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Chap 13 第二类曲线和曲面积分（速览）

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定向与定侧

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  • 定向曲线 LABL_{AB}：起点 AA、终点 BB；τ=r′(t)∣r′(t)∣\boldsymbol{\tau} = \dfrac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} 指向参数增加方向。
  • 简单闭曲线：逆时针 L+L^+，顺时针 L−L^-；区域边界正向 ∂D+\partial D^+：前进时 DD 在左手侧。
  • 单连通：DD 内任一闭曲线所围区域都落在 DD 内；否则复连通。
  • 双侧曲面定侧：正侧 S+S^+ / 负侧 S−S^-；z=z(x,y)z = z(x,y) 时 n∘=±(−zx,−zy,1)1+zx2+zy2\mathbf{n}^\circ = \pm\dfrac{(-z_x, -z_y, 1)}{\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}}，取 ++ 则 cos⁡γ>0\cos\gamma > 0 指向上侧（正侧）；封闭曲面外侧为正侧；Möbius 带是单侧曲面。

两类积分的定义与互化

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  • 第二类曲线积分：∫LF⋅dr=∫L(F⋅eτ) ds=∫LP dx+Q dy\int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_L (\mathbf{F} \cdot \mathbf{e}_\tau)\, ds = \int_L P\,dx + Q\,dy（dr=eτds=(dx,dy)d\mathbf{r} = \mathbf{e}_\tau ds = (dx, dy)）。
  • 第二类曲面积分：∬Sv⋅dS=∬S(v⋅n∘) dS=∬SP dy dz+Q dz dx+R dx dy\iint_S \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ)\, dS = \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy（dS=n∘dS=(dy dz,dz dx,dx dy)d\mathbf{S} = \mathbf{n}^\circ dS = (dy\,dz, dz\,dx, dx\,dy)）。
  • 反向/反侧变号：∫LBA=−∫LAB\int_{L_{BA}} = -\int_{L_{AB}}；∬S−=−∬S+\iint_{S^-} = -\iint_{S^+}；其余性质（线性性、可加性）同第一类。
  • 物理意义：曲线积分=变力做功（闭曲线为环流量 Φ=∮Lv⋅dr\Phi = \oint_L \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r}）；曲面积分=体积流量（封闭曲面为通量）。

计算公式

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  • 曲线参数化：L:x=x(t),y=y(t), t:α→βL: x{=}x(t), y{=}y(t),\ t: \alpha \to \beta ⟹ ∫LP dx+Q dy=∫αβ[Px′(t)+Qy′(t)] dt\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_\alpha^\beta [P x'(t) + Q y'(t)]\, dt；y=y(x),x:a→by = y(x), x: a \to b 时 =∫ab[P+Qy′(x)] dx= \int_a^b [P + Q y'(x)]\, dx；LL 平行 xx 轴 ⟹ ∫LQ dy=0\int_L Q\,dy = 0。
  • 曲面参数化：∬SP dy dz+Q dz dx+R dx dy=±∬D(PA+QB+RC) du dv\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \pm\iint_D (PA + QB + RC)\, du\,dv，其中 (A,B,C)=ru×rv(A,B,C) = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v，±\pm 由指定侧法向量定。
  • 合一投影法（z=z(x,y)z = z(x,y)）：=±∬D(−Pzx−Qzy+R) dx dy= \pm\iint_D (-P z_x - Q z_y + R)\, dx\,dy；只含 R dx dyR\,dx\,dy 时 =±∬DR(x,y,z(x,y)) dx dy= \pm\iint_D R(x, y, z(x,y))\, dx\,dy（上侧 ++ / 下侧 −-）；母线平行 zz 轴柱面上 ∬SR dx dy=0\iint_S R\,dx\,dy = 0。

