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第8章 数项级数

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关键考点总览

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  1. 级数收敛的定义：部分和数列收敛
  2. Cauchy收敛准则：级数收敛的充要条件
  3. 级数收敛的必要条件：lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty} a_n = 0
  4. 正项级数判别法：比较判别法、根值判别法、比值判别法、积分判别法、Raabe判别法
  5. p-级数敛散性：p>1p>1 收敛，p≤1p\leq 1 发散
  6. 交错级数Leibniz判别法
  7. Abel-Dirichlet判别法
  8. 绝对收敛与条件收敛的定义及关系
  9. 上、下极限的定义与性质
  10. 重排级数与Cauchy乘积

§8-1 数项级数概念和性质

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一、数项级数的概念

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1. 定义

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  • 无穷级数（级数）：设 a1,a2,…,an,…a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots 是一个数列，形式和 ∑n=1∞an=a1+a2+⋯+an+⋯\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots 称为无穷级数（简称级数），ana_n 称为级数的通项。[来源：§8-1 p4，定义]

  • 部分和：Sn=∑k=1nak=a1+a2+⋯+an\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n 称为级数的前 nn 项部分和。[来源：§8-1 p4，定义]

  • 级数收敛：若 lim⁡n→∞Sn=S\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = S，则称级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，且收敛于 SS，SS 称为级数的和，记为 ∑n=1∞an=S\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S。[来源：§8-1 p4，定义]

  • 级数发散：若 {Sn}\{S_n\} 发散，则称级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散。若 lim⁡n→∞Sn=+∞(−∞)\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = +\infty(-\infty)，也称级数发散到 +∞(−∞)+\infty(-\infty)。[来源：§8-1 p5，定义]

2. 重要例子

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  • 几何级数：∑n=1∞aqn−1\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}（a≠0a \neq 0）

    • 当 ∣q∣<1|q| < 1 时收敛，和为 a1−q\dfrac{a}{1-q}
    • 当 ∣q∣≥1|q| \geq 1 时发散 【整理自 PPT】[来源：§8-1 例1]

  • 调和级数：∑n=1∞1n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散。[来源：§8-1 例2]

3. Cauchy收敛准则

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∑n=1∞an 收敛⇔∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N, ∀p∈N, p≥1: ∣∑k=n+1n+pak∣<ε\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbf{N},\ \forall n \ge N,\ \forall p \in \mathbf{N},\ p\ge 1:\ \left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k\right|<\varepsilon

[来源：§8-1 p6，Cauchy收敛准则]

Cauchy发散准则：∃ε0>0\exists \varepsilon_0 > 0，∀N∈N\forall N \in \mathbf{N}，∃n>N\exists n > N，∃p∈N\exists p \in \mathbf{N}：∣an+1+⋯+an+p∣≥ε0|a_{n+1} + \cdots + a_{n+p}| \geq \varepsilon_0。【整理自 PPT】[来源：§8-1 p6，想一想]

4. 推论

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推论：将级数增加、删减、改换有限项，不改变敛散性。[来源：§8-1 p6，推论]

二、级数的基本性质

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1. 线性性

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若级数 ∑n=1∞an=S\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S，∑n=1∞bn=T\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n = T，则级数 ∑n=1∞(αan+βbn)=αS+βT\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (\alpha a_n + \beta b_n) = \alpha S + \beta T。[来源：§8-1 p7，线性性]

注意：若 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n，∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 均发散，则 ∑n=1∞(an+bn)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) 敛散性不确定。【整理自 PPT】[来源：§8-1 p7，问题]

2. 结合律

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若级数收敛于和 SS，则将相邻若干项加括号成一项所得新级数仍收敛于 SS。[来源：§8-1 p7，结合律]

注：

  • 可用于判级数发散（加括号后发散 ⇒\Rightarrow 原级数发散）
  • 其逆命题不成立（加括号后收敛 ⇏\not\Rightarrow 原级数收敛） [来源：§8-1 p7，注]

3. 级数收敛的必要条件

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若级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，则 lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0。[来源：§8-1 p8，必要条件]

注意：

  • lim⁡n→∞an≠0\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 或不存在 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散
  • lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0 不一定能导出 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛（如调和级数） [来源：§8-1 p8，注意]

