $r$：$\vec{F}=-G\dfrac{mM}{R^2}\hat{r}$。
• 重力加速度：矢量 $\vec{g}=-\dfrac{GM}{R^2}\hat{r}$（指向地心），大小 $g=\dfrac{GM}{R^2}$。
• 重力：$\vec{F}=m\vec{g}$。

例题：逃逸速度（第二宇宙速度）

求竖直上抛物体不再落回地面所需的最小初速度 $v_0$（不计空气阻力）。

• 距地心 $x$ 处引力 $F=G\dfrac{Mm}{x^2}$，用 $g=\dfrac{GM}{R^2}$ 消去 $GM$ 得 $F=\dfrac{mgR^2}{x^2}$。

• 牛顿第二定律（$x$ 竖直向上、引力为负）：$-\dfrac{mgR^2}{x^2}=ma$。关键技巧：用 $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=v\dfrac{dv}{dx}$ 消去时间，分离变量 $-\dfrac{gR^2}{x^2}dx=v\,dv$。

• 积分 $\displaystyle\int_{R}^{x}-\frac{gR^2}{x^2}dx=\int_{v_0}^{v}v\,dv$，得 $\dfrac{gR^2}{x}-gR=\dfrac{1}{2}v^2-\dfrac{1}{2}v_0^2$，即

  $$v=\sqrt{v_0^2-2gR+\frac{2gR^2}{x}}$$

• 判据：若 $v_0^2<2gR$，则在 $x=\dfrac{2gR^2}{2gR-v_0^2}$ 处 $v=0$（升到该处停下、不能逃逸）；若 $v_0^2\ge2gR$ 则始终 $v>0$（一直远离不返回）。

• 逃逸速度：$v_0=\sqrt{2gR}=11.2\times10^{3}\,\mathrm{m/s}$。

五、弹性力（Elastic force）

① 恢复力与胡克定律

• 恢复力（restoring force）：弹簧的恢复力。胡克定律（Hooke's law）：$F=-kx$，$x$ 为相对平衡位置（equilibrium position，$O$ 点）的位移（图中 $l_0$ 为弹簧自然长度，$x$ 自 $O$ 起算、不含 $l_0$），$k$ 为劲度系数；负号表示力指向平衡位置、与位移反向。
• 适用范围：胡克定律 $F=-kx$ 是近似的、经验的（Approximate, empirical）。

② 张力（tension）

• 张力：存在于被拉伸绳（弦）内部的弹性力。绳两端沿绳向外受力 $f$ 时张紧；在绳内任取截面 $P$ 把绳分为两段，两段在 $P$ 处通过张力 $T$ 相互作用、方向相反，互为作用力与反作用力。
• 绳分段受力分析：质量为 $M$ 的物块经绳受外力 $\vec{F}$，沿绳取 $A,B,C$ 点把绳分为 $AB$（质量 $m_{AB}$）、$BC$（质量 $m_{BC}$）两段。沿运动方向对各段用牛顿第二定律：$T_B-F_A=m_{AB}\,a$，$F-T_B=m_{BC}\,a$。
• 张力处处相等的条件：(1) $\vec{a}=0$（绳水平、加速度为零）；或 (2) $\vec{a}\neq0$ 但绳质量 $m=0$（轻绳）。此时 $T_B=F_A=F$，即绳内各处张力相等且等于外力。

例题：匀速旋转绳中的张力

质量均匀的绳，质量 $M$、长 $L$，一端固定在竖直轴上以恒定角速度 $\omega$ 在水平面内旋转（始终伸直、忽略重力），求距轴 $r$ 处张力 $T(r)$。

• 微元法：距轴 $r$ 处取长 $dr$ 的绳元，质量 $dm=\dfrac{M}{L}dr$（线密度 $M/L$），向心加速度 $a_n=r\omega^2$。径向牛顿第二定律：$T(r)-T(r+dr)=dm\cdot a_n=\dfrac{M}{L}r\omega^2\,dr$。

