线性代数知识集锦：矩阵的秩与线性方程组

线性代数目录下载 Markdown

涵盖讲次：第17讲（矩阵的秩）、第19讲（高斯消元法和方程组解与秩）、第24讲（方程组解的结构）

关键考点总览（本讲速记）

⭐ 矩阵秩的定义：存在一个 $r$ 阶子式不为0，而所有 $r+1$ 阶子式都为0
⭐ 秩的7条基本性质：唯一性、上界、转置不变性、阶梯形秩等
⭐ 初等变换不改变矩阵的秩
⭐ 乘以可逆阵秩不变： $r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)$
⭐ 线性方程组解的判定定理： $r(A) = r(\tilde{A})$ 时有解
⭐ 自由未知量个数 = 未知数个数 $-$ 系数矩阵的秩
⭐ 基础解系定义：线性无关 + 可表出所有解（两个条件缺一不可）
⭐ 基础解系向量个数 = $n - r(A)$
⭐ 非齐次通解 = 特解 + 对应齐次方程组的通解
⭐ 秩不等式： $r(A+B) \leq r(A) + r(B)$

第17讲：矩阵的秩 - 知识集锦

一、矩阵秩的概念

(1) 定义

$k$ 阶子式：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，令 $k \leq \min\{m, n\}$ ，从 $A$ 中取 $k$ 行 $k$ 列的交叉点上元素，按照它们在矩阵 $A$ 中的相对位置组成的 $k$ 阶行列式。[来源：p1]
⭐ 矩阵的秩：设矩阵 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，若存在一个 $r$ 阶子式不为0，而矩阵 $A$ 的全部 $r+1$ 阶子式都为0，则称矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，记作 $r(A) = r$ 。[来源：p14，黄色高亮]
秩的等价刻画：
$\min\{k \mid \text{矩阵}A\text{的全部}k\text{阶子式都等于}0\} = \max\{k \mid \text{矩阵}A\text{存在一个}k\text{阶子式不等于}0\} + 1$
[来源：p13]

(2) 引理/命题

引理1：如果矩阵 $A$ 的全部 $k$ 阶子式都等于0，那么矩阵 $A$ 的全部 $k+1$ 阶的子式也都等于0。[来源：p9，黄色高亮]
引理2：如果矩阵 $A$ 存在一个 $k$ 阶子式不等于0，那么矩阵 $A$ 一定存在一个 $k-1$ 阶子式也不等于0。[来源：p11，黄色高亮]
存在唯一性：存在唯一非负整数 $r$ ，使得矩阵 $A$ 中有一个 $r$ 阶子式不等于0，但是所有的 $r+1$ 阶的子式都等于0。[来源：p13]

(3) 矩阵秩的性质

⭐ 矩阵秩的7条性质：[来源：p15]

序号	性质
(1)	秩具有唯一性
(2)	$r(A_{m \times n}) \leq \min\{m, n\}$
(3)	若矩阵 $A$ 有一个 $r$ 阶子式不为0，则 $r(A) \geq r$
(4)	若矩阵 $A$ 的所有 $r$ 阶子式都为0，则 $r(A) < r$
(5)	$r(A^T) = r(A)$ （转置不改变秩）
(6)	行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的数目
(7)	$n$ 阶可逆矩阵的秩等于 $n$

(4) 满秩矩阵与等价条件

零矩阵的秩： $r(O) = 0$ 。[来源：p16]
行（列）满秩矩阵：设矩阵 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵，若 $r(A) = m$ （ $r(A) = n$ ），则称矩阵 $A$ 为行（列）满秩矩阵。[来源：p16]
⭐ 可逆矩阵的等价条件：
$A\text{是}n\text{阶可逆阵} \Leftrightarrow A\text{是}n\text{阶满秩矩阵} \Leftrightarrow A\text{是}n\text{阶非奇异阵}$
[来源：p16]