三、级数的应用——Koch雪花

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Koch雪花曲线：

  • 长度：s=lim⁡n→∞[(3×4n)×13n]=+∞\displaystyle s = \lim_{n\to\infty}\left[(3\times 4^n) \times \frac{1}{3^n}\right] = +\infty
  • 面积：S=34+3316∑n=1∞(49)n=235\displaystyle S = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{16}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{9}\right)^n = \frac{2\sqrt{3}}{5}

结论：Koch雪花曲线长度无穷，但所围面积有限（"无中生有"）。[来源：§8-1 p9-14，应用]

§8-2 数列的上、下极限

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一、上、下极限的概念

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1. 定义

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设数列 {xn}\{x_n\} 为实数列（允许无界），记 αn=inf⁡k≥n{xk}\alpha_n = \inf_{k\geq n}\{x_k\}，βn=sup⁡k≥n{xk}\beta_n = \sup_{k\geq n}\{x_k\}（允许取值为 ±∞\pm\infty），则 {αn}\{\alpha_n\} 单增，{βn}\{\beta_n\} 单减。

  • 上极限：若 {xn}\{x_n\} 有上界，则称 lim⁡n→∞‾xn=lim⁡n→∞βn=lim⁡n→∞sup⁡k≥n{xk}\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} x_n = \lim_{n\to\infty} \beta_n = \lim_{n\to\infty} \sup_{k\geq n}\{x_k\} 为 {xn}\{x_n\} 的上极限。若 {xn}\{x_n\} 无上界，则规定 lim⁡n→∞‾xn=+∞\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} x_n = +\infty。[来源：§8-2 p17，定义]

  • 下极限：lim⁡n→∞‾xn=lim⁡n→∞αn=lim⁡n→∞inf⁡k≥n{xk}\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} x_n = \lim_{n\to\infty} \alpha_n = \lim_{n\to\infty} \inf_{k\geq n}\{x_k\}。若 {xn}\{x_n\} 无下界，则规定 lim⁡n→∞‾xn=−∞\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} x_n = -\infty。【整理自 PPT】[来源：§8-2 p17，想一想]

二、上、下极限的性质

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定理1

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  1. lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} x_n \leq \overline{\lim_{n\to\infty}} x_n

  2. lim⁡n→∞‾(−xn)=−lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} (-x_n) = -\underline{\lim_{n\to\infty}} x_n，lim⁡n→∞‾(−xn)=−lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} (-x_n) = -\overline{\lim_{n\to\infty}} x_n

  3. 当 xn>0x_n > 0 时，lim⁡n→∞‾1xn=1lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{\underline{\lim_{n\to\infty}} x_n}，lim⁡n→∞‾1xn=1lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{\overline{\lim_{n\to\infty}} x_n}

[来源：§8-2 p18，定理1]

定理2

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  1. 若 xn≤ynx_n \leq y_n，则 lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾yn\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} x_n \leq \overline{\lim_{n\to\infty}} y_n，lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾yn\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} x_n \leq \underline{\lim_{n\to\infty}} y_n

  2. lim⁡n→∞‾xn+lim⁡n→∞‾yn≤lim⁡n→∞‾(xn+yn)≤{lim⁡n→∞‾xn+lim⁡n→∞‾ynlim⁡n→∞‾xn+lim⁡n→∞‾yn≤lim⁡n→∞‾(xn+yn)≤lim⁡n→∞‾xn+lim⁡n→∞‾yn\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} x_n + \underline{\lim_{n\to\infty}} y_n \leq \underline{\lim_{n\to\infty}} (x_n + y_n) \leq \begin{cases} \underline{\lim_{n\to\infty}} x_n + \overline{\lim_{n\to\infty}} y_n \\ \overline{\lim_{n\to\infty}} x_n + \underline{\lim_{n\to\infty}} y_n \end{cases} \leq \overline{\lim_{n\to\infty}} (x_n + y_n) \leq \overline{\lim_{n\to\infty}} x_n + \overline{\lim_{n\to\infty}} y_n

  3. 当 xn>0x_n > 0，yn>0y_n > 0 时，乘法有类似不等式链

[来源：§8-2 p19，定理2]

