第14讲：矩阵的分块

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关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 分块矩阵的定义与记号
2. ⭐ 分块矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算法则
3. ⭐ 基本原则：不管整体还是局部小块，都必须符合矩阵运算规则
4. ⭐ 矩阵乘积 $C=AB$ 的常用分块形式（按列/按行/按列行混合）
5. ⭐ 重要结论：若 $AB=O$，则 $B$ 的列都是齐次方程组 $AX=0$ 的解
6. ⭐ 分块对角矩阵的定义、运算与逆矩阵
7. 分块矩阵的初等行（列）变换（三种类型）
8. 标准单位列/行向量的定义与性质
9. 利用矩阵运算表达线性方程组

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一、分块矩阵的概念

(1) 定义

• 分块矩阵：将矩阵 $A$ 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每个小矩阵称为 $A$ 的一个子块，以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 [来源：p3，定义]

• 分块方法：对于行数和列数较大的矩阵，经常采用"矩阵分块法"，即将一个大的矩阵看成是一些以小的矩阵为"元素"的矩阵。在运算中，把这些小的矩阵当作"元素"来处理。 [来源：p2]

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二、分块矩阵的运算

(1) 基本原则

• ⭐ 核心原则：不管整体，还是局部小块，都必须符合矩阵运算规则。 [来源：p9，红色强调]

(2) 分块矩阵的加法

• 设 $A=(A_{ij})_{s \times t}$，$B=(B_{ij})_{s \times t}$，对任意的 $i$ 和 $j$，$A_{ij}$ 和 $B_{ij}$ 都是同类型矩阵（有相同行数和列数的矩阵），那么 $A+B=(A_{ij}+B_{ij})_{s \times t}$。 [来源：p7]

(3) 分块矩阵的数乘

• $A=(A_{ij})_{s \times t}$，$k$ 是一个数，那么 $kA=(kA_{ij})_{s \times t}$。 [来源：p7]

(4) 分块矩阵的乘法

• 设 $A=(A_{ij})_{s \times r}$，$B=(B_{kl})_{r \times t}$，且 $A_{im}$ 的列数等于 $B_{mj}$ 的行数，那么 $AB=C=(C_{ij})_{s \times t}$，其中 $C_{ij}=\sum_{m=1}^{r}A_{im}B_{mj}$。 [来源：p8]

(5) 分块矩阵的转置

• 设 $A=(A_{ij})_{s \times t}$，那么 $A^T=(B_{ij})_{t \times s}=(A_{ji}^T)_{t \times s}$。 [来源：p23]
• 要点：先将分块矩阵整体转置（行变列），再对每个子块取转置。

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三、矩阵乘积的常用分块形式

(1) 按列分块（反映 $C$ 的列与 $A$ 的列的关系）

设 $A=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p)$（按列分块），则：

$$C=AB=A(\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n)=(A\gamma_1, A\gamma_2, \cdots, A\gamma_n)$$

⭐ 结论：$C$ 的第 $j$ 列 $=A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列。 [来源：p11，p15]

(2) 按行分块（反映 $C$ 的行与 $B$ 的行的关系）

设 $A=\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\vdots\\\beta_m\end{pmatrix}$（按行分块），则：

$$C=AB=\begin{pmatrix}\beta_1 B\\\beta_2 B\\\vdots\\\beta_m B\end{pmatrix}$$

⭐ 结论：$C$ 的第 $i$ 行 $=A$ 的第 $i$ 行乘以 $B$。 [来源：p12，p18]

(3) 列-行分块乘积形式

$$AB=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p)\begin{pmatrix}\theta_1\\\theta_2\\\vdots\\\theta_p\end{pmatrix}=\alpha_1\theta_1+\alpha_2\theta_2+\cdots+\alpha_p\theta_p$$

⭐ 注意：这里每个 $\alpha_i$ 和 $\theta_j$ 都是矩阵（而非数），结果是矩阵的和。 [来源：p17，黄色标注"每个都是矩阵"]

(4) 行-列分块乘积形式（分块展开）

$$AB=\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\vdots\\\beta_m\end{pmatrix}(\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_n)=\begin{pmatrix}\beta_1\gamma_1 & \beta_1\gamma_2 & \cdots & \beta_1\gamma_n\\\beta_2\gamma_1 & \beta_2\gamma_2 & \cdots & \beta_2\gamma_n\\\vdots & \vdots & & \vdots\\\beta_m\gamma_1 & \beta_m\gamma_2 & \cdots & \beta_m\gamma_n\end{pmatrix}$$

[来源：p16]

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四、重要结论：矩阵乘积与齐次方程组

(1) 核心定理

⭐⭐ 若 $AB=O$，则矩阵 $B$ 的列都是齐次线性方程组 $AX=0$ 的解。 [来源：p20，黄框强调]

