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第37讲：欧氏空间

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关键考点总览（本讲速记）

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  1. ⭐ 内积的三条公理：对称性、线性性、正定性
  2. ⭐ 欧氏空间的定义：定义了内积的实数域上的线性空间
  3. ⭐ Cauchy-Schwarz不等式：∣(α,β)∣≤∣α∣⋅∣β∣|(\alpha,\beta)| \leq |\alpha| \cdot |\beta|，等号成立当且仅当α,β\alpha, \beta线性相关
  4. ⭐ 三角不等式：∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|
  5. ⭐ 正交的定义：(α,β)=0(\alpha, \beta) = 0
  6. ⭐ 度量矩阵是正定矩阵
  7. ⭐ 正交向量组必线性无关
  8. ⭐ Gram-Schmidt正交化公式
  9. ⭐ n维欧氏空间必存在标准正交基（且不唯一）
  10. 正交/标准正交向量组可扩充为正交基/标准正交基

一、内积与欧氏空间

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(1) 定义

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  • 内积：设 VV 是实数域上的线性空间。若对任意两个向量 α\alpha 和 β\beta，按照一定的法则，存在唯一的一个实数与 α\alpha 和 β\beta 对应，记这个实数为 (α,β)(\alpha, \beta)。进一步，如果满足下列三条公理，则称 (α,β)(\alpha, \beta) 是 α\alpha 和 β\beta 的内积：

    • (1) (α,β)=(β,α)(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)（对称性）[来源：p2，红框标注]
    • (2) 线性性：(α+γ,β)=(α,β)+(γ,β)(\alpha + \gamma, \beta) = (\alpha, \beta) + (\gamma, \beta)；(kα,β)=k(α,β)(k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)，这里 kk 是一个实数 [来源：p2，黄色高亮]
    • (3) (α,α)≥0(\alpha, \alpha) \geq 0，且 (α,α)=0(\alpha, \alpha) = 0 当且仅当 α=0\alpha = 0（正定性）[来源：p2，红框标注]

  • 欧氏空间：定义了内积的实数域上的线性空间称为欧氏空间。[来源：p3]

(2) 内积的典型例子

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  • Rn\mathbb{R}^n 中的标准内积：对任意 α=(a1,a2,⋯ ,an)T\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T，β=(b1,b2,⋯ ,bn)T\beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^T，

    (α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn=∑i=1naibi=βTα=αTβ(\alpha, \beta) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \beta^T \alpha = \alpha^T \beta

    [来源：p3，黄色高亮]

  • Rn\mathbb{R}^n 中的另一种内积：(α,β)=a1b1+2a2b2+⋯+nanbn=∑i=1ni⋅aibi(\alpha, \beta) = a_1 b_1 + 2a_2 b_2 + \cdots + n a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} i \cdot a_i b_i [来源：p3]

  • 矩阵内积：在 Rm×n\mathbb{R}^{m \times n} 中，对 A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}，B=(bij)m×nB = (b_{ij})_{m \times n}，

    (A,B)=∑i=1m∑j=1naijbij(A, B) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ij}

    [来源：p4]

  • 函数内积：在 C([a,b])C([a,b]) 中，对任意 f(x),g(x)∈C([a,b])f(x), g(x) \in C([a,b])，

    (f(x),g(x))=∫abf(t)g(t) dt(f(x), g(x)) = \int_a^b f(t)g(t) \, dt

    [来源：p4]

  • 多项式内积：在 R[x]n+1\mathbb{R}[x]_{n+1} 中，对 p(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+anp(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n，q(x)=b0xn+b1xn−1+⋯+bnq(x) = b_0 x^n + b_1 x^{n-1} + \cdots + b_n，

    (p(x),q(x))=∑i=0naibi(p(x), q(x)) = \sum_{i=0}^{n} a_i b_i

    [来源：p5]

二、长度（范数）

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(1) 定义

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  • 长度（范数）：设 VV 是欧氏空间，对任意 α∈V\alpha \in V，记 (α,α)\sqrt{(\alpha, \alpha)} 为 ∣α∣|\alpha|，即

    ∣α∣=(α,α)|\alpha| = \sqrt{(\alpha, \alpha)}

    称 ∣α∣|\alpha| 为 α\alpha 的长度（或范数）。[来源：p6，黄色高亮]

  • 单位向量：长度为 1 的向量称为单位向量。[来源：p6]

