第8-9讲：行列式的定义与性质

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关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ n阶行列式的定义：$n!$ 项代数和，每项为 $(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$
2. ⭐ 逆序数的定义与计算：判断每项的符号
3. ⭐ 排列的奇偶性：对换改变排列奇偶性
4. ⭐ 二阶、三阶行列式的对角线法则
5. ⭐ 特殊行列式：上三角、下三角、对角、副对角行列式
6. ⭐ 性质1：$D = D^T$（行列互换，值不变）
7. ⭐ 性质2：交换两行（列），行列式变号
8. ⭐ 性质3：某行（列）乘以 $k$，等于 $k$ 乘行列式
9. ⭐ 性质4：两行（列）成比例，行列式为零
10. ⭐ 性质6：某行乘 $k$ 加到另一行，行列式不变

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一、排列与逆序数

(1) 定义

• 排列：由 $n$ 个不同的元素按一定顺序排成一行，称为这 $n$ 个元素的一个排列。[来源：第8讲 p4]

• n级排列：由 $1, 2, \cdots, n$ 组成的有序数组称为一个 $n$ 级排列，记为 $j_1j_2\cdots j_n$。[来源：第8讲 p4]

• 排列的种数：$n$ 级排列的种数为 $n(n-1)\cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 = n!$。[来源：第8讲 p4]

• 标准次序（标准排列）：对于 $n$ 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序。[来源：第8讲 p5]

• 逆序：在一个排列 $i_1i_2\cdots i_t\cdots i_s\cdots i_n$ 中，若 $t < s$ 且 $i_t > i_s$，则称这两个数组成此排列的一个逆序。[来源：第8讲 p5]

• 顺序：若 $t < s$ 且 $i_t < i_s$，则称这两个数组成此排列的一个顺序。[来源：第8讲 p5]

• 逆序数：一个排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，记为 $\tau(j_1j_2\cdots j_n)$。[来源：第8讲 p11]

(2) 定理/命题

• 逆序数与顺序数之和：一个排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 中逆序的个数与顺序的个数之和等于 $\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}$。[来源：第8讲 p11]

(3) 推论/二级结论

• 逆序数计算方法：从左到右依次计算每个元素前面比它大的元素个数，求和即为逆序数。[来源：第8讲 p11，例题]

  例：排列 $32514$ 的逆序数计算：$\tau(32514) = 0+1+0+3+1 = 5$。

(6) 常用技巧

• 快速计算逆序数：对每个位置上的数，数出其左边比它大的数的个数，然后求和。[来源：第8讲 p6-11，例题演示]

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二、排列的奇偶性与对换

(1) 定义

• 奇排列：逆序数为奇数的排列。[来源：第8讲 p13]

• 偶排列：逆序数为偶数的排列。[来源：第8讲 p13]

• 对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的操作叫做对换。[来源：第8讲 p14]

• 相邻对换：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。[来源：第8讲 p14]

(2) 定理/命题

• ⭐ 定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。[来源：第8讲 p15]

• ⭐ 定理2：当 $n \geq 2$ 时，$n$ 个元素的所有排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为 $\displaystyle\frac{n!}{2}$。[来源：第8讲 p15]

(3) 推论/二级结论

• 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数。[来源：第8讲 p15]

• 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。[来源：第8讲 p15]

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三、行列式的定义

(1) 定义

• ⭐ n阶行列式定义：由 $n^2$ 个数组成的 $n$ 阶行列式等于所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积的代数和：

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$$

简记作 $\det(a_{ij})$。数 $a_{ij}$ 称为行列式 $\det(a_{ij})$ 的元素。[来源：第8讲 p2, p24]

(2) 说明要点

1. 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的。[来源：第8讲 p3]

2. $n$ 阶行列式是 $n!$ 项的代数和，结果是一个数。[来源：第8讲 p3]

3. $n$ 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 $n$ 个元素的乘积，行列式行数和列数要相等。[来源：第8讲 p3]

4. ⭐ 一阶行列式 $|a| = a$，不要与绝对值记号相混淆。[来源：第8讲 p3]

5. $a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$ 的符号为 $(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$。[来源：第8讲 p3]

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四、二阶行列式

(1) 定义

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

[来源：第8讲 p17]

(6) 常用技巧——对角线法则

• 主对角线（左上到右下）元素乘积取正号：$+a_{11}a_{22}$
• 副对角线（右上到左下）元素乘积取负号：$-a_{12}a_{21}$

[来源：第8讲 p17，红框标注]

例：$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} = 1 \times 7 - (-2) \times 3 = 13$。[来源：第8讲 p17]

