Chap 13 第二类曲线和曲面积分

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13.1 第二类曲线积分

13.1.1 曲线的定向

• 定向曲线：设曲线 $L$ 的端点为 $A, B$，规定其一为起点，这样的曲线称为定向曲线；起点为 $A$、终点为 $B$ 的定向曲线记为 $L_{AB}$。

• 设平面定向曲线 $L$ 的参数方程为 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j}$，其起点参数为 $\alpha$、终点参数为 $\beta$，则记该定向曲线为

  $$\mathbf{r} = \mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j}, \quad t: \alpha \to \beta$$

• 结论：$\mathbf{r}'(t) = x'(t)\,\mathbf{i} + y'(t)\,\mathbf{j}$ 是指向参数增加方向的切向量；因此 $\boldsymbol{\tau} \overset{\text{def}}{=} \dfrac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}$ 是指向参数增加方向的单位切向量。

• 对简单闭曲线 $L \subset xOy$ 面，通常规定逆时针方向为正向，记为 $L^+$；顺时针方向为负向，记为 $L^-$。

连通区域及其边界定向

• 单连通 / 复连通：设 $D$ 为平面区域，若 $D$ 内的任意一条闭曲线所围区域都落在 $D$ 内，则称 $D$ 为单连通的，否则称其为复连通的（图示：单连通区域无"洞"，复连通区域有"洞"）。
• 边界正向：当点沿区域 $D$ 的边界朝一个方向前进时，$D$ 总在其左手侧，规定此方向为区域 $D$ 诱导的边界正向，记为 $\partial D^+$；与 $\partial D^+$ 相反的方向称为 $D$ 的边界负向，记为 $\partial D^-$（图示：单、复连通区域图的边界上均标注 $\partial D^+$ 方向箭头，复连通时内、外边界绕向相反）。

13.1.2 第二类曲线的积分定义与计算

• 物理引入（变力做功）：设光滑平面曲线 $L$ 上有连续作用力（向量场）$\mathbf{F}(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$，求 $\mathbf{F}$ 作用于质点使之沿 $L$ 自起点 $A$ 移动到终点 $B$ 所做的功。考察质点在 $L$ 上任一点 $M$ 处移动一段弧微元 $ds$ 所作的功：

  $$dW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{e}_\tau \, ds \;\Rightarrow\; W = \int_L \mathbf{F} \cdot \mathbf{e}_\tau \, ds$$

• 定义（第二类曲线积分）：设 $L$ 为定向曲线，向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$ 在 $L$ 上的第二类曲线积分为

  $$\text{（向量形式）}\quad \int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \overset{\text{def}}{=} \int_L (\mathbf{F} \cdot \mathbf{e}_\tau)\, ds$$

• 由于定向弧微分 $d\mathbf{r} = \mathbf{e}_\tau\, ds = (\cos\alpha, \cos\beta)\, ds = (dx, dy)$，于是

  $$\int_L \mathbf{F} \cdot \mathbf{e}_\tau\, ds = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\, ds = \int_L P\,dx + Q\,dy$$

  其中 $\int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\, ds$ 与 $\int_L P\,dx + Q\,dy$ 之间的等式给出两类曲线积分的关系，最末形式称为坐标形式。

• 环(流)量：当 $L$ 为闭曲线时，视向量场 $\mathbf{v} = (P, Q)$ 为流体的流速场，则积分表示流体沿 $L$ 的环(流)量，可记为

  $$\Phi = \oint_L \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \oint_L P\,dx + Q\,dy$$

• 方向性：第二类曲线积分与曲线的方向有关，且

  $$\int_{L_{BA}} P\,dx + Q\,dy = -\int_{L_{AB}} P\,dx + Q\,dy$$

  其它性质同第一类曲线积分，如线性性和可加性。

• 注意：(1) 两类曲线积分的形式不同；(2) 当 $Q = 0$ 时，$\int_L P\,dx$ 仍为第二类曲线积分。此外还有拆分式 $\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L P\,dx + \int_L Q\,dy$。

• 定理（参数化计算公式）：若定向曲线 $L$ 为 $x = x(t),\ y = y(t),\ t: \alpha \to \beta$，则

  $$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_\alpha^\beta \big[ P(x(t), y(t))\, x'(t) + Q(x(t), y(t))\, y'(t) \big]\, dt$$