二、矩阵秩与初等变换

(1) 定理

⭐ 定理：初等变换不改变矩阵的秩。[来源：p17]
矩阵秩是矩阵变换下的不变量。[来源：p17]

(2) 推论

标准形矩阵：设矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，即 $r(A) = r$ ，则 $A$ 的标准型矩阵为：
$\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$
[来源：p18]
等价矩阵分类：全部 $m$ 行 $n$ 列矩阵，按照等价关系可以分为 $\min\{m, n\} + 1$ 类。[来源：p19]

(3) 满秩矩阵的标准形

列满秩矩阵（ $r(A) = n$ ）的标准形： $\begin{pmatrix} E_n \\ O \end{pmatrix}$ 【整理自PPT】
行满秩矩阵（ $r(A) = m$ ）的标准形： $(E_m \quad O)$ 【整理自PPT】
可逆矩阵的标准形： $E_n$ （单位矩阵）。[来源：p22]
列（行）满秩矩阵可以只经过初等行（列）变换化为标准型。[来源：p23]

三、秩与可逆阵的乘积

(1) 定理

⭐ 定理：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $P$ 为 $m$ 阶可逆矩阵， $Q$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则：
$r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)$
即：矩阵乘以一个可逆阵，秩不变。[来源：p26，红色高亮]

四、满秩分解

(1) 定理

⭐ 满秩分解定理：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则：
$r(A) = r \Leftrightarrow \text{存在}m \times r\text{矩阵}P\text{和}r \times n\text{矩阵}Q\text{，满足}r(P) = r(Q) = r\text{，且}A = PQ$
[来源：p30，标注"满秩分解"]

(2) 推论

秩为1矩阵的分解： $A$ 是秩为1的 $m \times n$ 矩阵，当且仅当存在 $m$ 维非0列向量 $\alpha$ 和 $n$ 维非0列向量 $\beta$ ，使得 $A = \alpha \beta^T$ 。[来源：p30]
秩为1方阵的幂次公式： $A$ 为 $n$ 阶方阵， $r(A) = 1$ ，那么：
$A^m = (\beta^T \alpha)^{m-1} A = \text{tr}(A)^{m-1} A$
[来源：p30]

第19讲：高斯消元法和方程组解与秩 - 知识集锦

一、系数矩阵与增广矩阵的秩

(1) 基本不等式

⭐ 秩的关系：
$r(A) \leq r(\tilde{A}) \leq r(A) + 1$
其中 $\tilde{A} = (A \mid B)$ 是增广矩阵。[来源：p6，蓝色大字]

二、高斯消元法

(1) 基本概念

同解方程组：如果两个方程组的解的集合完全相同，那么我们说这两个方程组是同解方程组。[来源：p8]

(2) 消元法步骤

⭐ 消元法解线性方程组 $AX = B$ 的方法：[来源：p8，黄色框]

通过初等行变换将线性方程组的增广矩阵 $\tilde{A}$ 化成规范的阶梯型矩阵 $T$
写出以 $T$ 为增广矩阵的同解方程组
将一些自由未知量移到等式右边

(3) 自由未知量

⭐ 自由未知量确定方法：化为简化的阶梯形矩阵后，除去每个非0行的第一个非0元素所对应的未知数后，剩下的那些未知数。[来源：p8，红色字]
⭐ 自由未知量的个数： $n - r(A)$ （未知数个数 $-$ 系数矩阵的秩）。[来源：p8，黄色高亮]

三、线性方程组解的判定

(1) 解的情况总结

⭐ 线性方程组 $AX = B$ 解的判定：[来源：p16，黄色高亮]

条件	解的情况
$r(A) = r(\tilde{A})$	有解
$r(A) = r(\tilde{A})$ 且 $n - r(A) = 0$ （无自由未知量）	有唯一解
$r(A) = r(\tilde{A})$ 且 $n - r(A) > 0$ （有自由未知量）	有无穷多解
$r(A) \neq r(\tilde{A})$ （即 $r(A) < r(\tilde{A})$ ）	无解