定理3（上极限的充要条件）

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lim⁡n→∞‾xn=a⇔{(1)∃{xn}的子列{xnk}使lim⁡k→∞xnk=a(2)∀{xn}的收敛子列{xnk′}有lim⁡k→∞xnk′=a′≤a\overline{\lim_{n\to\infty}} x_n = a \Leftrightarrow \begin{cases} (1) \exists\{x_n\}\text{的子列}\{x_{n_k}\}\text{使}\lim_{k\to\infty} x_{n_k} = a \\ (2) \forall\{x_n\}\text{的收敛子列}\{x_{n'_k}\}\text{有}\lim_{k\to\infty} x_{n'_k} = a' \leq a \end{cases}

结论：上、下极限是收敛子列中的最大、最小极限。[来源：§8-2 p20，定理3]

定理4（极限存在的充要条件）

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lim⁡n→∞xn=a⇔lim⁡n→∞‾xn=a=lim⁡n→∞‾xn\lim_{n\to\infty} x_n = a \Leftrightarrow \overline{\lim_{n\to\infty}} x_n = a = \underline{\lim_{n\to\infty}} x_n

[来源：§8-2 p20，定理4]

推论：若 lim⁡n→∞yn=a>0\displaystyle\lim_{n\to\infty} y_n = a > 0，则 lim⁡n→∞‾(xn⋅yn)=a⋅lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} (x_n \cdot y_n) = a \cdot \overline{\lim_{n\to\infty}} x_n。[来源：§8-2 p20，结论]

重要不等式（例3）

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设 {xn}\{x_n\} 为正数列，则

lim⁡n→∞‾xn+1xn≤lim⁡n→∞‾xnn≤lim⁡n→∞‾xnn≤lim⁡n→∞‾xn+1xn\underline{\lim_{n\to\infty}} \frac{x_{n+1}}{x_n} \leq \underline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{x_n} \leq \overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{x_n} \leq \overline{\lim_{n\to\infty}} \frac{x_{n+1}}{x_n}

推论：lim⁡n→∞xn+1xn=a⇒lim⁡n→∞xnn=a\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = a \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x_n} = a（反之不然）[来源：§8-2 p21，例3及推论]

上极限的必要不充分条件：lim⁡n→∞‾xn=β⇒∀ε>0,∃N∈N,∀n>N:xn<β+ε\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} x_n = \beta \Rightarrow \forall\varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}, \forall n > N: x_n < \beta + \varepsilon。[来源：§8-2 p21，注]

§8-3 正项级数

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一、正项级数的概念

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1. 定义

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若级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 满足 an≥0a_n \geq 0，则称之为正项级数。[来源：§8-3 p23，定义]

2. 收敛原理

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定理（收敛原理）：设 an≥0a_n \geq 0，则

∑n=1∞an 收敛⇔部分和 {Sn} 有上界\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛} \Leftrightarrow \text{部分和 } \{S_n\} \text{ 有上界}

注：若 {Sn}\{S_n\} 无上界，则 ∑n=1∞an=+∞\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = +\infty。[来源：§8-3 p23，定理]

3. p-级数

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p-级数：∑n=1∞1np\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}

  • 当 p>1p > 1 时收敛
  • 当 p≤1p \leq 1 时发散 [来源：§8-3 例1]

二、正项级数敛散性判别法

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1. 比较判别法

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定理1（不等式形式）：若级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 与 ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 均为正项级数，且 an≤bna_n \leq b_n，则

  • ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  • ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 发散 [来源：§8-3 p24，定理1]

推论1（极限形式）：设 an≥0a_n \geq 0，bn>0b_n > 0，且 lim⁡n→∞anbn=l\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = l，则

  • 当 0<l<+∞0 < l < +\infty 时，∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 与 ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 同敛散
  • 当 l=0l = 0 时，∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  • 当 l=+∞l = +\infty 时，∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 发散 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散 [来源：§8-3 p25，推论1]

说明：

  1. 常选择几何级数与p级数作参照级数
  2. 常估计通项无穷小 {an}\{a_n\} 对 1/n1/n 的阶 [来源：§8-3 p25，说明]

推论2（p-判别法）：设 an≥0a_n \geq 0，且 lim⁡n→∞npan=l\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^p a_n = l，则

  • 当 0≤l<+∞0 \leq l < +\infty，且 p>1p > 1 时，∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  • 当 0<l≤+∞0 < l \leq +\infty，且 p≤1p \leq 1 时，∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散 [来源：§8-3 p26，推论2]