  • 单位化：任何一个非零向量都可以单位化，即对任意 α≠0\alpha \neq 0，α∣α∣\dfrac{\alpha}{|\alpha|} 是一个单位向量。[来源：p6，黄色高亮]

(2) 长度的性质

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  • (1) ∣α∣≥0|\alpha| \geq 0，且 ∣α∣=0|\alpha| = 0 当且仅当 α=0\alpha = 0；[来源：p7]

  • (2) 对任意的实数 kk 及向量 α\alpha，∣kα∣=∣k∣⋅∣α∣|k\alpha| = |k| \cdot |\alpha|；[来源：p7]

  • (3) ⭐ Cauchy-Schwarz 不等式：对任意两个向量 α,β\alpha, \beta，

    ∣(α,β)∣≤∣α∣⋅∣β∣|(\alpha, \beta)| \leq |\alpha| \cdot |\beta|

    等号成立当且仅当 α,β\alpha, \beta 线性相关。[来源：p7，黄色高亮]

  • (4) 三角不等式：对任意两个向量 α,β\alpha, \beta，

    ∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣且∣α−β∣≥∣∣α∣−∣β∣∣|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta| \quad \text{且} \quad |\alpha - \beta| \geq \big||\alpha| - |\beta|\big|

    [来源：p9]

(3) Cauchy-Schwarz 不等式的应用

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  • 实数形式：设 ai,bia_i, b_i（i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n）都是实数，那么

    ∣∑i=1naibi∣≤(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)\left| \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right| \leq \sqrt{\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)}

    [来源：p8，黄色高亮]

  • 积分形式：设 f(x),g(x)∈C([a,b])f(x), g(x) \in C([a,b])，那么

    ∣∫abf(t)g(t) dt∣≤∫abf2(x) dx⋅∫abg2(x) dx\left| \int_a^b f(t)g(t) \, dt \right| \leq \sqrt{\int_a^b f^2(x) \, dx \cdot \int_a^b g^2(x) \, dx}

    [来源：p8，黄色高亮]

三、夹角与正交

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(1) 定义

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  • 夹角：设 α\alpha 和 β\beta 是 VV 中两个非零向量，这两个向量的夹角定义为

    ⟨α,β⟩=arccos⁡(α,β)∣α∣⋅∣β∣\langle \alpha, \beta \rangle = \arccos \frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha| \cdot |\beta|}

    即 cos⁡⟨α,β⟩=(α,β)∣α∣⋅∣β∣\cos \langle \alpha, \beta \rangle = \dfrac{(\alpha, \beta)}{|\alpha| \cdot |\beta|}。[来源：p10-11，黄色高亮]

    注：由 Cauchy-Schwarz 不等式，∣(α,β)∣α∣⋅∣β∣∣≤1\left| \dfrac{(\alpha, \beta)}{|\alpha| \cdot |\beta|} \right| \leq 1，所以夹角定义是良定的。

  • 正交：若 (α,β)=0(\alpha, \beta) = 0，则称 α\alpha 和 β\beta 正交（对应几何中的垂直，夹角 90 度）。[来源：p11]

(2) 正交的性质

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  • 零向量与任意向量都正交。[来源：p11]

  • 设 α\alpha 和 β\beta 是 VV 中两个非零向量，α\alpha 和 β\beta 正交当且仅当 ⟨α,β⟩=π2\langle \alpha, \beta \rangle = \dfrac{\pi}{2}。[来源：p11]

(3) 推论/二级结论

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  • ⭐ 若 α\alpha 与 β1,β2,⋯ ,βm\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m 都正交，则 α\alpha 与它们的任意线性组合也正交，即

    (α,∑i=1mkiβi)=0\left( \alpha, \sum_{i=1}^{m} k_i \beta_i \right) = 0

    [来源：p12，黄色高亮]

  • ⭐ 设 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n 是 nn 维欧氏空间的一组基，α\alpha 是 VV 中一个向量。若 (α,αi)=0(\alpha, \alpha_i) = 0（i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, n），则 α=0\alpha = 0。

    【解读】：与一组基中所有向量都正交的向量只能是零向量。[来源：p13，黄色高亮]

四、度量矩阵（Gram 矩阵）

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(1) 定义

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  • 度量矩阵：设 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n 是 nn 维欧氏空间的一组基，令