(2) 定理的等价表述

⭐ 定理：线性方程组 $AX = B$ ：[来源：p17]

有解 $\Leftrightarrow$ $r(A) = r(\tilde{A})$
有唯一解 $\Leftrightarrow$ $r(A) = r(\tilde{A}) = n$ （没有自由未知量）
有无穷多解 $\Leftrightarrow$ $r(A) = r(\tilde{A}) = r < n$ （有自由未知量）
无解 $\Leftrightarrow$ $r(A) < r(\tilde{A})$

四、齐次线性方程组的解

(1) 推论

⭐ 齐次线性方程组 $AX = O$ 的解：[来源：p18，黄色高亮]

齐次线性方程组 $AX = O$ 总是有解的（至少有零解）
存在非零解 $\Leftrightarrow$ $r(A) = r < n$ （系数矩阵的秩 $<$ 未知数个数）
只有零解 $\Leftrightarrow$ $r(A) = n$ （系数矩阵的秩 $=$ 未知数个数）

五、秩与方程组的核心联系

(1) 总结

⭐ 矩阵的秩和方程组的关系：[来源：p20]

系数矩阵和增广矩阵的秩决定方程组解的存在
在有解的情况下，矩阵的秩决定未知量自由度的数目

六、行列满秩与方程组解（易错点）

(5) 反例与易错点

⭐ 思考题辨析：[来源：p22]

命题	正误	说明
系数矩阵 $A$ 是列满秩的，方程组一定有唯一解？	✗	错误，可能无解。但如果有解的话，一定唯一
系数矩阵 $A$ 是行满秩的，方程组一定有唯一解？	✗	错误，可能无穷多解，与是否存在自由未知量有关

第24讲：方程组解的结构 - 知识集锦

一、齐次线性方程组解的性质

(1) 解的性质

⭐ 解的线性组合仍为解：设 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 都是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解，那么 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_s\xi_s$ 都是方程组的解，其中 $k_1, k_2, \ldots, k_s$ 是任意常数。[来源：p3]
简言之：齐次线性方程组任意解的线性组合还是方程组的解。[来源：p3，绿色框]

二、基础解系

(1) 定义

⭐ 基础解系定义：设 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 都是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解，且满足：[来源：p4，黄色高亮]

$\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 线性无关
齐次线性方程组的任意一个解都可以由 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 线性表出

则称 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 为齐次线性方程组的基础解系。

⚠️ 两个条件，缺一不可！[来源：p4，红色提示]

(2) 定理

⭐ 基础解系存在定理：设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵， $r(A) = r < n$ ，则齐次线性方程组 $Ax = 0$ 存在由 $n - r$ 个解向量 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$ 组成的基础解系，它们的线性组合

k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}

（其中 $k_1, k_2, \ldots, k_{n-r}$ 是任意常数）给出方程组的所有解。[来源：p8]

(3) 重要公式

⭐ 秩与基础解系向量个数的关系：

r(A) + \text{基础解系所含向量的个数} = n = \text{系数矩阵的列数}

即：基础解系所含向量的个数 $= n - r(A)$ 。[来源：p8，黄色高亮]

三、基础解系求法

(6) 常用技巧

⭐ 齐次线性方程组 $Ax = 0$ 基础解系求法：[来源：p7]

步骤	操作
1	通过初等行变换化系数矩阵 $A$ 为规范阶梯形矩阵
2	将每个非0行的第一个非零元素1对应的未知数（ $r$ 个）留在等式左边，其余的未知数（自由未知量，有 $n - r(A)$ 个）移到等式右边
3	将一个自由未知量取1，其余的自由未知量都取0，然后计算出所有的等号左边的未知数，从而得到 $n - r(A)$ 个向量
4	这 $n - r$ 个向量就是 $Ax = 0$ 的基础解系，写出通解