• 特例：(1) 若曲线 $L$ 的方程为 $y = y(x),\ x: a \to b$，则

  $$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_a^b \big[ P(x, y(x)) + Q(x, y(x))\, y'(x) \big]\, dx$$

  (2) 若 $L$ 为平行 $x$ 轴的定向线段，则 $\int_L Q\,dy = 0$。

空间第二类曲线积分

• 对于空间定向曲线 $L:\ \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j} + z(t)\,\mathbf{k},\ t: \alpha \to \beta$，向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 在 $L$ 上的第二类曲线积分为 $\int_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz$；其概念与计算公式如何，原文以「思考与猜测」方式提出。

例题

• 例 1：将第二类曲线积分 $I = \int_L x^2\,dx - xy\,dy$ 化为第一类曲线积分，其中 $L$ 是自点 $(-1, 0)$ 到点 $(1, 0)$ 的上半圆周 $y = \sqrt{1 - x^2}$。题型要点：利用两类曲线积分关系 $\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds$ 互化。
• 例 2：计算 $I = \int_L 2xy\,dx + x^2\,dy$，其中 $L$ 是由点 $O(0,0)$ 到点 $B(1,1)$ 的如下路径：(1) 直线 $y = x$；(2) 曲线 $y = x^3$；(3) 由 $O$ 经点 $A(1,0)$ 到 $B$ 的折线。题型要点：同一对端点、不同路径分别用参数化（或 $y=y(x)$ 特例）计算比较。
• 例 3：在力场 $\mathbf{F} = (y, -x, z)$ 作用下，质点沿螺旋线 $L: x = R\cos t,\ y = R\sin t,\ z = t$ 由点 $A(R, 0, 0)$ 运动到点 $B(R, 0, 2\pi)$，求 $\mathbf{F}$ 所做的功。题型要点：空间曲线积分的参数化计算。

13.2 第二类曲面积分

13.2.1 双侧曲面及其定侧

• 双侧曲面：设 $S$ 为光滑曲面，指定其上点 $P$ 处的法向量 $\mathbf{n}$；当点 $P$ 沿 $S$ 上任意连续闭曲线不越过 $S$ 的边界回到起始位置时，法向量 $\mathbf{n}$ 始终保持原来指向——满足此性质的曲面即为双侧曲面。

• Möbius 带：非双侧曲面（单侧曲面）的例子。

• 定侧曲面：双侧曲面 $S$ 的侧向由其法向量组确定。选定 $S$ 的一侧为正侧，记为 $S^+$，则另一侧为负侧，记为 $S^-$。

• 约定：若曲面 $S$ 的方程为 $z = z(x, y),\ (x, y) \in D$，则其单位法向量

  $$\mathbf{n}^\circ = \pm\frac{(-z_x, -z_y, 1)}{\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}}$$

  选 "$+$" 号时 $\mathbf{n}^\circ = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$，其中

  $$\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}} > 0$$

  故 $\mathbf{n}^\circ$ 与 $z$ 轴正向夹角 $\gamma < 90^\circ$，指向上侧，规定为 $S$ 的正侧。

• 注：封闭曲面规定其外侧为正侧。

13.2.2 第二类曲面积分的定义

• 物理引入（流量）：设均匀流体的流速场 $\mathbf{v} = (P, Q, R)$，流体自光滑曲面 $S$ 负侧流向正侧，求单位时间流体通过 $S$ 的体积流量。微元法：考察单位时间流体通过曲面微元 $dS$ 的体积流量：

  $$d\Phi = \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ\, dS \;\Rightarrow\; \Phi = \iint_S \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ\, dS$$

  其中 $\mathbf{n}^\circ$ 是曲面 $S$ 上指向正侧的单位法向量（图示：单位时间内通过 $dS$ 的流体为以 $dS$ 为底、沿 $\mathbf{v}(M)$ 方向的斜柱体）。

• 定义（第二类曲面积分）：设 $S$ 为定侧曲面，向量场 $\mathbf{v} = (P, Q, R)$ 在 $S$ 上的第二类曲面积分为

  $$\text{（向量形式）}\quad \iint_S \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} \overset{\text{def}}{=} \iint_S (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ)\, dS$$