• 化为微分方程 $dT=-\dfrac{M\omega^2}{L}r\,dr$；边界条件：自由端 $T(L)=0$。

• 积分 $\displaystyle\int_{T(r)}^{0}dT=-\int_{r}^{L}\frac{M\omega^2}{L}r\,dr$，得

  $$T(r)=\frac{M\omega^2\,(L^2-r^2)}{2L}$$

  自由端 $r=L$ 处 $T=0$。

• 由该式可见张力在轴端 $r=0$ 处最大。

六、摩擦力（friction）

• 平动情况下摩擦力 $\vec{f}$ 分为静摩擦力 $\vec{f}_s$（static）与滑动摩擦力 $\vec{f}_k$（sliding/kinetic）。
• 静摩擦力：在图示单一水平外力作用且物体仍静止时，与该外力等值反向；一般由平衡条件决定，取值范围 $0\le f_s\le f_{s,\max}$。最大静摩擦力 $f_{s,\max}=\mu_s F_N$，方向与运动趋势相反（$\mu_s$ 静摩擦系数，$F_N$ 正压力）。
• 滑动摩擦力：$f_k=\mu F_N$，方向与相对运动方向相反（$\mu$ 滑动摩擦系数）。
• $f$–$t$ 临界关系：静止阶段 $f_s=F$ 随外力线性增至峰值 $f_{s,\max}$，越过临界点进入滑动阶段后摩擦力下降并维持在 $f_k$，即 $f_k<f_{s,\max}$；且相同接触面时 $\mu<\mu_s$。

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§2.3 动力学问题的处理

注：本节为讲义正文 §2.3，标题「动力学问题的处理」；对应封面目录的 §2.4「动力学问题的求解」。

一、例题：箱中的阿特伍德机（隔离体法）

水平桌面上放质量为 $m$ 的空箱，箱内吊一阿特伍德机，定滑轮两侧挂质量 $m_1$、$m_2$ 的物块；滑轮与绳质量可忽略、绳与滑轮光滑、绳不可伸长。求：(1) 绳张力；(2) 物块加速度；(3) 空箱受几个力。

• 方法：把空箱、滑轮、$m_1$、$m_2$ 分别隔离画受力图，以地面（惯性系）为参考系对各隔离体列方程联立。

• 受力与方程（设 $m_1>m_2$，$m_1$ 向下、$m_2$ 向上加速）：

  • 空箱（$N$ 向上、$T$ 向下、$mg$ 向下，平衡）：$N-T-mg=0$；
  • 滑轮（无质量，$T$ 向上、$T_1,T_2$ 向下）：$T-T_1-T_2=0$；
  • 物块：$m_1g-T_1=m_1a_1$，$T_2-m_2g=m_2a_2$；
  • 约束（绳不可伸长、滑轮与绳无质量且光滑）：$a_1=a_2$，$T_1=T_2$。

• 结果：

  $$a_1=a_2=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g,\qquad T_1=T_2=\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$$ $$T=2T_1=\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g,\qquad N=mg+T=\left(m+\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}\right)g$$

• 易错点（变形体 vs 刚体）：滑轮+两物体是变形体（$m_1,m_2$ 有加速度），不能当刚体用平衡式 $T-m_1g-m_2g=0$；否则错得 $T=(m_1+m_2)g$、$N=(m+m_1+m_2)g$。正确张力 $T=\dfrac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g\neq(m_1+m_2)g$。

二、例题：电梯中的阿特伍德机（惯性系 vs 非惯性系）

电梯内质量可忽略的滑轮，轻绳挂物体 A（$m_1$）、B（$m_2$），$m_1>m_2$，光滑、绳不可伸长。求 (1) 电梯匀速上升、(2) 电梯匀加速上升时绳张力及 A 相对电梯的加速度。

• 建模条件：滑轮无质量+光滑 ⟹ 两侧张力相等；轻绳不可伸长 ⟹ A、B 相对电梯加速度等大反向。注意所求是相对电梯（电梯系）的加速度。

• 情形 (1) 电梯匀速（S′ 为惯性系）：物体对电梯的加速度 = 对地面的加速度。$y$ 轴向上时 $T-m_1g=-m_1a_1$，$T-m_2g=m_2a_2$，$a_1=a_2=a_{\mathrm{el}}$，得

  $$a_{\mathrm{el}}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g,\qquad T=\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$$