四、非齐次线性方程组解的性质

(1) 解的性质

⭐ 非齐次方程组解的性质：设 $\eta_1, \eta_2$ 都是非齐次线性方程组 $Ax = B$ 的解：[来源：p11]

(I) $\eta_1 - \eta_2$ 是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解
- 即：非齐次方程组的两个解的差是对应齐次方程组的一个解
(II) 若 $\xi$ 是 $Ax = B$ 的解， $\eta$ 是 $Ax = 0$ 的解，那么 $\xi + \eta$ 是 $Ax = B$ 的解
- 即：非齐次方程组的一个解与对应齐次方程组的一个解的和，是非齐次线性方程组的一个解

(2) 解的线性组合

设 $\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_k$ $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{k}$ 是非齐次线性方程组 $Ax = B$ $A x = B$ 的解，那么：[来源：p21]
- $l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_k\eta_k$ 是方程组 $Ax = (l_1 + l_2 + \cdots + l_k)B$ 的解
- 若 $l_1 + l_2 + \cdots + l_k \neq 0$ ，则 $\dfrac{l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_k\eta_k}{l_1 + l_2 + \cdots + l_k}$ 是方程组 $Ax = B$ 的解

五、非齐次方程组通解求法

(6) 常用技巧

⭐ 非齐次线性方程组 $Ax = B$ 通解求法：[来源：p14]

步骤	操作
1	通过初等行变换化增广矩阵为规范阶梯形矩阵
2	将每个非0行的第一个非零元素1对应的未知数（ $r$ 个）留在等式左边，其余的未知数（自由未知量，有 $n - r$ 个）移到等式右边
3	将规范行阶梯阵中所有自由未知量取0，得到一个特解
4	将规范行阶梯阵中常数项改为0，写出一个基础解系
5	写出通解 = 基础解系的线性组合 + 一个特解

六、非齐次方程组通解的结构

(2) 定理

⭐ 非齐次方程组通解结构定理：设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵， $r(A) = r < n$ ，齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的基础解系为 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$ ， $\eta_0$ 是非齐次线性方程组 $Ax = B$ 的解，则：

k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r} + \eta_0

（其中 $k_1, k_2, \ldots, k_{n-r}$ 是任意常数）给出方程组 $Ax = B$ 的所有解，称为 $Ax = B$ 的通解。[来源：p15]

(3) 核心公式

⭐ 非齐次线性方程组的通解 = 非齐次线性方程组的特解 + 对应的齐次线性方程组的通解 [来源：p15，红色高亮]

七、秩不等式

(2) 定理/公式

⭐ 秩的不等式：

r(A + B) \leq r(A) + r(B)

[来源：p20，绿色框]

附：核心公式速查表

公式	说明
$r(A) \leq \min\{m, n\}$	秩的上界
$r(A^T) = r(A)$	转置不改变秩
$r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)$	乘可逆阵秩不变
$r(A) \leq r(\tilde{A}) \leq r(A) + 1$	系数矩阵与增广矩阵秩的关系
自由未知量个数 $= n - r(A)$	自由度公式
基础解系向量个数 $= n - r(A)$	基础解系向量数
$r(A) + (n - r(A)) = n$	秩 + 基础解系向量数 = 列数
$r(A + B) \leq r(A) + r(B)$	秩的次可加性
$A^m = \text{tr}(A)^{m-1}A$ （当 $r(A) = 1$ ）	秩为1矩阵的幂次

附：解的判定速查表

方程组类型	条件	结论
$Ax = B$	$r(A) = r(\tilde{A})$	有解
$Ax = B$	$r(A) = r(\tilde{A}) = n$	有唯一解
$Ax = B$	$r(A) = r(\tilde{A}) < n$	有无穷多解
$Ax = B$	$r(A) < r(\tilde{A})$	无解
$Ax = 0$	$r(A) = n$	只有零解
$Ax = 0$	$r(A) < n$	有非零解（无穷多解）

文档生成时间：基于第17、19、24讲PPT内容整理