推论3（比较判别法二）：若级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 与 ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 均为正项级数，且存在 N∈NN\in\mathbf{N} 使得对一切 n≥Nn\ge N 都有 an>0, bn>0a_n>0,\ b_n>0 并满足 an+1an≤bn+1bn\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \leq \dfrac{b_{n+1}}{b_n}，则

  • ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  • ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 发散 [来源：§8-3 p27，推论3]

2. Cauchy根值判别法

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若正项级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 满足 lim⁡n→∞‾ann=ρ\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = \rho，则

  • 当 0≤ρ<10 \leq \rho < 1 时，∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  • 当 ρ>1\rho > 1 时，∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散

注：当 ρ=1\rho = 1 时，判别法失效。如 ∑n=1∞1n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 与 ∑n=1∞1n2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}。[来源：§8-3 p28，根值判别法]

3. 比值判别法

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设 an>0a_n > 0，则

  • 当 lim⁡n→∞‾an+1an=ρ<1\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho < 1 时，∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  • 当 lim⁡n→∞‾an+1an=ρ>1\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho > 1 时，∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散

注：当 lim⁡n→∞an+1an=1\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 时，判别法失效。[来源：§8-3 p29，比值判别法]

4. 积分判别法

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定理：若非负函数 ff 在 [1,+∞)[1,+\infty) 上单减，则无穷级数 ∑n=1∞f(n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) 与无穷积分 ∫1+∞f(x)dx\displaystyle\int_1^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x 同敛散。[来源：§8-3 p30，积分判别法]

重要结论：∑n=2∞1n(ln⁡n)p\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p} 当 p>1p > 1 时收敛，当 p≤1p \leq 1 时发散。[来源：§8-3 例8]

5. Raabe判别法

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设 an>0a_n > 0，则

  • 若 ∃r>1\exists r > 1，N∈NN \in \mathbf{N}，使 ∀n>N\forall n > N：n(anan+1−1)≥rn\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) \geq r，则 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  • 若 ∃N∈N\exists N \in \mathbf{N}，使 ∀n>N\forall n > N：n(anan+1−1)≤1n\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) \leq 1，则 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散 [来源：§8-3 p31，Raabe判别法]

推论（Raabe极限形式）：设 an>0a_n > 0，则

  • 若 lim⁡n→∞‾n(anan+1−1)=r>1\displaystyle\underline{\lim_{n\to\infty}} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = r > 1，则 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛
  • 若 lim⁡n→∞‾n(anan+1−1)=r<1\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = r < 1，则 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散

注：r=1r = 1 时，判别法失效。反例：∑n=2∞1nln⁡n\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n} 和 ∑n=2∞1nln⁡2n\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln^2 n}。[来源：§8-3 p32，推论]

§8-4 任意项级数

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一、绝对收敛与条件收敛

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1. 定义

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  • 绝对收敛：若级数 ∑n=1∞∣an∣\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 收敛，则称 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 绝对收敛。[来源：§8-4 p34，定义]

  • 条件收敛：若 ∑n=1∞∣an∣\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 发散，而 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，则称 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 条件收敛。[来源：§8-4 p34，定义]

2. 命题

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命题：若级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 绝对收敛，则 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 必收敛。[来源：§8-4 p34，命题]

问题：若 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 绝对收敛，∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 条件收敛，则 ∑n=1∞(an+bn)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) 是条件收敛。【整理自 PPT】[来源：§8-4 p34，问题]

二、交错级数收敛性判别法

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1. 交错级数

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正负项相间的级数称为交错级数，其形式为 ∑n=1∞(−1)n−1an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n 或 ∑n=1∞(−1)nan\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n（其中 an>0a_n > 0）。[来源：§8-4 p35，定义]

2. Leibniz判别法

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若交错级数 ∑n=1∞(−1)n−1an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n（其中 an>0a_n > 0）满足：

  1. an+1≤ana_{n+1} \leq a_n（单调递减）
  2. lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0

则级数 ∑n=1∞(−1)n−1an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n 收敛，且 0≤∑n=1∞(−1)n−1an≤a1\displaystyle 0 \leq \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n \leq a_1。[来源：§8-4 p35，Leibniz判别法]

三、A-D判别法

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1. Abel变换

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定理：设有 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，记 Bk=b1+b2+⋯+bkB_k = b_1 + b_2 + \cdots + b_k，则 ∀n∈N\forall n \in \mathbf{N}：