反之，令 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ 都是 $AX=0$ 的解，那么矩阵 $B=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k)$ 满足 $AB=O$。 [来源：p20]

⭐ 这个结果非常重要！牢记！ [来源：p20，红色强调]

(2) 对偶结论

• 在 $AB=0$ 中，将 $A$ 看成一行一行的，而 $A$ 的行与方程组 $XB=0$ 的关系：$A$ 的行都是 $XB=0$ 的解。 [来源：p20，提示]

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五、矩阵与线性方程组的关系

(1) 线性方程组的矩阵表示

线性方程组可表示为 $AX=B$，其中：

• $A$ 的列是方程组的系数向量
• $A$ 的列数是方程组的未知量个数
• $A$ 的行数是方程组的方程个数

[来源：p21-22，黄框提问]

(2) 向量表示

令 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 为 $A$ 的列向量，$\beta$ 为常数列，则方程组 $AX=B$ 可写为：

$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n = \beta$$

[来源：p21]

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六、分块矩阵的初等变换

(1) 矩阵的初等行（列）变换（三种类型）

1. 交换：交换矩阵的两行（列），记作 $r_i \leftrightarrow r_j$（$c_i \leftrightarrow c_j$） [来源：p13]

2. 倍乘：将矩阵的某一行（列）的各个元素乘以同一个非零的数 $k$，记作 $kr_i \rightarrow r_i$（$kc_i \rightarrow c_i$） [来源：p13]

3. 倍加：将矩阵的某一行（列）的各个元素乘以同一个数 $k$ 后，加到另一行（列）的对应元素上去，记作 $r_j + kr_i \rightarrow r_j$（$c_j + kc_i \rightarrow c_j$） [来源：p13]

(2) 分块矩阵的初等行（列）变换

1. 交换分块矩阵的两行（列） [来源：p14]

2. 将分块矩阵的某一行（列）的各个元素乘以同一个可逆矩阵 $P$

   • ⭐ 注意：必须乘以可逆矩阵（不是数！） [来源：p14，黄色标注"可逆矩阵P"]

3. 将分块矩阵的某一行（列）的各个矩阵乘以同一个矩阵 $Q$ 后，加到另一行（列）的对应矩阵上去

   • ⭐ 注意：乘的是矩阵 $Q$（不是数！） [来源：p14，黄色标注"矩阵Q"]

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七、分块对角矩阵

(1) 定义

$$\text{称} \begin{pmatrix}A_1 & O & \cdots & O\\O & A_2 & \cdots & O\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\O & O & \cdots & A_s\end{pmatrix}\text{为分块对角矩阵（或准对角矩阵），其中 }A_i\text{ 都是方阵}$$

也可记为 $\text{diag}(A_1, A_2, \cdots, A_s)$。 [来源：p24]

(2) 分块对角矩阵的运算性质

设 $A=\text{diag}(A_1, A_2, \cdots, A_s)$，$B=\text{diag}(B_1, B_2, \cdots, B_s)$，其中 $A_i, B_i$ 都是同阶的方阵，则：

1. 加法：$A+B=\text{diag}(A_1+B_1, A_2+B_2, \cdots, A_s+B_s)$ [来源：p25]

2. 数乘：$cA=\text{diag}(cA_1, cA_2, \cdots, cA_s)$ [来源：p25]

3. ⭐ 乘法：$AB=\text{diag}(A_1B_1, A_2B_2, \cdots, A_sB_s)$ [来源：p25，黄框强调]

4. 转置：$A^T=\text{diag}(A_1^T, A_2^T, \cdots, A_s^T)$ [来源：p25]

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八、标准单位向量

(1) 标准单位列向量

$\varepsilon_j$ 是 $n \times 1$ 的矩阵，它的第 $j$ 行元素为 1，其余元素全为 0。

$$\varepsilon_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}, \varepsilon_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}, \cdots, \varepsilon_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}$$

[来源：p26-28]

特点：

• 任何一个 $n$ 维列向量，可以用这 $n$ 个列向量（线性）表示出来。 [来源：p27]
• 他们中任何一个列向量，都不能被其他向量（线性）表示出来。 [来源：p28]

(2) 标准单位行向量

$\varepsilon_i$ 是 $1 \times n$ 的矩阵，它的第 $i$ 列元素为 1，其余元素全为 0。

$$\varepsilon_1=(1, 0, \cdots, 0), \varepsilon_2=(0, 1, \cdots, 0), \cdots, \varepsilon_n=(0, 0, \cdots, 1)$$

[来源：p29]

特点：

• 任何一个 $n$ 维行向量，可以用这 $n$ 个行向量（线性）表示出来。
• 他们中任何一个行向量，都不能被其他向量（线性）表示出来。 [来源：p29]

