第3章 狭义相对论

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§3.1 经典力学的困难

伽利略变换

在两个惯性系中考察同一个物理事件: S系用 $\vec r(x,y,z,t)$ 描述该事件, S'系用 $\vec r{\,}'(x',y',z',t')$ 描述同一事件。

参考系约定(据图): 两惯性系坐标轴对应平行($y\parallel y'$, $z\parallel z'$), S'相对S以速度 $u$ 沿 $x$($=x'$)正方向运动; 事件点为 P, $\vec r$ 从 O 指向 P、$\vec r{\,}'$ 从 O' 指向 P。

正变换(S → S'):

$$x'=x-ut,\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'=t$$

逆变换(S' → S):

$$x=x'+ut',\quad y=y',\quad z=z',\quad t=t'$$

伽利略变换的困难

物理规律都是相对于一定参考系表述出来的。

在经典力学中, 力学基本运动定律对所有惯性系成立。

人们从长期实践中总结出了电磁场的基本规律(幻灯片在此处标注年代: 1785、1831、1865、1888); 宏观电磁现象的普遍规律可以表为麦克斯韦方程组(Maxwell 方程组)。

由此提出"参考系"问题: 电磁现象的基本规律究竟适用于什么参考系?

真空中光速与伽利略变换的矛盾

真空中的光速由电磁学常量给出:

$$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$$

光沿任意方向的速度值: 在惯性系 S 中, 光沿任意方向的速度值都相同; 在该"特定的惯性系"中有 $v_x=v_y=v_z=c$。

伽利略速度变换(由坐标变换得到, S'相对S沿 $x$ 以 $u$ 运动):

$$v_x'=v_x-u,\quad v_y'=v_y,\quad v_z'=v_z$$

(同页并列重写了坐标变换 $x'=x-ut,\,y'=y,\,z'=z,\,t'=t$。)

矛盾(困难)结论: 在相对于惯性系 S 运动的其它惯性系 S' 中, 光沿各个方向的速度值并不一定都是相同的。

特定参考系 / 绝对惯性系 / 以太

图示: 存在一系列惯性系 S、S'、S''、…, 它们的原点 O、O'、O'' 沿 $x$ 轴依次排列, S'、S'' 分别以 $\vec u{\,}'$、$\vec u{\,}''$(均沿 $x$ 正向)相对运动; 图中 S 与 S' 之间画出的"…"表示这样相对运动的惯性系有许多个。

幻灯片给出该特殊参考系(即 p04 中光速各向同性所要求的"特定的惯性系")的三个名称: 特定的惯性系、绝对惯性系、以太。

恒星的光行差与以太拖曳实验

恒星的光行差: 1728 年, J. Bradley。

图示关系: 恒星的"真实位置"在正上方(星光沿竖直方向射下); 由于观测者(地球)以速度 $v$ 沿水平方向运动, 望远镜必须沿运动方向倾斜一角度 $\alpha$, 使恒星显现于偏向运动方向一侧的"视位置"。

历史上曾利用光行差现象说明: 以太没有被地球拖曳着一起运动。

斐索实验: 1851 年, H. L. Fizeau。在菲索的原始实验中观测到 0.19 个条纹移动, 相当于拖曳系数等于 0.46。

1886 年, 迈克耳孙(A. A. Michelson)、莫雷(E. W. Morley)重复了上述实验, 做了更精确的测量, 得到拖曳系数等于 $0.434\pm0.020$。

结论: 在运动的物质中, 以太受到部分拖曳。

§3.2 狭义相对论的基本假设

1. 迈克耳孙-莫雷实验

实验所针对的以太理论前提: 在以太参考系中, 光沿任意方向的速度值都等于 $c$; 而在相对于以太运动的其它惯性系中, 光沿各个方向的速度值并不一定都相同。

实验设想(地球上的测量思路): 如果能在地球上测定各个方向光速值的差异, 就可以由此确定地球相对于以太的运动。

测量手段为迈克耳孙(A. A. Michelson)干涉仪; 其实验精度达到 $v^2/c^2$ 数量级, 因而可在地球上测定各个方向光速值的差异。

1881 年迈克耳孙首次用迈克耳孙干涉仪做了观测实验: 将仪器旋转 $90^\circ$, 应有 0.4 个条纹的移动; 实验结果是根本不存在条纹移动。

1887 年迈克耳孙(A. A. Michelson)与莫雷(E. W. Morley)进行了更精密的测量, 即"迈克耳孙-莫雷实验"。

实验装置示意(1887 年克利夫兰干涉仪, 装在浮于水银上的石台上)给出干涉仪结构元件: 光源(Light source)、可调反射镜(Adjustable mirror)、若干反射镜(Mirrors)、镀银玻璃板(Silvered glass plate)、未镀银玻璃板(Unsilvered glass plate)、望远镜(Telescope)。

爱因斯坦 1905 年的论文

爱因斯坦(Albert Einstein)于 1905 年 9 月(任职于伯尔尼的瑞士联邦发明专利局期间), 在《物理学年鉴》(Annalen der Physik)上发表论文《论动体的电动力学》(Zur Elektrodynamik bewegter Körper)。