∑k=1nakbk=anBn+∑k=1n−1Bk(ak−ak+1)\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_n B_n + \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_k - a_{k+1})

[来源：§8-4 p37，Abel变换]

Abel引理：设 {an}\{a_n\} 单调，且 ∣Bk∣≤M|B_k| \leq M，则

∣∑k=1nakbk∣≤M(∣a1∣+2∣an∣)\left|\sum_{k=1}^{n} a_k b_k\right| \leq M(|a_1| + 2|a_n|)

[来源：§8-4 p37，Abel引理]

2. A-D判别法

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设 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 满足下两组条件之一，则 ∑n=1∞anbn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n 收敛：

(Abel) {an}\{a_n\} 单调有界，∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛

(Dirichlet) {an}\{a_n\} 单调趋于 00，∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 部分和有界

[来源：§8-4 p38，A-D判别法]

重要结论：∑n=1∞sin⁡nn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n} 条件收敛。[来源：§8-4 例4]

§8-5 收敛级数的运算性质*

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一、重排级数

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1. 正部和负部

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设有任意项级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n，称

an+=∣an∣+an2和an−=∣an∣−an2a_n^+ = \frac{|a_n| + a_n}{2} \quad \text{和} \quad a_n^- = \frac{|a_n| - a_n}{2}

为 ana_n 的正部和负部。[来源：§8-5 p40，定义]

简单事实：an=an+−an−a_n = a_n^+ - a_n^-，∣an∣=an++an−|a_n| = a_n^+ + a_n^-。[来源：§8-5 p40]

命题：

  • 若 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 绝对收敛，则 ∑n=1∞an+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ 和 ∑n=1∞an−\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^- 都收敛
  • 若 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 条件收敛，则 ∑n=1∞an+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+ 和 ∑n=1∞an−\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^- 都发散至 +∞+\infty [来源：§8-5 p40，命题]

2. 重排级数定义

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设有级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n，f:N→Nf: \mathbf{N} \to \mathbf{N} 为双射，则称 ∑n=1∞af(n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{f(n)} 是 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 的一个重排级数。[来源：§8-5 p41，定义]

3. 重排级数定理

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定理：设 an≥0a_n \geq 0，则 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 的任意重排级数 ∑n=1∞af(n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{f(n)} 与 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 具有相同的敛散性，且收敛时和不变。[来源：§8-5 p41，定理]

定理：设 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 绝对收敛，则其任意重排级数 ∑n=1∞af(n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{f(n)} 也绝对收敛，且和不变。[来源：§8-5 p42，定理]

定理（Riemann）：设 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 条件收敛，则对 ∀a∈[−∞,+∞]\forall a \in [-\infty, +\infty]，存在重排级数 ∑n=1∞af(n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{f(n)}，满足 ∑n=1∞af(n)=a\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{f(n)} = a。[来源：§8-5 p42，Riemann定理]

二、级数乘积

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1. Cauchy乘积（对角线乘积）

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记 cn=∑k=1nakbn+1−k\displaystyle c_n = \sum_{k=1}^{n} a_k b_{n+1-k}，则称 ∑n=1∞cn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_n 为 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n 和 ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 的对角线乘积（或Cauchy乘积）。[来源：§8-5 p44，定义]

2. Mertens定理

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定理（Mertens）：设 ∑n=1∞an=A\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = A，∑n=1∞bn=B\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n = B，且至少其一绝对收敛，则它们的Cauchy乘积收敛，且 ∑n=1∞cn=AB\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_n = AB。[来源：§8-5 p45，Mertens定理]

3. Abel定理

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定理（Abel）：设 ∑n=1∞an=A\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = A，∑n=1∞bn=B\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n = B。若它们的Cauchy乘积收敛，且 ∑n=1∞cn=C\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_n = C，则 C=ABC = AB。[来源：§8-5 p47，Abel定理]

4. 绝对收敛级数乘积

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定理：设 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n，∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n 绝对收敛，则将 aibja_i b_j（i,j=1,2,…i, j = 1, 2, \ldots）任意排序所得级数绝对收敛，且和为 (∑n=1∞an)(∑n=1∞bn)\displaystyle\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\right)。[来源：§8-5 p48，定理]