    A=((α1,α1)(α1,α2)⋯(α1,αn)(α2,α1)(α2,α2)⋯(α2,αn)⋮⋮⋱⋮(αn,α1)(αn,α2)⋯(αn,αn))A = \begin{pmatrix} (\alpha_1, \alpha_1) & (\alpha_1, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_1, \alpha_n) \\ (\alpha_2, \alpha_1) & (\alpha_2, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_2, \alpha_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (\alpha_n, \alpha_1) & (\alpha_n, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_n, \alpha_n) \end{pmatrix}

    则称 AA 为度量矩阵（Gram 矩阵）。[来源：p14]

(2) 定理/性质

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  • 内积的矩阵表示：设 α,β\alpha, \beta 是 nn 维欧氏空间的任意两个向量，α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n 是一组基，

    α=(α1,α2,⋯ ,αn)x,β=(α1,α2,⋯ ,αn)y\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) x, \quad \beta = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) y

    AA 为度量矩阵，那么

    (α,β)=xTAy(\alpha, \beta) = x^T A y

    [来源：p15]

  • ⭐ 度量矩阵 AA 是正定矩阵。[来源：p15，黄色高亮框]

  • ⭐ 确定了一组基的度量矩阵 AA，就确定了内积。[来源：p15，黄色高亮框]

五、正交向量组与标准正交基

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(1) 定义

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在 nn 维欧氏空间中：

  • 正交向量组：两两正交的非零向量组。[来源：p16]

  • 标准正交向量组：两两正交的非零单位向量组。[来源：p16]

  • 正交基：由正交向量组构成的一组基。[来源：p16]

  • 标准正交基：由标准正交向量组构成的一组基。[来源：p16]

(2) 性质/定理

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  • ⭐ 正交向量组必线性无关。[来源：p17]

  • ⭐ nn 维欧氏空间中任何由 nn 个向量组成的正交向量组都构成它的一组正交基；将其单位化即可得到它的一组标准正交基。[来源：p17]

  • ⭐ nn 维欧氏空间必存在标准正交基，且标准正交基不唯一。[来源：p20]

六、Gram-Schmidt 正交化过程

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(1) 定理

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对 nn 维欧氏空间 VV 中任何 mm 个线性无关的向量 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m（m≤nm \leq n），我们可以构造出一个正交向量组 β1,β2,⋯ ,βm\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m，满足对任意的 k=1,2,⋯ ,mk = 1, 2, \cdots, m，α1,α2,⋯ ,αk\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k 与 β1,β2,⋯ ,βk\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_k 等价。[来源：p18]

(2) 正交化公式（第一步：正交化）⭐

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设 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m（m≤nm \leq n）是 nn 维欧氏空间中 mm 个线性无关的向量：

β1=α1\beta_1 = \alpha_1 β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 ⋮\vdots βi=αi−(αi,β1)(β1,β1)β1−(αi,β2)(β2,β2)β2−⋯−(αi,βi−1)(βi−1,βi−1)βi−1\beta_i = \alpha_i - \frac{(\alpha_i, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_i, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 - \cdots - \frac{(\alpha_i, \beta_{i-1})}{(\beta_{i-1}, \beta_{i-1})} \beta_{i-1} ⋮\vdots βm=αm−(αm,β1)(β1,β1)β1−(αm,β2)(β2,β2)β2−⋯−(αm,βm−1)(βm−1,βm−1)βm−1\beta_m = \alpha_m - \frac{(\alpha_m, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_m, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 - \cdots - \frac{(\alpha_m, \beta_{m-1})}{(\beta_{m-1}, \beta_{m-1})} \beta_{m-1}

则 β1,β2,⋯ ,βm\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m 为一组正交向量组（当 m=nm=n 时它们构成 VV 的一组正交基）。[来源：p19，红框标注]

(3) 单位化公式（第二步：单位化）

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γi=βi∣βi∣,i=1,2,⋯ ,m\gamma_i = \frac{\beta_i}{|\beta_i|}, \quad i = 1, 2, \cdots, m

则 γ1,γ2,⋯ ,γm\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_m 为一组标准正交向量组（当 m=nm=n 时它们构成 VV 的一组标准正交基）。[来源：p20]

七、正交向量组的扩充定理

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(1) 线性无关向量组的扩充（参见前面讲次）

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设 α1,α2,⋯ ,αk\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k 是 nn 维欧氏空间 VV 中线性无关的向量组，k<nk < n，那么必存在 VV 中的向量 β1,β2,⋯ ,βn−k\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-k}，使得 α1,α2,⋯ ,αk,β1,β2,⋯ ,βn−k\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-k} 为 VV 的一组基。[来源：p21，黄色高亮]