该工作否定了绝对参考系的存在, 即不存在以太。

2. 爱因斯坦的基本假设

(1) 相对性原理: 一切物理规律在任何惯性系中形式相同, 所有惯性系都是等价的。

(2) 光速不变原理: 真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为 $c$, 与光源运动无关。

本节标题处(与"爱因斯坦的基本假设"并列)标出"洛伦兹变换", 表明将由上述两条基本假设出发推导洛伦兹变换。

配套参考系配置图示: 两惯性系 $S$ 与 $S'$, 各轴对应平行 ($x\,/\,x'$ 水平、$y\,/\,y'$ 竖直、$z\,/\,z'$ 斜向), 原点分别为 $O$、$O'$; $S'$ 系相对 $S$ 系沿 $+x$ 方向以速度 $\vec{u}$ 运动(箭头指向右)。$S'$ 系中为一节车厢(图中绿色长条), 前壁、后壁上装有光接收器 $P_1'$、$P_2'$, 其中沿运动方向(右端)的前壁接收器为 $P_1'$、后端后壁接收器为 $P_2'$; 所涉为真空中的光速 $c$。

§3.3 洛伦兹变换

参考系设置与约定

两个惯性系 $S$ 和 $S'$, 坐标轴彼此平行; $S'$ 系相对于 $S$ 系以速度 $u$ 沿 $x$ 轴正方向运动; 两系坐标原点 $O$ 与 $O'$ 重合时同时开始计时(取 $t=t'=0$)。

同一事件 $P$ 在 $S$ 系中的时空坐标记为 $(x,y,z,t)$, 在 $S'$ 系中记为 $(x',y',z',t')$; 图中 $S'$ 系连同 $O'$、$x'$ 轴随速度 $u$ 沿 $x$ 正方向平移, $y'\parallel y$、$z'\parallel z$。

洛伦兹变换(正变换: S 系 → S' 系)

$$x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}},\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad t'=\frac{t-\dfrac{u}{c^{2}}x}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}$$

其中 $u$ 为 $S'$ 系相对 $S$ 系沿 $+x$ 方向的速度, $c$ 为光速; 横向坐标 $y,z$ 不变, 时间变换中含与 $x$ 耦合的项 $-\dfrac{u}{c^{2}}x$。

洛伦兹变换(逆变换: S' 系 → S 系)

$$x=\frac{x'+ut'}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}},\qquad y=y',\qquad z=z',\qquad t=\frac{t'+\dfrac{u}{c^{2}}x'}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}$$

逆变换可由正变换作替换 $u\to -u$ 并互换带撇与不带撇坐标得到; 幻灯片以 $u\to -u$ 标注此关系。

与伽利略变换的关系

伽利略变换(正/逆):

$$\begin{aligned} &x'=x-ut,\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'=t\\ &x=x'+ut',\quad y=y',\quad z=z',\quad t=t' \end{aligned}$$

当 $u\ll c$ 时, $\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}\to 1$。

此时洛伦兹变换退化为伽利略变换。

事件与观测者的操作约定

在两个惯性系中观测同一个物理事件: 洛伦兹变换把惯性系 $S$ 的坐标 $(x,y,z,t)$ 与惯性系 $S'$ 的坐标 $(x',y',z',t')$ 相联系, 二者均为对该事件"测量的结果"。

观察者在 S 系

在 $S$ 系的空间各点放置无穷系列的时钟, 这些时钟与该惯性系保持相对静止、彼此同步。一个事件的时空坐标 $(x,y,z,t)$ 由该事件发生处的观察者记录: 空间坐标为该事件发生时的空间坐标, 时间为该观察者用该处的时钟记录下来的该事件发生时的时间。

图示 $S$ 系沿 $x$ 轴排布一系列相对静止、彼此同步的时钟(各钟指针朝向一致), 原点为 $O$; 位于 $A$ 点的事件由该处时钟读数 $t_A$ 记录。

观察者在 S' 系

在 $S'$ 系的空间各点放置无穷系列的时钟, 这些时钟与该惯性系保持相对静止、彼此同步。一个事件的时空坐标 $(x',y',z',t')$ 由该事件发生处的观察者记录: 空间坐标为该事件发生时的空间坐标, 时间为该观察者用该处的时钟记录下来的该事件发生时的时间。

图示 $S'$ 系沿 $x'$ 轴排布一系列相对静止、彼此同步的时钟, 原点为 $O'$; 位于 $A'$ 点的事件由该处时钟读数 $t'_{A'}$ 记录。

校钟方法

校钟方法图示: 在 $A$、$B$ 两处各放一只时钟, 中点 $O$ 处设一光源向两侧发光; $O$ 到 $A$、$O$ 到 $B$ 的距离均为 $l$(两侧等距)。