• 情形 (2) 电梯以加速度 $a$ 竖直上升（S′ 为非惯性系）：加速度变换 $\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d\vec{v}\,'}{dt'}+\dfrac{d\vec{u}}{dt}$；地面系牛顿方程 $T-m_1g=m_1(-a_1'+a)$，$T-m_2g=m_2(a_2'+a)$，$a_1'=a_2'=a_{\mathrm{el}}'$，得

  $$a_{\mathrm{el}}'=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}(a+g),\qquad T=\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}(a+g)$$

• 对比：情形 (2) 相当于把情形 (1) 中的 $g$ 整体替换为 $(a+g)$。

• 特例：$a=-g$（电梯自由下落）时 $a_{\mathrm{el}}'=0$、$T=0$——滑轮与 A、B 同为自由落体，两物体间无相对加速度。

三、例题：绳绕圆柱（绞盘）

柔绳缠绕固定圆柱，包角 $\varphi$，两端张力 $T_A$、$T_B$，绳与柱摩擦系数 $\mu$，轻绳。求 $T_A$ 与 $T_B$ 的关系。

• 微元法：取位于角 $\theta$、张角 $d\theta$ 的绳元，两端张力 $T(\theta)$、$T(\theta+d\theta)$ 沿切向，法向支持力 $dN$ 径向向外，摩擦力 $\mu\,dN$ 沿切向。

• 切向、法向分量方程：$[T(\theta+d\theta)-T(\theta)]\cos\dfrac{d\theta}{2}=-\mu\,dN$，$[T(\theta+d\theta)+T(\theta)]\sin\dfrac{d\theta}{2}=dN$。

• 小量近似 $dT=T(\theta+d\theta)-T(\theta)$、$T(\theta+d\theta)+T(\theta)=2T$、$\cos\dfrac{d\theta}{2}=1$、$\sin\dfrac{d\theta}{2}=\dfrac{d\theta}{2}$，得 $dT=-\mu\,dN$、$T\,d\theta=dN$，故 $\dfrac{dT}{T}=-\mu\,d\theta$。

• 积分 $\displaystyle\int_{T_A}^{T_B}\frac{dT}{T}=-\mu\int_{\theta_A}^{\theta_B}d\theta$，得 $\ln\dfrac{T_B}{T_A}=-\mu\varphi$，即

  $$T_B=T_A\,e^{-\mu\varphi}$$

  特例 $\mu=0\Rightarrow T_B=T_A$。

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§2.4 SI 单位和量纲

注：本节为讲义正文 §2.4，标题「SI 单位和量纲」；对应封面目录的 §2.3。

一、单位制

• 基本量 / 基本单位：先选某些物理量直接规定其单位，这些量为基本量、其单位为基本单位。导出量 / 导出单位：其它物理量按一定关系从基本量导出。单位制：基本单位与导出单位的全体；基本单位选择不同则构成不同单位制。
• 国际单位制简称 SI，本课程全部采用 SI。力学基本量为长度、质量、时间，对应基本单位为米（m）、千克（kg）、秒（s）。
• 各物理量通过定义或物理定律相联系，故不必给所有量规定单位；当少数几个基本量的单位规定后，其余量的单位即可由它们导出。

二、量纲（dimension）

• 定义：表示物理量如何由基本量（含幂次）组合的式子，称为该量的量纲。力学基本量量纲符号：$L$（长度）、$M$（质量）、$T$（时间）；任一力学量 $Q$ 的量纲 $[Q]=L^{p}M^{q}T^{s}$。
• 常见量纲：$[v]=LT^{-1}$，$[a]=LT^{-2}$，$[F]=[ma]=MLT^{-2}$。
• 量纲分析的用处：① 初步检验物理等式的正确性；② 为推导公式提供线索或直接推导公式。