三大公式

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  • Green：∮∂D+P dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\oint_{\partial D^+} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy（DD 为平面有界闭域，v=(P,Q)\mathbf{v}=(P,Q) 光滑、边界分段光滑）；面积 S=12∮∂D+x dy−y dxS = \dfrac{1}{2}\oint_{\partial D^+} x\,dy - y\,dx。
  • Gauss：∬∂Ω+P dy dz+Q dz dx+R dx dy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\iint_{\partial\Omega^+} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left( \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z} \right) dV（Ω\Omega 为空间有界闭域，v\mathbf{v} 光滑、∂Ω\partial\Omega 分片光滑闭曲面）；体积 V(Ω)=13∬∂Ω+x dy dz+y dz dx+z dx dyV(\Omega) = \dfrac{1}{3}\iint_{\partial\Omega^+} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy。
  • Stokes：∮∂SP dx+Q dy+R dz=∬S(∂R∂y−∂Q∂z)dy dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\oint_{\partial S} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_S \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy\,dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz\,dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy，∂S\partial S 方向与 SS 侧向按右手法则；可用行列式（首行 dy dz,dz dx,dx dydy\,dz, dz\,dx, dx\,dy 或 cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma 加 dSdS）记忆。
  • 向量形式：Green（通量场/外法向量形式）∮∂Dv⋅n∘ds=∬D∇⋅v dσ\oint_{\partial D} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ ds = \iint_D \nabla \cdot \mathbf{v}\, d\sigma；Gauss ∬∂Ω+v⋅dS=∭Ωdiv⁡v dV\iint_{\partial\Omega^+} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \operatorname{div} \mathbf{v}\, dV；Stokes ∮∂Sv⋅dr=∬Srot⁡v⋅dS\oint_{\partial S} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \operatorname{rot} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}。

散度与旋度

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  • div⁡v=∇⋅v=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\operatorname{div} \mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}；物理意义 div⁡v(M)=lim⁡Ω→M1Vol⁡(Ω)∬∂Ω+v⋅dS\operatorname{div} \mathbf{v}(M) = \lim\limits_{\Omega \to M} \dfrac{1}{\operatorname{Vol}(\Omega)} \iint_{\partial\Omega^+} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}。
  • rot⁡v=∇×v=(∂R∂y−∂Q∂z, ∂P∂z−∂R∂x, ∂Q∂x−∂P∂y)\operatorname{rot} \mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{v} = \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z},\ \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x},\ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right)；物理意义 rot⁡v⋅n∘∣M=lim⁡S→M1Area⁡(S)∮∂Sv⋅dr\operatorname{rot} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ \big|_M = \lim\limits_{S \to M} \dfrac{1}{\operatorname{Area}(S)} \oint_{\partial S} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r}。

路径无关与全微分（单连通区域 DD 内光滑场）

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  • 四条等价：① 任一闭曲线 ∮LP dx+Q dy=0\oint_L P\,dx + Q\,dy = 0 ⟺ ② 曲线积分与路径无关 ⟺ ③ P dx+Q dy=dφP\,dx + Q\,dy = d\varphi（存在原函数）⟺ ④ ∂Q∂x≡∂P∂y\dfrac{\partial Q}{\partial x} \equiv \dfrac{\partial P}{\partial y}。
  • 路径无关时 ∫ABv⋅dr=φ(B)−φ(A)\int_A^B \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \varphi(B) - \varphi(A)，v=∇φ\mathbf{v} = \nabla\varphi；原函数求法 φ(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)P dx+Q dy\varphi(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P\,dx + Q\,dy（全微分求积）。
  • 全微分方程 P dx+Q dy=0P\,dx + Q\,dy = 0（判别式 ∂Q/∂x=∂P/∂y\partial Q/\partial x = \partial P/\partial y）：求出原函数 φ\varphi，通解 φ(x,y)=C\varphi(x,y) = C。

易错点与方法提醒

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  • 第二类积分变号规则只随定向/定侧改变，两类积分形式不同；Q=0Q = 0 的 ∫LP dx\int_L P\,dx、P=Q=0P = Q = 0 的 ∬SR dx dy\iint_S R\,dx\,dy 仍是第二类。
  • 用 Green/Gauss 前检查：曲线/曲面是否封闭（不闭先补线/补面再扣除）、场在区域内是否光滑（含奇点时不能直接用，如 x dy−y dxx2+y2\dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2} 在原点、cos⁡(r,n)∥r∥2\dfrac{\cos(\mathbf{r},\mathbf{n})}{\|\mathbf{r}\|^2} 在原点）。
  • 投影法定号：上侧 ++、下侧 −-；封闭曲面默认外侧为正；Stokes 中 ∂S\partial S 与 n∘\mathbf{n}^\circ 按右手法则配套。
  • 常用结论性例题答案：椭球面外侧 ∬x dy dz+y dz dx+z dx dy=4πabc\iint x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = 4\pi abc；包围原点封闭曲面 ∬Scos⁡(r,n)∥r∥2dS=4π\iint_S \dfrac{\cos(\mathbf{r},\mathbf{n})}{\|\mathbf{r}\|^2} dS = 4\pi。