§3.4 狭义相对论的时空观

洛伦兹变换汇总与时空坐标约定

约定:描述事件 $P$ 发生时的时空坐标。设 S′ 系相对 S 系以速度 $u$ 沿 $+x$ 方向匀速运动,两系对应坐标轴平行($x\parallel x'$、$y\parallel y'$、$z\parallel z'$)。约定框中给出:S 系记事件为 $P(x,t)$,S′ 系记为 $P(x',t')$(相对运动沿 $x$ 方向,故通常只用 $x,t$)。

由洛伦兹变换令 $x=t=0$ 即得 $x'=t'=0$,故 $t=t'=0$ 时两原点 $O$、$O'$ 重合。

洛伦兹正变换(S 系坐标 → S′ 系坐标):

$$x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}},\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad t'=\frac{t-\dfrac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

洛伦兹逆变换(S′ 系坐标 → S 系坐标),将正变换中 $u$ 换号即可:

$$x=\frac{x'+ut'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}},\qquad y=y',\qquad z=z',\qquad t=\frac{t'+\dfrac{u}{c^2}x'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

示意图:S 与 S′ 两套直角坐标系,$x$ 轴与 $x'$ 轴共线,$y\parallel y'$、$z\parallel z'$;S′ 系以速度 $u$ 沿 $+x$ 方向平移,原点分别为 $O$、$O'$;同一事件点 $P$ 在 S 系坐标为 $(x,y,z,t)$,在 S′ 系坐标为 $(x',y',z',t')$。

1. 同时的相对性

同时性判据与两事件的时间差

设有两个事件。S 系中:事件 1 坐标 $(x_1,t_1)$,事件 2 坐标 $(x_2,t_2)$;S′ 系中:事件 1 坐标 $(x_1',t_1')$,事件 2 坐标 $(x_2',t_2')$。两事件在 S 系"同时发生"即 $t_1=t_2$。问题:在 S′ 系中是否仍有 $t_2'=t_1'$?

由时间正变换分别写出两事件在 S′ 系的时刻:

$$t_1'=\frac{t_1-\dfrac{u}{c^2}x_1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}},\qquad t_2'=\frac{t_2-\dfrac{u}{c^2}x_2}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

两者相减得到一般时间差表达式:

$$t_2'-t_1'=\frac{(t_2-t_1)-\dfrac{u}{c^2}(x_2-x_1)}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

当两事件在 S 系同时($t_1=t_2$)时,上式化简为:

$$t_2'-t_1'=\frac{\dfrac{u}{c^2}(x_1-x_2)}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

同地与异地两同时事件的结论

S 系中"同地"发生的两个同时事件:$t_1=t_2$ 且 $x_1=x_2$ $\Rightarrow$ $t_1'=t_2'$,即在 S′ 系中仍然同时。

S 系中"异地"发生的两个同时事件:$t_1=t_2$ 但 $x_1\neq x_2$ $\Rightarrow$ $t_1'\neq t_2'$,即在 S′ 系中不再同时——这就是同时的相对性。具体符号关系:

• $x_1>x_2$ $\Rightarrow$ $t_2'>t_1'$
• $x_1<x_2$ $\Rightarrow$ $t_2'<t_1'$

时钟校准是否绝对:提出问题

图示(in S):S 系沿 $x$ 轴排有一长列时钟(标出 $O$、$A$),指针全部指向同一方向,表示在 S 系看来这些时钟均已校准(同步);S′ 系 $x'$ 轴上画有 $O'$、$A'$ 两只时钟。提出问题:当 S 系观察者认为自己所在参考系上所有时钟都已校准时,S′ 系上的各时钟是否也都校准了?

p19 还以相反方向提出同一问题:第二幅图中 S′ 系 $x'$ 轴排有一长列均已校准的时钟、S 系 $x$ 轴上只画 $O$、$A$ 两只时钟,对应的疑问是——当 S′ 系观察者认为自己所在参考系上所有时钟都已校准时,S 系上的各时钟是否也都校准了?

在 S 系中考察 S′ 系的时钟

图示(in S):下排为 S 系时钟 $A,O,B$(在 $x$ 轴上,指针一致,表示在 S 系中已同步);上排为 S′ 系时钟 $A',O',B'$(在 $x'$ 轴上,随 S′ 系以 $\vec u$ 沿 $+x$ 方向运动),三只指示不一致。

取 S 系所有时钟读数 $t_A=t_B=0$,位置取 $x_A<0$(在 $O$ 左)、$x_B>0$(在 $O$ 右),用时间正变换求 S′ 系对应时钟读数:

$$t_{A'}'=\frac{t_A-\dfrac{u}{c^2}x_A}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\ \Rightarrow\ t_{A'}'>0\quad(t_A=0,\ x_A<0)$$ $$t_{B'}'=\frac{t_B-\dfrac{u}{c^2}x_B}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\ \Rightarrow\ t_{B'}'<0\quad(t_B=0,\ x_B>0)$$

结论:在 S 系看来,虽然 S 系自身时钟同步,但 S′ 系各时钟并不同步——后方时钟 $A'$($x<0$)读数为正(超前),前方时钟 $B'$($x>0$)读数为负(滞后)。