例题：用量纲分析求单摆周期

• 设周期 $T$ 由质量 $m$、重力加速度 $g$、摆长 $l$ 决定（$[m]=M$，$[g]=LT^{-2}$，$[l]=L$），设 $T=\alpha\,m^{\alpha_1}g^{\alpha_2}l^{\alpha_3}$（$\alpha$ 无量纲常数）。
• 量纲匹配 $M^{\alpha_1}L^{\alpha_2+\alpha_3}T^{-2\alpha_2}=T^{1}$，得 $\alpha_1=0$、$\alpha_2+\alpha_3=0$、$-2\alpha_2=1$，解出 $\alpha_1=0,\ \alpha_2=-\tfrac12,\ \alpha_3=\tfrac12$。
• 结果：$T=\alpha\sqrt{\dfrac{l}{g}}$；周期与质量 $m$ 无关，无量纲常数 $\alpha$ 在量纲分析中保持未定。

三、经典案例：用量纲分析估计原子弹爆炸能量（Taylor）

• 背景：1945-07-16 美国在新墨西哥沙漠试爆首颗原子弹；资料保密。官方公布能量 $(15\text{–}20)\times10^{3}\,\mathrm{t}$（TNT 当量），2016 年修正为 $(22.1\pm2.7)\times10^{3}\,\mathrm{t}$。英国物理学家泰勒（Taylor）仅凭公开爆炸录像，用量纲分析估得 $16.8\times10^{3}\,\mathrm{t}$。

• 点源模型：一点突然释放能量 $E$，爆炸面形成球面以冲击波（shock wave）向外传播，球面位置由"蘑菇云"反映；录像给出不同时刻 $t$ 的球面半径 $r$（附 100 m 标尺）。

• 四条近似假设：① 点源 $L\ll r$；② 瞬间 $\tau\ll t$；③ 爆炸能量全部转化为空气动能；④ 蘑菇云呈球状分布。

• 量纲分析：用 $m=\rho V$、$V\sim r^3$、$v\sim r/t$ 凑能量量纲 $[E]=[\rho]\left[\dfrac{r^5}{t^2}\right]$，得 $E=k\dfrac{\rho r^5}{t^2}$；Taylor 分析表明 $k\sim1$，故

  $$E=\frac{\rho r^5}{t^2}$$

• 所用常数：空气密度 $\rho=1.25\,\mathrm{kg/m^3}$；换算 $1\times10^3\,\mathrm{t}\,(\text{TNT})=4.184\times10^{12}\,\mathrm{J}$。

• 结果：用 25 组 $(r,t)$ 数据平均得 $E=(8.28\pm1.58)\times10^{13}\,\mathrm{J}=(19.8\pm3.8)\times10^{3}\,\mathrm{t}$（其中由首组数据 $r=11.1\,\mathrm{m},\,t=0.10\,\mathrm{ms}$ 单点代入得 $E_1=2.11\times10^{13}\,\mathrm{J}$，明显偏低）；剔除该组后用 24 组得 $E=(8.54\pm0.94)\times10^{13}\,\mathrm{J}=(20.4\pm2.2)\times10^{3}\,\mathrm{t}$，与实际值 $(22.1\pm2.7)\times10^{3}\,\mathrm{t}$ 相符。

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§2.5 非惯性系和惯性力

一、非惯性系与惯性力

• 设惯性系 $S$ 与参考系 $S'$，$S'$ 相对 $S$ 以速度 $\vec{u}(t)$ 平动，$O'$ 相对 $O$ 的位矢 $\vec{R}(t)$。位矢、速度变换：$\vec{r}\,'=\vec{r}-\vec{R}$，$\vec{v}\,'=\vec{v}-\vec{u}(t)$。

• 若 $S'$ 相对惯性系作变速运动，则 $S'$ 为非惯性系（noninertial frame）；此时牛顿第一、第二定律在 $S'$ 中不成立。

• 加速度变换：$\vec{a}\,'=\vec{a}-\dfrac{d\vec{u}}{dt}$。惯性系中 $\vec{F}=m\vec{a}$，代入得 $\vec{F}=m\vec{a}\,'+m\dfrac{d\vec{u}}{dt}$，即真实力 $\vec{F}\neq m\vec{a}\,'$。