三、无穷乘积

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1. 定义

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设有非零数列 {pn}\{p_n\}，称 ∏n=1∞pn=p1p2⋯pk⋯\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} p_n = p_1 p_2 \cdots p_k \cdots 为无穷乘积。记部分乘积 Pn=∏k=1npk=p1p2⋯pn\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n} p_k = p_1 p_2 \cdots p_n。若 lim⁡n→∞Pn=P≠0\displaystyle\lim_{n\to\infty} P_n = P \neq 0，则称无穷乘积收敛，否则称其发散。[来源：§8-5 p49，定义]

2. 必要条件

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定理（必要条件）：若 ∏n=1∞pn\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} p_n 收敛，则有 lim⁡n→∞pn=1\displaystyle\lim_{n\to\infty} p_n = 1。[来源：§8-5 p49，定理]

3. 敛散性判别

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定理：设对一切充分大的 nn 都有 1+an>01+a_n>0（即 an>−1a_n>-1，从而 ln⁡(1+an)\ln(1+a_n) 有定义），则无穷乘积 ∏n=1∞(1+an)\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} (1 + a_n) 收敛 ⇔\Leftrightarrow ∑n=1∞ln⁡(1+an)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \ln(1 + a_n) 收敛。

收敛时，有 ∏n=1∞(1+an)=e∑n=1∞ln⁡(1+an)\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} (1 + a_n) = \mathrm{e}^{\sum_{n=1}^{\infty} \ln(1+a_n)}。[来源：§8-5 p50，定理]

敛散性判别体系总结

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正项级数判别法

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判别法条件结论
收敛原理an≥0a_n \geq 0部分和有界 ⇔\Leftrightarrow 收敛
比较判别法an≤bna_n \leq b_n∑bn\sum b_n 收敛 ⇒\Rightarrow ∑an\sum a_n 收敛
比较判别法（极限形式）lim⁡anbn=l∈(0,+∞)\lim \frac{a_n}{b_n} = l \in (0,+\infty)同敛散
p-判别法lim⁡npan=l\lim n^p a_n = lp>1p > 1 且 l<+∞l < +\infty：收敛；p≤1p \leq 1 且 l>0l > 0：发散
根值判别法lim⁡‾ann=ρ\overline{\lim} \sqrt[n]{a_n} = \rhoρ<1\rho < 1：收敛；ρ>1\rho > 1：发散
比值判别法lim⁡‾an+1an=ρ\overline{\lim} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rhoρ<1\rho < 1：收敛；lim⁡‾>1\underline{\lim} > 1：发散
积分判别法ff 非负单减∑f(n)\sum f(n) 与 ∫1+∞f(x)dx\int_1^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x 同敛散
Raabe判别法lim⁡n(anan+1−1)=r\lim n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) = rr>1r > 1：收敛；r<1r < 1：发散

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任意项级数判别法

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判别法条件结论
绝对收敛判别∑∣an∣\sum \left\vert a_n\right\vert 收敛∑an\sum a_n 绝对收敛（从而收敛）
Leibniz 判别法an≥0a_n\ge 0，an+1≤ana_{n+1}\le a_n（单调不增），且 an→0a_n\to 0∑(−1)n−1an\sum (-1)^{n-1}a_n 收敛
Abel 判别法{an}\{a_n\} 单调有界（等价地：单调且收敛），且 ∑bn\sum b_n 收敛∑anbn\sum a_n b_n 收敛
Dirichlet 判别法{an}\{a_n\} 单调趋于 00，且 Bn=∑k=1nbkB_n=\sum_{k=1}^n b_k（部分和）有界∑anbn\sum a_n b_n 收敛

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重要级数敛散性速查

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级数敛散性备注
∑n=1∞aqn−1\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}∣q∣<1\left\lvert q\right\rvert<1 收敛，∣q∣≥1\left\lvert q\right\rvert\ge 1 发散几何级数
∑n=1∞1np\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}p>1p>1 收敛，p≤1p\le 1 发散p-级数
∑n=1∞1n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}发散调和级数
∑n=2∞1n(ln⁡n)p\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}p>1p>1 收敛，p≤1p\le 1 发散[来源：§8-3 例8]
∑n=1∞(−1)n−1n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}条件收敛，和为 ln⁡2\ln 2[来源：§8-5 例1]
∑n=1∞sin⁡nn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}条件收敛[来源：§8-4 例4]

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