在 S′ 系中考察 S 系的时钟

图示(in S′):上排为 S′ 系时钟 $A',O',B'$(在 $x'$ 轴上,指针一致,表示在 S′ 系中已同步);下排为 S 系时钟 $A,O,B$(在 $x$ 轴上,相对 S′ 系以 $-\vec u$ 沿 $-x$ 方向运动),三只指示不一致。

取 S′ 系所有时钟读数 $t_{A'}'=t_{B'}'=0$,位置取 $x_{A'}'<0$、$x_{B'}'>0$,用时间逆变换(含 $+\dfrac{u}{c^2}$ 项)求 S 系对应时钟读数:

$$t_A=\frac{t_{A'}'+\dfrac{u}{c^2}x_{A'}'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\ \Rightarrow\ t_A<0\quad(t_{A'}'=0,\ x_{A'}'<0)$$ $$t_B=\frac{t_{B'}'+\dfrac{u}{c^2}x_{B'}'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\ \Rightarrow\ t_B>0\quad(t_{B'}'=0,\ x_{B'}'>0)$$

结论:在 S′ 系看来,虽然 S′ 系自身时钟同步,但 S 系各时钟并不同步——时钟 $A$($x'<0$)读数为负(滞后),时钟 $B$($x'>0$)读数为正(超前)。

该情形与在 S 系考察 S′ 系时钟的情形互为对称,说明时钟校准(同时性)在两惯性系间是相对的。

2. 运动时钟的变慢

设置与符号约定

• S′系中在同一地点 $x_1'$ 先后发生两个事件 $P_1(x_1',t_1')$、$P_2(x_1',t_2')$（第二事件的空间坐标仍为 $x_1'$），且 $t_1'<t_2'$，记该系所测时间间隔 $\Delta t'=t_2'-t_1'$。
• 同样两个事件在 S系测得 $P_1(x_1,t_1)$、$P_2(x_2,t_2)$，记 $\Delta t=t_2-t_1$。
• 符号约定：$u$ 为 S′系相对 S系的运动速度（由 p23 图示，固定于 S′ 的时钟 $O'$ 以 $u$ 沿水平 $+x$ 方向相对 S系运动）。

时间膨胀公式与结论

• 由 Lorentz 逆变换，对两事件分别有

$$t_1=\frac{t_1'+\dfrac{u}{c^2}x_1'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}},\qquad t_2=\frac{t_2'+\dfrac{u}{c^2}x_1'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

因两事件 $x'$ 坐标相同（均为 $x_1'$），空间项 $\dfrac{u}{c^2}x_1'$ 相消，相减得

$$t_2-t_1=\frac{t_2'-t_1'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}.$$

• 因 $\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}>1$，故 $t_2-t_1>t_2'-t_1'$，即 $\Delta t>\Delta t'$（运动时钟变慢 / 时间膨胀）。
• 在同一地点相继发生两个事件的惯性系中所测得的时间间隔最短；在与它作相对运动的其它惯性系中，测得的时间间隔就长一些。
• 运动物体上发生的自然过程比起静止物体的同样过程延缓了。

单一运动时钟与两只静止钟的比较（p23 示意）

• 固定在 S′系 $O'$ 处的一个时钟，在 S系看来是运动时钟。
• 比较方法：用 S系中沿运动方向放置的两只钟 $O$、$B$（静止于 S系）与单一运动钟 $O'$ 先后相遇来比较读数。
  • 时钟 $O'$ 与时钟 $O$ 相遇时：$t_1=t_1'=0$。
  • 时钟 $O'$ 与时钟 $B$ 相遇时：时钟 $O'$ 指向 $t_2'$，时钟 $B$ 指向 $t_2$。
• 于是 $\Delta t'=t_2'-t_1'=t_2'$，$\Delta t=t_2-t_1=t_2$；结论 $\Delta t>\Delta t'$，即 $t_2>t_2'$。
• 图示为两个时刻的快照：上排为 S′系的单钟 $O'$（以 $\vec{u}$ 水平向右运动），下排为 S系的两只固定钟 $O$、$B$；左快照对应 $O'$ 与 $O$ 相遇（读数 $t_1'$、$t_1$），右快照对应 $O'$ 与 $B$ 相遇（读数 $t_2'$、$t_2$）。
• 结论：S系上的观察者认为运动时钟走得比静止时钟慢一些 ⟹ 运动时钟变慢。

例题：车厢内推球，地面测得所经历时间（一般方法）

• 题设：静止长度为 $l_0$ 的车厢以速度 $u$ 相对地面作匀速直线运动；车厢内从后壁以恒定速度 $u_0$ 向前推一小球；求地面观察者测得小球从后壁运动到前壁所经历的时间。固定在车厢上的参考系为 S′系，地面为 S系。
• 事件设定：小球从后壁脱离为 $P_1$，坐标 $(x_1,t_1)$/$(x_1',t_1')$；小球与前壁相碰为 $P_2$，坐标 $(x_2,t_2)$/$(x_2',t_2')$。车厢系（S′）中已知 $x_2'-x_1'=l_0$，$t_2'-t_1'=\dfrac{l_0}{u_0}$。
• 关键判断（可迁移方法）：两事件在 S′系不在同一地点（$x_2'-x_1'=l_0\neq0$），因此不能直接套用纯时间膨胀公式，必须用完整 Lorentz 逆变换并保留空间项：

$$t_2-t_1=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\left[(t_2'-t_1')+\frac{u}{c^2}(x_2'-x_1')\right].$$