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九、例题与思考题

(1) 思考题

设矩阵 $A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\4 & -2 & 5\\6 & -3 & 8\end{pmatrix}$，

(1) 试求 $3 \times 4$ 非零矩阵 $B$ 使得 $AB=0$

(2) 试求 $4 \times 3$ 非零矩阵 $C$ 使得 $CA=0$

[来源：p19]

(2) 证明题

$A$ 为 $n$ 阶方阵，试证：若对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，都有 $Ax=0$，那么 $A=O$。 [来源：p30]

证明思路：取 $x$ 为标准单位列向量 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$，则 $A\varepsilon_j$ 恰好是 $A$ 的第 $j$ 列，由 $A\varepsilon_j=0$ 知 $A$ 的每一列都是零向量。【整理自PPT】

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第18讲：分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵 - 知识集锦

关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 分块矩阵的三种初等变换（与普通初等变换的区别）
2. ⭐ 分块初等矩阵的定义
3. ⭐ 定理：用分块初等矩阵左（右）乘分块矩阵相当于对分块矩阵实施相应的分块初等变换
4. ⭐⭐ 行列式第一降阶定理：$|M|=|A| \cdot |D-CA^{-1}B|$
5. ⭐ 分块对角矩阵的逆矩阵公式
6. ⭐ 分块上/下三角矩阵的逆矩阵
7. ⭐ 分块矩阵秩的性质：$r\begin{pmatrix}A & O\\O & B\end{pmatrix}=r(A)+r(B)$
8. ⭐⭐ Sylvester秩不等式：$r(AB)+n \geq r(A)+r(B)$
9. 特征多项式关系：$|xE-AB|=x^{m-n}|xE-BA|$

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一、分块矩阵的初等变换

(1) 定义

对分块矩阵的行列实施下列三种操作之一，称为对分块矩阵实施了一次分块初等变换：

1. 交换：交换分块矩阵的两行，记为 $R_i \leftrightarrow R_j$（$C_i \leftrightarrow C_j$） [来源：p2]

2. 倍乘：用一个可逆矩阵 $P$（$Q$）左（右）乘分块的某行的各子块，记为 $PR_i \rightarrow R_i$（$C_iQ \rightarrow C_i$） [来源：p2]

3. 倍加：用一个适当阶数的矩阵左（右）乘分块矩阵某行（列）的各子块后加至另一行（列）的对应子块上去，记为 $R_j+(A_i)R_i \rightarrow R_j$ [来源：p2]

(2) 与普通初等变换的区别

⭐ 关键区别：

• 普通初等变换第二类：乘以非零常数 $k$
• 分块初等变换第二类：乘以可逆矩阵 $P$
• 普通初等变换第三类：乘以常数 $k$
• 分块初等变换第三类：乘以矩阵 $Q$

【整理自PPT】

(3) 等价关系

⭐ 对分块矩阵进行初等行（列）变换 $\Leftrightarrow$ 对原矩阵进行有限次初等行（列）变换 [来源：p7]

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二、分块初等矩阵

(1) 定义

分块初等矩阵：分块的单位矩阵经过一次分块初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵。 [来源：p8]

(2) 三类分块初等矩阵的形式

[详见原PPT p3-p6的矩阵图示]

(3) 核心定理

⭐ 定理：用分块初等矩阵左（右）乘分块矩阵相当于对分块矩阵实施相应的分块初等变换。 [来源：p8]

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三、行列式第一降阶定理

(1) 定理陈述

⭐⭐ 设 $M=\begin{pmatrix}A & B\\C & D\end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $D$ 分别为 $m$ 和 $n$ 阶矩阵，且 $|A| \neq 0$，则：

$$|M|=|A| \cdot |D-CA^{-1}B|$$

[来源：p9]

(2) 对偶形式

若 $|D| \neq 0$，则：

$$|M|=|D| \cdot |A-BD^{-1}C|$$

【非PPT直接给出】（由定理形式对称性推得）

(3) 常用推论

• 当 $C=O$ 时：$\begin{vmatrix}A & B\\O & D\end{vmatrix}=|A| \cdot |D|$ 【整理自PPT】

• 当 $B=O$ 时：$\begin{vmatrix}A & O\\C & D\end{vmatrix}=|A| \cdot |D|$ 【整理自PPT】

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四、分块对角矩阵的逆矩阵

(1) 定理

设 $A=\text{diag}(A_1, A_2, \cdots, A_s)$，其中 $A_i$ 都是方阵，若 $A_i$ 均可逆，则 $A$ 可逆，且：

$$A^{-1}=\text{diag}(A_1^{-1}, A_2^{-1}, \cdots, A_s^{-1})$$

[来源：p11]