• 由于定侧曲面微元 $d\mathbf{S} = \mathbf{n}^\circ\, dS = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\, dS = (dy\,dz,\ dz\,dx,\ dx\,dy)$，于是

  $$\iint_S \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\, dS = \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$$

  其中 $\iint_S (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\, dS$ 与 $\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$ 之间的等式给出两类曲面积分的关系，最末形式称为坐标形式。

• 通量：当曲面 $S$ 封闭时，积分为流体通过 $S$ 的通量，记为

  $$\Phi = \iint_S \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$$

  （原文此处及后文 Gauss 公式均使用闭曲面积分记号 ∯。）

• 侧向性：第二类曲面积分与曲面的侧向有关，且

  $$\iint_{S^-} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = -\iint_{S^+} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$$

  其它性质同第一类曲面积分，如线性性和可加性。

• 注意：(1) 两类曲面积分的形式不同；(2) 当 $P = Q = 0$ 时，$\iint_S R\,dx\,dy$ 仍为第二类曲面积分。

13.2.3 第二类曲面积分的计算

• 定理（参数曲面计算公式）：若定侧光滑曲面 $S$ 为 $x = x(u,v),\ y = y(u,v),\ z = z(u,v),\ (u,v) \in D$，则

  $$\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \pm\iint_D (PA + QB + RC)\, du\,dv$$

  其中 $A = \dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\ B = \dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\ C = \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$，即 $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = (A,B,C)$。注：其中 $\pm$ 号选择由 $S$ 指定侧的法向量确定。

• 对照特例 1) 与 13.2.1 的单位法向量约定可见，在 $z = z(x,y)$ 情形 $(A, B, C) = (-z_x, -z_y, 1)$，与该约定中（未单位化的）法向量分量一致。

• 特例 1)（合一投影法）：若曲面 $S$ 的方程为 $z = z(x,y),\ (x,y) \in D$，则

  $$\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \pm\iint_D (-P z_x - Q z_y + R)\, dx\,dy$$

• 特例 2)：当 $P = Q = 0$，曲面 $S$ 为 $z = z(x,y),\ (x,y) \in D$ 时

  $$\iint_S R(x, y, z)\, dx\,dy = \pm\iint_D R(x, y, z(x,y))\, dx\,dy$$

  当曲面 $S$ 指定上侧时选 $+$ 号，指定下侧时选 $-$ 号。

• 特例 3)：当曲面 $S$ 为母线平行于 $z$ 轴的柱面时

  $$\iint_S R(x, y, z)\, dx\,dy = 0$$

例题

• 例 1：计算 $I = \iint_S xyz\, dx\,dy$，其中 $S$ 是单位球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 的部分外侧：1) $z \geq 0$；2) $x \geq 0,\ y \geq 0$。原文给出答案：1) $0$；2) $\dfrac{2}{15}$。题型要点：被积式只含 $R\,dx\,dy$ 项，按指定侧定号后用特例 2) 计算。
• 例 2：设有流速为 $\mathbf{v} = (x, 2xy, -2z)$ 的流体，求单位时间流体经锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}\ (0 \leq z \leq h)$ 上侧流向下侧的体积流量。原文给出答案：$\dfrac{5\pi h^3}{3}$。

13.3 Green 公式及其应用

13.3.1 Green 公式

• 定理（Green 公式）：设 $\mathbf{v} = (P, Q)$ 为平面有界闭域 $D$ 上的光滑向量场，$D$ 的边界分段光滑，则有

  $$\oint_{\partial D^+} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$$

  注：这是二重积分与其边界上第二类曲线积分的关系。

• 证明思路（分析）：先证 $\oint_{\partial D^+} P\,dx = -\iint_D \dfrac{\partial P}{\partial y}\, dx\,dy$，再证 $\oint_{\partial D^+} Q\,dy = \iint_D \dfrac{\partial Q}{\partial x}\, dx\,dy$，两式相加即证。

• 推论（面积公式）：设平面有界闭域 $D$ 的边界分段光滑，则其面积

  $$S = \frac{1}{2} \oint_{\partial D^+} x\,dy - y\,dx$$

• Green 公式的向量形式：设 $\mathbf{v} = (Q, -P)$，$\mathbf{e}_\tau = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 为 $\partial D^+$ 的单位切向量，$\mathbf{n}^\circ$ 为 $\partial D$ 的单位外法向量，则 $\mathbf{n}^\circ = (\cos\beta, -\cos\alpha)$，故有

  $$\oint_{\partial D} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ\, ds = \iint_D \nabla \cdot \mathbf{v}\, d\sigma$$