• 代入结果：

$$t_2-t_1=\frac{\dfrac{l_0}{u_0}+\dfrac{u}{c^2}l_0}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}=\frac{l_0}{u_0}\cdot\frac{1+\dfrac{u u_0}{c^2}}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}.$$

• 易错点：本例的 S′系时间间隔 $\Delta t'=l_0/u_0$ 不是同地点测得（小球前后壁位置不同），所以 $\Delta t\neq \Delta t'/\sqrt{1-u^2/c^2}$，必须额外计入 $\dfrac{u}{c^2}(x_2'-x_1')$ 项。

3. 运动物体的长度缩短

测量约定与符号

• 沿 $x$ 方向放置一根细棒, 测其两端 A、B 的坐标之差即为棒长。S 系中长度记为 $x_B-x_A$, S′ 系中长度记为 $x_B'-x_A'$; 端点 A 坐标在两系分别为 $(x_A,t_A)$ 与 $(x_A',t_A')$, 端点 B 为 $(x_B,t_B)$ 与 $(x_B',t_B')$。
• S′ 系相对 S 系以速度 $u$ 沿 $+x$ 方向运动(图中 $\vec{u}$ 箭头指向右); 图中 S 与 S′ 两纵轴并列画于左端, O、O′ 标于原点处; $c$ 为光速。
• 测运动棒长必须"同时"测两端: 在哪个参考系中测量, 就要求两端的测量在该系中同时进行(下文中即令对应的时间项相等), 从而消去洛伦兹变换中的时间交叉项。

情形一: 细棒固定在 S′ 系 (在 S 系中测量, 要求 $t_A=t_B$)

• 棒静止于 S′ 系; 在 S 系中"同时"测两端, 即取 $t_A=t_B$。
• 对两端分别作洛伦兹变换:

$$x_A'=\frac{x_A-u t_A}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}},\qquad x_B'=\frac{x_B-u t_B}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

• 两式相减得一般关系:

$$x_B'-x_A'=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\big[(x_B-x_A)-u(t_B-t_A)\big]$$

• 代入测量条件 $t_A=t_B$(交叉项 $u(t_B-t_A)=0$), 得:

$$x_B'-x_A'=\frac{x_B-x_A}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

• 因 $\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}>1$, 所以 $x_B-x_A<x_B'-x_A'$, 即在 S 系(棒相对运动)测得的长度小于在 S′ 系(棒静止)测得的长度——运动物体的长度收缩, 亦称洛伦兹收缩。

情形二: 细棒固定在 S 系 (在 S′ 系中测量, 要求 $t_A'=t_B'$)

• 棒静止于 S 系; 在 S′ 系中"同时"测两端, 即取 $t_A'=t_B'$。
• 对两端分别作逆洛伦兹变换:

$$x_A=\frac{x_A'+u t_A'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}},\qquad x_B=\frac{x_B'+u t_B'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

• 两式相减得一般关系:

$$x_B-x_A=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\big[(x_B'-x_A')+u(t_B'-t_A')\big]$$

• 代入测量条件 $t_A'=t_B'$(交叉项 $u(t_B'-t_A')=0$), 得:

$$x_B-x_A=\frac{x_B'-x_A'}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

• 故 $x_B'-x_A'<x_B-x_A$, 即在 S′ 系(棒相对运动)测得的长度小于在 S 系(棒静止)测得的长度——同样得到运动物体的长度收缩(洛伦兹收缩)。

结论

• 物体的长度在与其相对静止的参考系中测得的最长, 在其它参考系中测得的都较短些。
• 由上式可一步整理: 运动方向上, 相对运动参考系中测得的(收缩)长度 = 静止参考系中测得的长度 $\times\sqrt{1-u^2/c^2}$, 例如 $x_B'-x_A'=(x_B-x_A)\sqrt{1-u^2/c^2}$(情形二中棒静止于 S)。
• 收缩发生在沿相对运动方向(即 $\vec{u}$ 所在的 $x$ 方向, 棒沿 $x$ 放置)。