(2) 正交向量组的扩充

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设 α1,α2,⋯ ,αk\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k 是 nn 维欧氏空间 VV 中的正交向量组，k<nk < n，那么必存在 VV 中的向量 β1,β2,⋯ ,βn−k\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-k}，使得 α1,α2,⋯ ,αk,β1,β2,⋯ ,βn−k\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-k} 为 VV 的一组正交基。[来源：p21，橙色高亮]

(3) 标准正交向量组的扩充

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设 α1,α2,⋯ ,αk\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k 是 nn 维欧氏空间 VV 中的标准正交向量组，k<nk < n，那么必存在 VV 中的向量 β1,β2,⋯ ,βn−k\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-k}，使得 α1,α2,⋯ ,αk,β1,β2,⋯ ,βn−k\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-k} 为 VV 的一组标准正交基。[来源：p21，橙色高亮]

八、欧氏空间的同构

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(1) 同构映射的定义

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设 VV 是实数域 R\mathbb{R} 上的欧氏空间，取定 VV 中一组标准正交基为 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n。对任何 α∈V\alpha \in V，设 α\alpha 在基 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n 下坐标为 xx，即 α=(α1,α2,⋯ ,αn)x\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)x，而 x∈Pnx \in P^n 是一个 nn 维列向量。

这样得到一个映射 ϕ:V→Pn\phi: V \to P^n：对任何 α∈V\alpha \in V，ϕ(α)=x\phi(\alpha) = x。

映射 ϕ:V→Pn\phi: V \to P^n 是一一对应，且有性质：

  • ϕ(α+β)=ϕ(α)+ϕ(β)\phi(\alpha + \beta) = \phi(\alpha) + \phi(\beta)（保持加法）
  • ϕ(kα)=kϕ(α)\phi(k\alpha) = k\phi(\alpha)（保持数乘）

由于所取 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n 为标准正交基，上述映射 ϕ\phi 保持内积，即 (ϕ(α),ϕ(β))=(α,β)(\phi(\alpha), \phi(\beta)) = (\alpha, \beta)（其中 Rn\mathbb{R}^n 取标准内积）。因此 ϕ\phi 是一个欧氏空间的同构映射，欧氏空间 VV 和 Rn\mathbb{R}^n（标准内积）同构。[来源：p22]

九、常用技巧

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(1) Gram-Schmidt 正交化的记忆技巧

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每一步 βi\beta_i 的构造：用 αi\alpha_i 减去它在前面所有 βj\beta_j（j<ij < i）方向上的投影。投影系数为 (αi,βj)(βj,βj)\dfrac{(\alpha_i, \beta_j)}{(\beta_j, \beta_j)}。【整理自PPT】

(2) 验证正交的技巧

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验证向量组正交，只需计算所有不同向量对的内积，验证它们都等于零。【整理自PPT】

(3) 由度量矩阵判断内积性质

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度量矩阵 AA 必为对称正定矩阵；因此判断一个给定矩阵（或对应双线性形式）是否定义内积，只需验证其对称且正定（如用顺序主子式全正的判别法）。【整理自PPT】

附：重要公式速查表

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概念公式
内积（Rn\mathbb{R}^n 标准）(α,β)=∑i=1naibi=αTβ(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^n a_i b_i=\alpha^{\mathsf T}\beta
长度∥α∥=(α,α)\left\Vert\alpha\right\Vert=\sqrt{(\alpha,\alpha)}
单位化α∥α∥ (α≠0)\displaystyle\frac{\alpha}{\left\Vert\alpha\right\Vert}\ (\alpha\ne 0)
夹角cos⁡⟨α,β⟩=(α,β)∥α∥⋅∥β∥\displaystyle\cos\langle\alpha,\beta\rangle=\frac{(\alpha,\beta)}{\left\Vert\alpha\right\Vert\cdot\left\Vert\beta\right\Vert}
正交条件(α,β)=0(\alpha,\beta)=0
内积的矩阵表示(x,y)=xTAy(x,y)=x^{\mathsf T}Ay
Cauchy-Schwarz∣(α,β)∣≤∥α∥⋅∥β∥\left\vert(\alpha,\beta)\right\vert\le \left\Vert\alpha\right\Vert\cdot\left\Vert\beta\right\Vert
三角不等式∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥\left\Vert\alpha+\beta\right\Vert\le \left\Vert\alpha\right\Vert+\left\Vert\beta\right\Vert