  （图示：$\partial D^+$ 上一点处单位切向量 $\mathbf{e}_\tau$ 沿前进方向、单位外法向量 $\mathbf{n}^\circ$ 指向区域外。）

例题

• 例 1：计算 $I = \oint_L (y - x)\,dx + (3x + y)\,dy$，其中 $L$ 为椭圆周 $\dfrac{(x-1)^2}{4} + (y-2)^2 = 1$，取逆时针方向。题型要点：闭曲线上直接用 Green 公式化为二重积分。

• 例 2：计算 $I = \int_{AO} (e^x \sin y - 4x)\,dx + (e^x \cos y - 3)\,dy$，其中 $AO$ 是由 $A(a, 0)$ 到 $O(0, 0)$ 的弧段 $y = \sqrt{ax - x^2}\ (a > 0)$。题型要点：$AO$ 非闭曲线，Green 公式要求闭域边界，需补线成闭曲线后使用。

• 例 3：设 $L$ 是任意一条不过原点 $O$ 的正向光滑闭曲线，求

  $$I = \oint_L \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}$$

  题型要点：被积函数分母 $x^2+y^2$ 在原点为零（奇点），题设强调 $L$ 不过原点，需按 $L$ 是否包围原点讨论。

13.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件

• 定义（与路径无关）：设 $D$ 为平面单连通区域。若对任意 $A, B \in D$，以及任意分段光滑曲线 $L_{AB} \subset D$，曲线积分 $\int_{L_{AB}} P\,dx + Q\,dy$ 的值仅与 $A, B$ 有关而与 $L$ 无关，则称在 $D$ 内曲线积分与路径无关，此时积分可记为

  $$\int_A^B P\,dx + Q\,dy$$

• 定理（Green）：设 $\mathbf{v} = (P(x,y), Q(x,y))$ 是单连通区域 $D$ 内的光滑向量场，则下面四条等价：

  1. 在 $D$ 内的任一条分段光滑闭曲线 $L$ 上，$\oint_L P\,dx + Q\,dy = 0$；
  2. 在 $D$ 内曲线积分 $\int_L P\,dx + Q\,dy$ 与路径无关；
  3. $P\,dx + Q\,dy$ 是某函数 $\varphi(x, y)$ 的全微分，即 $\exists\, \varphi$ 使得 $d\varphi = P\,dx + Q\,dy$，此时称 $\varphi$ 是 $P\,dx + Q\,dy$ 的原函数；
  4. 在 $D$ 内恒成立 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} \equiv \dfrac{\partial P}{\partial y}$。

• 推论：设 $\mathbf{v}$ 是单连通区域 $D$ 内的光滑向量场，且 $\mathbf{v}$ 在 $D$ 内的曲线积分与路径无关，则对 $\forall A, B \in D$，有

  $$\int_A^B \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \varphi(B) - \varphi(A)$$

  其中 $\varphi(x, y)$ 满足 $\mathbf{v} = \nabla\varphi$。

例题

• 例 4：计算 $\int_L 2e^{2x}\cos y\,dx - e^{2x}\sin y\,dy$，其中 $L$ 是上半椭圆 $\dfrac{(x-2)^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 由 $O(0,0)$ 到 $A(2,3)$ 的弧。题型要点：验证 $\partial Q/\partial x = \partial P/\partial y$ 后利用路径无关换简单路径（或求原函数）计算。

13.3.3 全微分求积与全微分方程

• 全微分求积：设 $P(x,y), Q(x,y)$ 在单连通区域 $D$ 有连续偏导数，且 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$，则 $P\,dx + Q\,dy$ 存在原函数 $\varphi(x,y)$，且（$\varphi$ 的求法）

  $$\varphi(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P\,dx + Q\,dy$$

  注：上述求原函数的过程称为全微分求积(分)。

• 全微分方程：若 $P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy$ 是某函数的全微分，则称方程 $P\,dx + Q\,dy = 0$ 为全微分方程。判别式：$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$。解法：求出原函数 $\varphi(x, y)$，则通解为 $\varphi(x, y) = C$。

例题

• 例 5：求 $\dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}\ (x > 0)$ 的原函数，并计算积分

  $$I = \int_{(1,0)}^{(\sqrt{3},3)} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}$$