• 惯性力（Inertial force）：定义

  $$\vec{F}_{\mathrm{in}}=-m\frac{d\vec{u}}{dt}$$

  方向与 $S'$ 相对惯性系的加速度 $\dfrac{d\vec{u}}{dt}$ 相反。引入后牛顿第二定律在 $S'$ 中形式上成立：

  $$\vec{F}+\vec{F}_{\mathrm{in}}=m\vec{a}\,'$$

• 惯性力的性质：无施力物体、无反作用力（非真实相互作用力）。

• 平动非惯性系特例：若 $S'$ 以加速度 $\vec{a}_0$ 平动（$\dfrac{d\vec{u}}{dt}=\vec{a}_0$），则 $\vec{F}_{\mathrm{in}}=-m\vec{a}_0$，方向与 $\vec{a}_0$ 相反（如加速小车中的小球受向后惯性力）。

二、视重、超重与失重

• 物体的重量：物体相对地面静止时作用在支撑物（秤）上的力。
• 视重（Apparent weight）：如图，人站在固定于电梯地板的秤上时秤的示数（电梯加速时支撑物所受的力）。
• 超重 / 失重（定性）：电梯以向上加速度 $\vec{a}$ 运动时超重；以向下加速度 $\vec{a}$ 运动时失重。
• 完全失重（定量）：下落电梯中对质点用含惯性力的平衡式 $m\vec{g}+\vec{P}+(-m_i\vec{a})=0$；竖直方向（$a$、$z$ 向下）投影 $P=mg-m_i a$。当引力质量 $m=$ 惯性质量 $m_i$ 且 $a=g$（自由下落）时 $P=0$，处于完全失重。

三、转动参考系：惯性离心力

圆盘绕中心以恒定角速度 $\vec{\omega}$ 转动，径向光滑滑槽内质量 $m$ 的小球由轻弹簧连接、相对圆盘静止。

• 地面系 $S$（惯性系）观察：小球作匀速圆周运动，向心加速度 $\vec{a}_n=-\omega^2\vec{r}$，弹簧提供向心力 $\vec{F}_n=-m\omega^2\vec{r}$（指向圆心）。

• 圆盘系 $S'$（非惯性系）观察：小球静止 $\vec{a}\,'=0$，须引入惯性力使 $\vec{F}_n+\vec{F}_{\mathrm{in}}=0$。惯性离心力（inertial centrifugal force）：

  $$\vec{F}_{\mathrm{in}}=m\omega^2\vec{r}$$

  方向沿径向背离转轴（与向心力反向）。（本节就匀速转动 $\omega=$ const. 的转动系讨论）

四、科里奥利力（Coriolis force）

• 现象：圆盘表面光滑（不开滑槽），$\omega=$ const.。地面（惯性）系看小球从盘心沿直线匀速向边缘运动；圆盘系看小球不沿半径、而向一侧偏转作曲线运动。

• 科里奥利力：

  $$\vec{F}_c=2m\vec{v}\times\vec{\omega}$$

  $\vec{v}$ 为小球相对转动参考系的速度，$\vec{\omega}$ 为角速度。结论：相对惯性系的匀速直线运动，在转动系中表现为曲线运动（需引入科里奥利力解释偏转）；反之亦然。

例题：盘心沿径向匀速运动质点（极坐标推导）

圆盘系 $S'$ 中质点从盘心沿径向以速度 $\vec{u}$ 匀速运动，$S'$ 以角速度 $\vec{\omega}$ 匀速转动；地面系 $S$ 用平面极坐标。

• 极坐标速度 $\vec{v}=\dfrac{dr}{dt}\hat{r}+r\dfrac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$，单位矢量导数 $\dfrac{d\hat{r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$、$\dfrac{d\hat{\theta}}{dt}=-\dfrac{d\theta}{dt}\hat{r}$。

