第2章质点动力学 · 速览

正文编号：§2.3=动力学问题处理，§2.4=SI/量纲（与封面目录相反）。

§2.1 牛顿运动定律

第一定律（惯性定律）：自由质点 $\vec{v}=\text{const.}$ （含静止）；力是改变恒定速度的作用；惯性系=该定律成立的参考系。仅对部分参考系成立。
惯性系等价：速度变换 $\dfrac{d\vec{r}^{\,\prime}}{dt'}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}-\vec{u}$ ；所有惯性系等价。
第二定律： $\vec{F}=\dfrac{d(m\vec{v})}{dt}=m\vec{a}$ ， $\vec{p}=m\vec{v}$ ；只在惯性系、对质点成立。分量： $F_x=ma_x$ ， $F_n=m\dfrac{v^2}{\rho}$ ， $F_t=m\dfrac{dv}{dt}$ 。
质量：牛顿力学中 $m$ 为绝对量；相对论 $m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 。
第三定律： $\vec{F}_{AB}=-\vec{F}_{BA}$ ；对接触力总成立、非接触力不一定；不要求惯性系；两力作用在不同物体、不抵消。
伽利略变换： $x=x'+ut,\ y=y',\ z=z',\ t=t'$ ；伽利略相对性原理：力学规律在一切惯性系形式相同（ $\vec{F}^{\,\prime}=\vec{F}$ 、 $\vec{a}=\vec{a}^{\,\prime}$ 、 $m=m'$ ）。

万有引力： $\vec{F}_{21}=-G\dfrac{m_1m_2}{r_{12}^2}\hat{r}_{12}$ （负号=吸引，指向施力质点）。
平方反比来历：圆轨道近似 + $T\propto r^{3/2}\Rightarrow a\propto1/r^2\Rightarrow F\propto m/r^2$ 。
月—地检验：同一常数支配 $g$ 与 $a_{\text{月}}$ ，圆周模型得 $(r')^{3}=\dfrac{R^2gT^2}{4\pi^2}$ 。
重力：地表近似 $g=\dfrac{GM}{R^2}$ ， $\vec{F}=m\vec{g}$ （条件 $r-R\ll R$ ）。
逃逸速度： $v=\sqrt{v_0^2-2gR+\dfrac{2gR^2}{x}}$ ；逃逸判据 $v_0^2\ge2gR$ ， $v_0=\sqrt{2gR}=11.2\,\mathrm{km/s}$ ；技巧 $\dfrac{dv}{dt}=v\dfrac{dv}{dx}$ 。
胡克定律： $F=-kx$ （ $x$ 自平衡位置量起，近似经验式）。
张力：张力处处相等的条件——绳水平 $\vec{a}=0$ 或轻绳 $m=0$ ，此时 $T=F$ 。
旋转绳张力（微元法+边界 $T(L)=0$ ）： $T(r)=\dfrac{M\omega^2(L^2-r^2)}{2L}$ 。
摩擦力：静摩擦 $0\le f_s\le\mu_sF_N$ ， $f_{s,\max}=\mu_sF_N$ ；滑动 $f_k=\mu F_N$ ，且 $\mu<\mu_s$ 、 $f_k<f_{s,\max}$ 。

方法：隔离体分别画受力图、以惯性系列牛顿方程联立。
阿特伍德机： $a=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g$ ， $T_1=T_2=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$ ，滑轮轴 $T=2T_1$ ， $N=mg+T$ ；滑轮+两物为变形体。
电梯中阿特伍德机：匀速同地面；匀加速上升把 $g\to(a+g)$ ， $T=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}(a+g)$ ；自由下落 $a=-g\Rightarrow a_{\mathrm{el}}'=0,\ T=0$ 。
绳绕圆柱（绞盘，微元法）： $\dfrac{dT}{T}=-\mu\,d\theta\Rightarrow T_B=T_Ae^{-\mu\varphi}$ （ $\mu=0\Rightarrow T_B=T_A$ ）。

SI 力学基本量＝长度、质量、时间（m, kg, s）；量纲 $[Q]=L^pM^qT^s$ ，如 $[v]=LT^{-1}$ 、 $[a]=LT^{-2}$ 、 $[F]=MLT^{-2}$ 。
单摆周期： $T=\alpha\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ ，与 $m$ 无关、 $\alpha$ 不定；原子弹能量估计（ $k\sim1$ ）： $E=k\dfrac{\rho r^5}{t^2}$ 。

非惯性系 / 惯性力： $\vec{a}^{\,\prime}=\vec{a}-\dfrac{d\vec{u}}{dt}$ ； $\vec{F}_{\mathrm{in}}=-m\dfrac{d\vec{u}}{dt}$ （平动系 $=-m\vec{a}_0$ ），引入后 $\vec{F}+\vec{F}_{\mathrm{in}}=m\vec{a}^{\,\prime}$ 。
超重/失重：上加速超重、下加速失重；自由下落（ $m=m_i,\ a=g$ ） $P=mg-m_ia=0$ ，完全失重。
惯性离心力 / 科里奥利力： $\vec{F}_{\mathrm{in}}=m\omega^2\vec{r}$ ； $\vec{F}_c=2m\vec{v}\times\vec{\omega}$ ；转动系总惯性力 $=m\omega^2\vec{r}+2m\vec{u}\times\vec{\omega}$ 。
极坐标加速度： $\vec{a}=\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\hat{r}+\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\hat{\theta}$ ；本例 $\vec{a}=-r\omega^2\hat{r}+2u\omega\hat{\theta}$ 。
傅科摆：摆平面顺时针转动，约 $32$ 小时一周；旋转光滑管： $v=-r\omega_0\Rightarrow r=le^{-\omega_0t}$ ， $t_1=\dfrac{\ln2}{\omega_0}$ ，到轴心需 $t=\infty$ 。