  题型要点：在 $x>0$（单连通）区域内全微分求积后用原函数差计算；该被积式与本节例 3 的被积式相同，但例 3 中 $L$ 为闭曲线且区域含奇点。

• 例 6：求解方程 $(x^2 + 2xy)\,dx + (x^2 - y^2)\,dy = 0$。题型要点：先用判别式验证为全微分方程，再求原函数 $\varphi$ 得通解 $\varphi(x,y) = C$。

13.4 Gauss 公式

13.4.1 Gauss 公式

• 定理（Gauss 公式）：设 $\mathbf{v} = (P, Q, R)$ 为空间有界闭域 $\Omega$ 上的光滑向量场，$\partial\Omega$ 是分片光滑闭曲面，则有

  $$\iint_{\partial\Omega^+} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$

  注：这是三重积分与其边界上第二类曲面积分的关系。

• 证明思路（分析）：先证 $\iint_{\partial\Omega^+} R\,dx\,dy = \iiint_\Omega \dfrac{\partial R}{\partial z}\, dV$，再证关于 $P, Q$ 的等式，三式相加即证。

• 证明分两步：1) 当 $\Omega$ 是 $xy$ 型区域，即 $\Omega = \{(x,y,z) \mid z_1(x,y) \leq z \leq z_2(x,y),\ (x,y) \in D\}$（图示：$\Omega$ 上下边界为 $z = z_2(x,y)$ 与 $z = z_1(x,y)$，投影域 $D$）；2) 当 $\Omega$ 是一般区域时，用母线平行 $z$ 轴的柱面分成若干 $xy$ 型区域并运用 1) 的结论（图示：分割为 $\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3$）。

• 推论（体积公式）：设空间有界闭域 $\Omega$ 的边界分片光滑，则其体积

  $$V(\Omega) = \frac{1}{3} \iint_{\partial\Omega^+} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy$$

例题

• 例 1：计算 $I = \iint_S x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy$，其中 $S$ 为椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ 的外侧。原文给出答案：$4\pi abc$。题型要点：封闭曲面外侧直接用 Gauss 公式；被积式与本节体积公式推论的被积式相同。

• 例 2：计算 $I = \iint_S x\,dy\,dz + 2xy\,dz\,dx - 2z\,dx\,dy$，其中 $S$ 为锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}\ (0 \leq z \leq h)$ 的下侧。原文给出答案：$\dfrac{5\pi h^3}{3}$。题型要点：锥面非封闭，Gauss 公式要求闭曲面，需补面化为封闭曲面后使用。该题与 13.2 节例 2 为同一向量场、同一锥面的流量问题，答案一致。

• 例 3：计算

  $$I = \iint_S \frac{xz^2\,dy\,dz + (x^2 y - z^3)\,dz\,dx + (2xy + y^2 z)\,dx\,dy}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

  其中 $S$ 是上半球面 $z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\ (R > 0)$ 的上侧。原文给出答案：$\dfrac{2\pi R^4}{5}$。题型要点：$S$ 是半径为 $R$ 的球面的一部分，故在 $S$ 上分母 $\sqrt{x^2+y^2+z^2} = R$ 为常数，可先化简被积式。

• 例 4：计算 $I = \iint_S \dfrac{\cos(\mathbf{r}, \mathbf{n})}{\|\mathbf{r}\|^2}\, dS$，其中 $S$ 是包围原点的封闭光滑曲面，$\mathbf{n}$ 是 $S$ 上点 $(x, y, z)$ 处的外法向量，$\mathbf{r} = (x, y, z)$。原文给出答案：$4\pi$。题型要点：被积场在原点不光滑（奇点），而 $S$ 包围原点，不满足直接用 Gauss 公式的光滑性条件。

13.4.2 散度

• 定义（散度）：向量场 $\mathbf{v} = (P, Q, R)$ 的散度定义为

  $$\operatorname{div} \mathbf{v} \overset{\text{def}}{=} \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

• Gauss 公式的向量形式：由于 $\iint_{\partial\Omega^+} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_{\partial\Omega^+} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}$ 且 $\iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV = \iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{v}\, dV$，故有

  $$\iint_{\partial\Omega^+} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf{v}\, dV = \iiint_\Omega \operatorname{div} \mathbf{v}\, dV$$