例题: 火车与站台

题设与符号约定

• 火车 A′B′ 在自身参考系内的固有长 $l_0 = 8.64\times10^{11}\,\text{m}$; 火车以 $u = 2.4\times10^{8}\,\text{m/s}$ 从站台旁经过; 站台在其自身静止参考系内有与火车相同的长度(即站台固有长亦为 $l_0$)。
• 火车车头 B′、车尾 A′ 各有一只彼此同步的钟(在火车系内同步); 站台起点 A、终点 B 也各有一只这样彼此同步的钟(在站台系内同步)。
• 初始事件: 当车头 B′ 与站台起点 A 对齐时, 该处重合的钟指示 12点00分。求 (1) 此时每一只钟指示的时间; (2) 当车尾 A′ 与站台起点 A 对齐时每一只钟指示的时间。
• 参考系约定: 固定在火车上的为 S′ 系, 固定在站台上的为 S 系。
• 几何与方向(图): 火车(蓝条)固定于 S′ 系, 车头 B′ 在右(前方)、车尾 A′ 在左(后方), 速度 $\vec u$ 沿 $+x'$(向右); 站台(棕条)固定于 S 系, 起点 A 在左、终点 B 在右; 从 S′ 系看站台以 $-\vec u$(向左)运动。

已知量与洛伦兹变换

• $c = 3\times10^{8}\,\text{m/s}$, $\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}} = 0.6$。
• 由上式一步可得 $1-\dfrac{u^2}{c^2}=0.36$, $\beta=\dfrac{u}{c}=0.8$; 后续洛伦兹变换分母统一取 $0.6=\sqrt{1-u^2/c^2}$。
• 洛伦兹变换(分母 $0.6=\sqrt{1-u^2/c^2}$; S′ 相对 S 以 $+u$ 沿 x 方向运动):

$$x' = \frac{x-ut}{0.6},\quad x = \frac{x'+ut'}{0.6},\quad t' = \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{0.6},\quad t = \frac{t'+\frac{u}{c^2}x'}{0.6}$$

• 本题关键中间量: $\dfrac{u}{c^2}\,l_0 = 38.4\ \text{分}$; $\dfrac{l_0}{u} = 60\ \text{分}$。

(1) 车头 B′ 与站台起点 A 对齐时各钟读数

两参考系对"此时"采用各自的同时性, 因此读数不同; 各钟读数如下:

钟	在 S 系观察(站台钟同时)	在 S′ 系观察(火车钟同时)
站台起点 A	12点00分	12点00分
站台终点 B	12点00分	12点38.4分
车头 B′	12点00分	12点00分
车尾 A′	12点38.4分	12点00分

• 在 S 系观察: 站台两钟同步 $t_A=t_B=12点00分$; 重合处车头钟 $t'_{B'}=12点00分$; 由 $0=\dfrac{t'+\frac{u}{c^2}(-l_0)}{0.6}$ 得 $t'=38.4分$, 故车尾钟 $t'_{A'}=12点38.4分$。
• 在 S′ 系观察: 火车两钟同步 $t'_{A'}=t'_{B'}=12点00分$; 重合处站台起点钟 $t_A=12点00分$; 由 $0=\dfrac{t-\frac{u}{c^2}l_0}{0.6}$ 得 $t=38.4分$, 故站台终点钟 $t_B=12点38.4分$。

(2) 车尾 A′ 与站台起点 A 对齐时各钟读数

钟	在 S′ 系观察(火车钟同时)	在 S 系观察(站台钟同时)
车尾 A′	13点00分	13点00分
车头 B′	13点00分	12点21.6分
站台起点 A	12点36分	12点36分
站台终点 B	13点14.4分	12点36分

• 在 S′ 系观察: 站台起点 A 相对火车从 B′ 移到 A′(走过火车固有长 $l_0$), 历时 $\Delta t'=\dfrac{l_0}{u}=60分$, 故火车两钟 $t'_{A'}=t'_{B'}=12点00分+60分=13点00分$。
• 在 S′ 系观察(续): 站台起点钟 $t_A=12点36分$(由 $60=\dfrac{t-\frac{u}{c^2}\cdot0}{0.6}$, 或等价地 $t=\dfrac{60+\frac{u}{c^2}(-l_0)}{0.6}$, 得 $t=36分$); 站台终点钟 $t_B=13点14.4分$(由 $60=\dfrac{t-\frac{u}{c^2}l_0}{0.6}$ 得 $t=74.4分$)。
• 在 S 系观察: 站台各钟同步 $t_A=t_B=12点36分$; 重合处车尾钟 $t'_{A'}=13点00分$; 车头钟 $t'_{B'}=12点21.6分$(由 $36=\dfrac{t'+\frac{u}{c^2}\cdot0}{0.6}$ 得 $t'=21.6分$)。