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五、分块三角矩阵的逆矩阵

(1) 分块上三角矩阵

设 $P=\begin{pmatrix}A & B\\O & C\end{pmatrix}$，其中 $A$、$C$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵，$B$ 为 $m \times n$ 阶矩阵，则 $P$ 是可逆矩阵，且：

$$P^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1} & -A^{-1}BC^{-1}\\O & C^{-1}\end{pmatrix}$$

[来源：p12，例题结论]

(2) 分块下三角矩阵

设 $Q=\begin{pmatrix}A & O\\C & D\end{pmatrix}$，其中 $A$、$D$ 可逆，则：

$$Q^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1} & O\\-D^{-1}CA^{-1} & D^{-1}\end{pmatrix}$$

【非PPT直接给出】（由分块上三角的对偶形式推得）

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六、分块矩阵秩的性质

(1) 分块对角矩阵的秩

$$r\begin{pmatrix}A & O\\O & B\end{pmatrix}=r(A)+r(B)$$

[来源：p14]

(2) 一般分块矩阵秩的不等式

$$r\begin{pmatrix}A & O\\C & B\end{pmatrix} \geq r(A)+r(B)$$

[来源：p14]

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七、矩阵乘积秩的重要不等式

(1) Sylvester秩不等式

设 $A$ 是 $m \times n$ 阵，$B$ 是 $n \times p$ 阵，则：

$$r(AB)+n \geq r(A)+r(B)$$

[来源：p15]

(2) 乘积秩的上界

$$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$$

[来源：p15]

(3) $AB=O$ 时的秩关系

若 $AB=O$，则 $r(A)+r(B) \leq n$（其中 $A$ 是 $m \times n$ 阵，$B$ 是 $n \times p$ 阵） [来源：p15]

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八、特征多项式相关结论

(1) $|xE-AB|$ 与 $|xE-BA|$ 的关系

设 $A$ 为 $m \times n$ 阵，$B$ 为 $n \times m$ 阵，$m \geq n$，则：

$$|xE_m-AB|=x^{m-n}|xE_n-BA|$$

[来源：p17]

(2) 推论

设 $A$ 为 $m \times n$ 阵，$B$ 为 $n \times m$ 阵，试证：若 $E_n-BA$ 可逆，则 $E_m-AB$ 也可逆。 [来源：p17]

证明思路：由上述公式可知 $|E_m-AB|=|E_n-BA| \neq 0$。【整理自PPT】

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九、例题与思考题

(1) 分块对角矩阵的逆矩阵与伴随矩阵

设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，

(1) 试求矩阵 $\begin{pmatrix}A & O\\O & B\end{pmatrix}$ 的逆矩阵和伴随矩阵

(2) 试求矩阵 $\begin{pmatrix}O & A\\B & O\end{pmatrix}$ 的逆矩阵和伴随矩阵

[来源：p10]

(2) 特殊行列式计算

设 $A$，$B$ 为 $n$ 阶矩阵，试证：

$$\begin{vmatrix}A & B\\B & A\end{vmatrix}=|A+B| \cdot |A-B|$$

[来源：p13]

证明思路：对分块矩阵进行分块初等变换，第一行加到第二行，第一列减去第二列。【整理自PPT】

(3) 存在性问题

设 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶方阵，$r(A)+r(B) \leq n$。试证：存在 $n$ 阶可逆方阵 $M$，使得 $AMB=O$。 [来源：p16]

(4) 特征行列式求解

例：设 $A=(a_1, a_2, \cdots, a_n)$，$B=(b_1, b_2, \cdots, b_n)^T$，试求 $|E_n-BA|$。 [来源：p17]

提示：当 $m > n$ 的时候，可利用 $|xE_m-AB|=x^{m-n}|xE_n-BA|$ 进行降阶。这里 $AB$ 是 $1 \times 1$ 矩阵（即数），令 $x=1$ 即可得 $|E_n-BA|=1-AB=1-\sum_{i=1}^n a_i b_i$。【整理自PPT】

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十、常用技巧总结

(1) 分块初等变换消元

对 $\begin{pmatrix}A & B\\C & D\end{pmatrix}$ 进行分块初等行变换：第二行加上 $(-CA^{-1}) \times$ 第一行，得到 $\begin{pmatrix}A & B\\O & D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$，从而可以计算行列式。【整理自PPT】

(2) 利用矩阵乘积与齐次方程组的关系

若要证明某个矩阵 $B$ 的列都是 $AX=0$ 的解，只需验证 $AB=O$。【整理自PPT】

(3) 秩不等式的应用

• 证明 $r(A)+r(B) \leq n$：通常找一个矩阵使得 $AB=O$
• 证明存在可逆 $M$ 使 $AMB=O$：利用秩条件构造

【整理自PPT】

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文档信息：本知识集锦基于上海交通大学线性代数课程PPT（第14讲：矩阵的分块，第18讲：分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵）整理，仅供学习参考。