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五、三阶行列式

(1) 定义

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$

[来源：第8讲 p19]

(6) 常用技巧——对角线法则

• 正号项：主对角线及其平行线方向（三条）
• 负号项：副对角线及其平行线方向（三条）

[来源：第8讲 p19，图示]

(5) 反例与易错点

• ⭐ 对角线法则仅适用于二阶和三阶行列式，不适用于四阶及更高阶行列式！【整理自PPT】

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六、特殊行列式

(2) 定理/命题

• ⭐ 上三角行列式：主对角线以下元素全为零

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

[来源：第8讲 p28, p30]

• ⭐ 下三角行列式：主对角线以上元素全为零

$$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

[来源：第8讲 p30]

• ⭐ 对角行列式：

$$\begin{vmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{vmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$

[来源：第8讲 p31]

• ⭐ 副对角行列式：

$$\begin{vmatrix} & & & \lambda_1 \\ & & \lambda_2 & \\ & \iddots & & \\ \lambda_n & & & \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$

[来源：第8讲 p31]

(3) 推论/二级结论

• 上三角、下三角、对角行列式的值均等于主对角线元素的乘积。【整理自PPT】（由 p28-31 结论综合）

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七、转置行列式

(1) 定义

• 转置行列式：设

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

则

$$D^T = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

行列式 $D^T$ 称为行列式 $D$ 的转置行列式。[来源：第9讲 p2]

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八、行列式的性质

(2) 定理/命题

• ⭐ 性质1：行列互换，行列式的值不变，即 $D = D^T$。[来源：第9讲 p4]

  说明：行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。[来源：第9讲 p4，红色标注]

• ⭐ 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。[来源：第9讲 p5]

• ⭐ 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此行列式。[来源：第9讲 p6]

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

• ⭐ 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。[来源：第9讲 p8]

• ⭐ 性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 $D$ 等于下列两个行列式之和。[来源：第9讲 p10]

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & (a_{1i}+a'_{1i}) & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & (a_{ni}+a'_{ni}) & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a'_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a'_{ni} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

• ⭐ 性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。[来源：第9讲 p11]

  记作 $r_i + kr_j$（第 $i$ 行加上第 $j$ 行的 $k$ 倍）。

(3) 推论/二级结论

• 推论（由性质2）：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。[来源：第9讲 p5]

• 推论（由性质3）：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。[来源：第9讲 p6]

(4) 等价条件/充要条件

• 行列式为零 $\Leftarrow$ 有两行（列）完全相同。【整理自PPT】（由性质2推论）

• 行列式为零 $\Leftarrow$ 有两行（列）成比例。【整理自PPT】（由性质4）

• 行列式为零 $\Leftarrow$ 某一行（列）全为零。【非PPT直接给出】（由性质3，取 $k=0$ 即得）

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九、行列式初等变换与行列式值的关系

(2) 定理/命题（总结）

初等变换类型	操作	对行列式值的影响
交换	交换行列式的两行（列）	行列式变号
倍乘	行列式的一行（列）同乘以非零数 $k$	行列式值变为 $k$ 倍
倍加	一行（列）乘以数后加至另一行（列）	行列式值不变

[来源：第9讲 p18，黄色高亮标注]

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十、计算行列式的常用方法

(6) 常用技巧

• ⭐ 基本方法：把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。[来源：第9讲 p13]

• ⭐ 行（列）和相等型行列式：若每行（列）的元素和都一样，可将所有列加到第一列，提出公因子后继续化简。[来源：第9讲 p14]

  例：计算 $n$ 阶行列式

$$D = \begin{vmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{vmatrix}$$

方法：将第 $2, 3, \cdots, n$ 列都加到第一列，第一列元素全变为 $a+(n-1)b$，提出后继续化为上三角：

$$D = [a+(n-1)b](a-b)^{n-1}$$

[来源：第9讲 p14]

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附：易错点提醒

1. ⭐ 一阶行列式 $|a| = a$，不是绝对值！[来源：第8讲 p3]

2. ⭐ 对角线法则只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上不能用！【整理自PPT】

3. ⭐ 性质3中，$k$ 乘以**某一行（列）**等于 $k$ 乘行列式，而不是 $k^n$ 倍！【整理自PPT】

4. ⭐ 副对角行列式的符号是 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$，不要忘记这个符号！[来源：第8讲 p31]

5. ⭐ 初等变换"倍加"（$r_i + kr_j$）中，被加的行 $r_j$ 不变，变化的是 $r_i$！【整理自PPT】