方法与易错点

• 一般方法: 把待求读数看作某事件发生在某钟所在位置, 选定坐标原点与零时刻后, 用洛伦兹时间变换 $t'=\dfrac{t-\frac{u}{c^2}x}{0.6}$ 或 $t=\dfrac{t'+\frac{u}{c^2}x'}{0.6}$ 解出该钟读数; 求"同一时刻各钟读数"前必须先指明采用哪个系的同时性。
• 同时性的相对性: 在某系内同步、空间相距 $\Delta x$ 的两钟, 在相对其运动的另一系看来读数相差 $\dfrac{u}{c^2}\Delta x$; 本题对全长 $l_0$ 该差值 $=\dfrac{u}{c^2}l_0=38.4分$。
• 易错点1: 火车钟 A′、B′ 仅在 S′ 系内同步, 站台钟 A、B 仅在 S 系内同步; 不可把一个系的同步性套用到另一个系。
• 易错点2: 固有长 $l_0$ 分别是火车在 S′ 系、站台在 S 系中的静止长度; 用 $\Delta t'=l_0/u$ 时, 指的是站台起点 A 在 S′ 系中相对火车走过火车固有长 $l_0$ 所需时间。
• 易错点3: 同一对齐事件处的两只重合钟(A 与 B′)读数与参考系无关, 两系观察都为 12点00分; 参考系差异体现在"远端"钟上——S 系看车尾 A′=12点38.4分, S′ 系看站台终点 B=12点38.4分。

4. 高速运动物体的视形状

符号与参考系约定(贯穿本节): S 系为观察者所在参考系; S' 系固连于细棒, 并以速度 $\vec{u}$ 沿 $+x$($x'$)方向相对 S 系运动; 细棒沿 $x'$ 轴放置, A 端在左、B 端在右。$x_A',x_B'$ 为细棒两端在 S' 系中的(不随时间变的)坐标; $x_A,x_B$ 为两端在 S 系中的坐标; $R_A,R_B$ 分别为细棒 A 端、B 端到观察点 P 的距离。

测量得到的运动物体长度(洛伦兹收缩)

细棒静止于 S' 系, S' 系以速度 $u$ 沿 $+x$ 方向相对 S 系运动; 在 S 系中同时测两端位置, 即 $t_A=t_B$。两端坐标满足

$$x_B' - x_A' = \frac{x_B - x_A}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

其中 $x_B'-x_A'$ 为静止长度(细棒在其静止系 S' 中的长度), $x_B-x_A$ 为运动物体的长度(在 S 系中 $t_A=t_B$ 条件下测得)。

由上式得 $x_B - x_A < x_B' - x_A'$, 即运动物体的长度收缩。

幻灯片在此对比两类结果: "测量"的结果 与 "看见(或观看)"的结果?——以问号形式提出, 本节即讨论"看见"会得到怎样的结果。

看见与测量的区别: 视觉成像原理

当我们"看见"一个物体时, 记录下来的是由该物体上各点发射、并同时到达观察者视网膜的那些光信号。

成像之所以与测量不同, 基于两点前提:

• 物体表面上各点到观察者视网膜的距离不同;
• 光速有限且为常量。

因此, 同时到达视网膜的那些光信号, 是物体表面各点在不同时刻发射的; 在发射这些光信号时, 此运动物体的各部分曾处于不同的位置上。于是眼睛看到的运动物体形状是变了形的图像。

"看见"的几何模型: 光信号同时到达 P 点

设观察点为 P, 在 P 点于 $t_0$ 时刻看见细棒; 即细棒两端发射的光信号在 $t_0$ 时刻同时到达 P 点。

为使光信号同时到达, 两端必须在不同时刻发射(发射时刻按到 P 的距离回推):

• A 端的光信号在 $t_A$ 时刻发射: $t_A = t_0 - \dfrac{R_A}{c}$;
• B 端的光信号在 $t_B$ 时刻发射: $t_B = t_0 - \dfrac{R_B}{c}$。

故一般有 $t_A \neq t_B$, 且

$$t_B - t_A = \frac{1}{c}(R_A - R_B)$$

($R_A,R_B$ 由图中给出: 自细棒 A 端、B 端分别连到 P 点的线段长度)。

视长度公式的推导

对发射事件用洛伦兹变换(A 端取其发射时刻 $t_A$、B 端取其发射时刻 $t_B$):

$$x_A' = \frac{x_A - u\,t_A}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}},\qquad x_B' = \frac{x_B - u\,t_B}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

两式相减:

$$x_B' - x_A' = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\big[(x_B - x_A) - u(t_B - t_A)\big]$$

代入 $t_B - t_A = \dfrac{1}{c}(R_A - R_B)$ 得:

$$x_B' - x_A' = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\Big[(x_B - x_A) - \frac{u}{c}(R_A - R_B)\Big]$$

视长度结果与特殊情形

解出在 S 系中两端发射位置之差(即"看见"对应的视长度):

$$x_B - x_A = (x_B' - x_A')\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}} + \frac{u}{c}(R_A - R_B)$$

即视长度 = 洛伦兹收缩长度 $(x_B'-x_A')\sqrt{1-u^2/c^2}$ 再加上一项 $\dfrac{u}{c}(R_A - R_B)$。

特殊情形 $R_A = R_B$(P 点到细棒两端等距, 对应图中 P 在细棒正上方的对称三角形): 附加项为零, 此时

$$x_B - x_A = (x_B' - x_A')\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}$$

即只有在此对称位置, 视长度才恰好等于洛伦兹收缩长度; 一般情形($R_A \neq R_B$, 图中 P 偏在一侧)视长度还含 $\dfrac{u}{c}(R_A-R_B)$ 项, 与洛伦兹收缩不同。

文献与结论

• 1905 年, 爱因斯坦(Albert Einstein), 发表于 Annalen der Physik, 《论动体的电动力学》。
• Terrell J. Invisibility of the Lorentz contraction. Phys Rev, 1959(116): 1041.
• V. F. Weisskopf. The Visual Appearance of Rapidly Moving Objects. Phys. Today, 1960, 13(9): 24-27.