• 加速度按径向/横向归并：$\vec{a}=\left[\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right]\hat{r}+\left(r\dfrac{d^2\theta}{dt^2}+2\dfrac{dr}{dt}\dfrac{d\theta}{dt}\right)\hat{\theta}$。

• 代入本例条件 $\dfrac{dr}{dt}=u$、$\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$、$\dfrac{d^2r}{dt^2}=0$、$\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=0$，得地面系加速度

  $$\vec{a}=-r\omega^2\hat{r}+2u\omega\hat{\theta}$$

• 惯性系合力 $\vec{F}=m\vec{a}=-mr\omega^2\hat{r}+2mu\omega\hat{\theta}$；圆盘系中小球作匀速直线运动 $\vec{F}\,'=\vec{F}+\vec{F}_{\mathrm{in}}=0$，故须引入

  $$\vec{F}_{\mathrm{in}}=-\vec{F}=mr\omega^2\hat{r}-2mu\omega\hat{\theta}=m\omega^2\vec{r}+2m\vec{u}\times\vec{\omega}$$

  其中 $m\omega^2\vec{r}$ 为惯性离心力，$2m\vec{u}\times\vec{\omega}$ 为科里奥利力。

科里奥利力的应用

• 与地球自转相关：赤道附近的信风、北半球与南半球的旋风（旋向相反）。科里奥利力方向由 $\vec{v}\times\vec{\omega}$ 决定（例：$\vec{\omega}$ 向上、$\vec{v}$ 垂直纸面向里 $\otimes$，则指向右方）。
• 傅科摆（Foucault pendulum）：傅科 1851 年在巴黎万神殿悬挂单摆（摆长 $67\,\mathrm{m}$、摆锤 $28\,\mathrm{kg}$ 铁球），摆平面顺时针转动、$32$ 小时转一周。其他相关现象：远射程火炮弹道偏转（北纬 $50^{\circ}$、南纬 $50^{\circ}$）。拓展思考：傅科摆摆平面转动角速度与地球自转角速度的关系（可定性或定量讨论）。

五、例题：旋转光滑管中的小球

长 $l$ 的光滑管一端绕竖直轴以角速度 $\omega_0$ 转动，小球从另一端以 $v_0=l\omega_0$ 向轴心 $O$ 滑来。求 (1) 距 $O$ 为 $r$ 时速度；(2) 滑到 $r=l/2$ 所需时间；(3) 能否到达 $O$。

• 方法：取转动的管为非惯性参考系，小球受惯性离心力。径向方程 $m\omega_0^2 r=m\dfrac{dv}{dt}$，用 $\dfrac{dv}{dt}=v\dfrac{dv}{dr}$ 消去时间得 $v\,dv=r\omega_0^2\,dr$。

• 积分（向内取负）$\displaystyle\int_{-v_0}^{-v}v\,dv=\int_{l}^{r}r\omega_0^2\,dr$，得 $v^2-v_0^2=\omega_0^2(r^2-l^2)$；代入 $v_0=l\omega_0$ 得 $v^2=r^2\omega_0^2$，故 $v=-r\omega_0$（向内）。

• 由 $\dfrac{dr}{dt}=-r\omega_0$ 分离变量积分 $\displaystyle\int_{l}^{r}\frac{dr}{r}=\int_{0}^{t}-\omega_0\,dt$，得 $\ln\dfrac{r}{l}=-\omega_0 t$，即

  $$r=l\,e^{-\omega_0 t}$$

  小球按指数规律趋近转轴。

• 到达半程 $r=\dfrac{l}{2}$：$\dfrac{l}{2}=l\,e^{-\omega_0 t_1}\Rightarrow\omega_0 t_1=\ln2\Rightarrow t_1=\dfrac{\ln2}{\omega_0}$。

• 结论 / 易错点：要到达端点 $O$（$r=0$）需 $l\,e^{-\omega_0 t}=0$，即 $t=\infty$——小球趋近转轴需无限长时间，永远到不了 $O$。