• 散度的物理意义：

  $$\operatorname{div} \mathbf{v}(M) = \lim_{\Omega \to M} \frac{1}{\operatorname{Vol}(\Omega)} \iint_{\partial\Omega^+} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}$$

例题

• 例 5：求向量场 $\mathbf{v} = (x^2 y,\ y^2 z,\ z^2 x)$ 的散度 $\operatorname{div} \mathbf{v}\big|_{(2,1,-2)}$。原文给出答案：$-8$。

13.5 Stokes 公式

13.5.1 Stokes 公式

• 定理（Stokes 公式）：设 $\mathbf{v} = (P, Q, R)$ 为空间光滑曲面 $S$ 上的光滑向量场，$\partial S$ 是分段光滑闭曲线，则有

  $$\oint_{\partial S} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_S \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy\,dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz\,dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$$

  其中 $\partial S$ 的方向与 $S$ 的侧向按右手法则联系。注：这是第二类曲面积分与其边界上第二类曲线积分的关系。

• 行列式记法：借助行列式，Stokes 公式可记为

  $$\oint_{\partial S} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_S \begin{vmatrix} dy\,dz & dz\,dx & dx\,dy \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \iint_S \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\, dS$$

  其中 $\partial S$ 定向与 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 按右手法则联系。

例题

• 例 1：计算 $I = \oint_C z\,dx + x\,dy + y\,dz$，其中 $C$ 是平面 $2x + 3y + z = 6$ 被三个坐标平面所截的三角形 $S$ 的边界，其方向与 $S$ 上侧满足右手法则。原文给出答案：$18$。题型要点：用 Stokes 公式化为三角形面片上的第二类曲面积分。
• 例 2：计算 $I = \oint_C (y - z)\,dx + (z - x)\,dy + (x - y)\,dz$，其中曲线 $C$ 为 $\begin{cases} x^2 + y^2 = R^2 \\ x + z = R \end{cases}$，积分方向从 $Ox$ 轴正向看沿逆时针。原文给出答案：$-4\pi R^2$。题型要点：$C$ 落在平面 $x + z = R$ 上，可取该平面上被 $C$ 围的面片为 $S$ 用 Stokes 公式。

13.5.2 旋度

• 定义（旋度）：向量场 $\mathbf{v} = (P, Q, R)$ 的旋度定义为

  $$\operatorname{rot} \mathbf{v} \overset{\text{def}}{=} \nabla \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$$

• Stokes 公式的向量形式：记 $\mathbf{r} = (x, y, z)$，则 $d\mathbf{r} = (dx, dy, dz)$，Stokes 公式可写成

  $$\oint_{\partial S} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \operatorname{rot} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \operatorname{rot} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ\, dS$$

  其中 $\partial S$ 的定向与 $S$ 的定侧（$\mathbf{n}^\circ$）满足右手法则。

• 旋度的物理意义：

  $$\operatorname{rot} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ \Big|_M = \lim_{S \to M} \frac{1}{\operatorname{Area}(S)} \oint_{\partial S} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r}$$

例题

• 例 3：求向量场 $\mathbf{v} = (xy,\ yz,\ -y^2)$ 的旋度 $\operatorname{rot} \mathbf{v}\big|_{(1,-1,3)}$。原文给出答案：$(3, 0, -1)$。

本章三大公式总览

公式	等式	联系的两种积分	定向/定侧要求
Green 公式	$\oint_{\partial D^+} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$	二重积分 ↔ 边界上第二类曲线积分	边界正向 $\partial D^+$（区域在左手侧）
Gauss 公式	$\iint_{\partial\Omega^+} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$	三重积分 ↔ 边界上第二类曲面积分	闭曲面外侧为正侧
Stokes 公式	$\oint_{\partial S} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_S \operatorname{rot} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}$	第二类曲面积分 ↔ 边界上第二类曲线积分	$\partial S$ 方向与 $S$ 侧向按右手法则

• 向量形式对照：Green（通量场/外法向量形式）$\oint_{\partial D} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}^\circ ds = \iint_D \nabla \cdot \mathbf{v}\, d\sigma$；Gauss $\iint_{\partial\Omega^+} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \operatorname{div} \mathbf{v}\, dV$；Stokes $\oint_{\partial S} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \operatorname{rot} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}$。