结论: James Terrell 证明了观察者是看不到洛伦兹收缩的。

即: 由前式可知"看见"对应的视长度 $x_B - x_A$ 一般还含 $\dfrac{u}{c}(R_A-R_B)$ 项, 不等于洛伦兹收缩长度 $(x_B'-x_A')\sqrt{1-u^2/c^2}$, 故高速运动物体的"视形状"并不等于洛伦兹收缩后的形状。

5. 时钟佯谬（双生子佯谬）

时钟佯谬通常又称双生子佯谬。

情景设定：两个双生子王中林、林中王；林中王留在地球上，王中林乘高速飞船到宇宙空间去旅行，经过若干年飞船返回到地球。

佯谬表述——林中王和王中林重逢时，两人各自的结论：

• 地球上的林中王认为：乘飞船航行的王中林比他年轻。
• 飞船上的王中林认为：地球上的林中王比他年轻。

两个结论相互矛盾，即所谓双生子佯谬。

正确的答案：林中王和王中林重逢时，乘飞船航行的王中林比留在地球上的林中王年轻。

用两个时钟比较问题实质

为突出问题的实质，比较两个时钟：

• 时钟 A 留在地球上，选地球为 $S$ 系。
• 时钟 B 固定在飞船上，选飞船为 $S'$ 系。

时钟 A 与时钟 B 相遇时，约定读数：时钟 A 的读数为 $t_A$，时钟 B 的读数为 $t'_B$。

由此产生的矛盾：

• 地球上的观察者认为 $t'_B < t_A$。
• 飞船上的观察者认为 $t_A < t'_B$。

两者相互矛盾，即时钟佯谬。

正确的答案：时钟 A 与时钟 B 相遇时，$t'_B < t_A$。

佯谬的根源

飞船的实际运动过程：静止于惯性系 $S'$ 上 → 减速、转向、再加速 → 静止于惯性系 $S''$ 上。

关键是不恰当地运用了狭义相对论。狭义相对论的前提是地球和飞船应是两个完全等价的惯性系，而本问题不满足这一条件。

§3.5 相对论力学基础

1. 质量与速度的关系

经典力学中力的基本方程为

$$\vec{F} = m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$$

其中质量 $m$ 被认为是常量, 且与参考系无关。

由经典力学的上述方程出发会得到矛盾: 恒力 $\vec{F}$ 持续作用 $\Rightarrow$ 速度 $\vec{v}$ 持续增加 $\Rightarrow$ 速度将超过真空中的光速。但物体的运动速度不能大于真空中的光速。

为消除该矛盾, 结论为: 质量 $m$ 随速率增大而增大, 即 $m=m(v)$。

本页右侧以参考形式列出洛伦兹变换(S系与S'系坐标、时间互换):

$$x' = \frac{x-ut}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad x = \frac{x'+ut'}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}$$ $$t' = \frac{t-\dfrac{u}{c^{2}}x}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t = \frac{t'+\dfrac{u}{c^{2}}x'}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}$$

式中 $u$ 为两参考系间的相对速度, $c$ 为真空中光速。

2. 因果关系与信号速度的限制

设S系中有两个事件 $P_1(x_1,t_1)$、$P_2(x_2,t_2)$, 事件 $P_1$ 引起事件 $P_2$(满足 $t_2>t_1$), 二者具有因果关系; 在S'系中相应记为 $P_1(x_1',t_1')$、$P_2(x_2',t_2')$。

由洛伦兹时间变换写出两事件在S'系中的时刻:

$$t_1' = \frac{t_1-\dfrac{u}{c^{2}}x_1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t_2' = \frac{t_2-\dfrac{u}{c^{2}}x_2}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}$$

二者相减得时间间隔:

$$t_2'-t_1' = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}\left[(t_2-t_1)-\frac{u}{c^{2}}(x_2-x_1)\right]$$

要在S'系中保持因果先后次序, 须有 $t_2'>t_1'$, 由上式可得条件

$$t_2-t_1 > \frac{u}{c^{2}}(x_2-x_1), \qquad\text{即}\qquad u\,\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1} < c^{2}$$

由于 $P_1$ 引起 $P_2$, 二者间必然有相互作用或信息以速度

$$v = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$$

从 $P_1$ 处传到 $P_2$ 处; 代入上面条件即得

$$\boxed{uv < c^{2}}$$

此处 $v$ 是相互作用的传递速度(信号传播速度), 它联系着相关事件; 该页给出通常结论: 信号速度 $v$ 不大于真空中的光速。对给定相对速度 $u$, 只要 $uv<c^{2}$ 成立, 事件之间的因果关系就保证有绝对意义。