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Chap 14 函数项级数

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14.1 一致收敛性

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一、点态收敛

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  • 收敛点 / 发散点 / 收敛域:对函数列 {fn(x)}\{f_n(x)\},x∈Xx\in X,若数列 {fn(x0)}\{f_n(x_0)\} 收敛,则称 x0x_0 为收敛点,否则称之为发散点;收敛点的全体 DD 称为收敛域。
  • 定义 1(点态收敛、极限函数):设 {fn(x)}\{f_n(x)\} 的收敛域为 DD,且 ∀x∈D\forall x\in D:lim⁡n→∞fn(x)=f(x)\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),则称 {fn(x)}\{f_n(x)\} 在 DD 上(点态)收敛,f(x)f(x) 称为极限函数,记为 fn(x)→ D f(x)f_n(x)\xrightarrow{\,D\,}f(x)。
  • 点态收敛的 ε\varepsilon–NN 叙述:fn(x)→ D f(x)f_n(x)\xrightarrow{\,D\,}f(x) 即
∀x∈D, ∀ε>0, ∃N=N(x,ε)∈N, ∀n>N: ∣fn(x)−f(x)∣<ε.\forall x\in D,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists N=N(x,\varepsilon)\in\mathbb{N},\ \forall n>N:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.
  • 点态收敛中 N=N(x,ε)N=N(x,\varepsilon) 既依赖 ε\varepsilon 也依赖 xx;而一致收敛(定义 3)中 N=N(ε)N=N(\varepsilon) 只依赖 ε\varepsilon、对一切 x∈Dx\in D 公用,这是两个概念的本质区别。
  • 定义 2(函数项级数、部分和、和函数):设 {un(x)}\{u_n(x)\} 为函数列,称 ∑n=1∞un(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+⋯\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots 为函数项级数;Sn(x)=∑k=1nuk(x)S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x) 称为其部分和函数。若 Sn(x)→ D S(x)S_n(x)\xrightarrow{\,D\,}S(x),则称 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 DD 上(点态)收敛,S(x)S(x) 称为和函数,记为 ∑n=1∞un(x)=S(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=S(x)。
  • 核心问题:极限函数 f(x)f(x)(和函数 S(x)S(x))能否保持 fn(x)f_n(x)(un(x)u_n(x))的"连续性、可导性、可积性"等分析性质?
  • 例 1:考察函数列 fn(x)=xn, x∈[0,1]f_n(x)=x^n,\ x\in[0,1] 的极限函数在 [0,1][0,1] 上的连续性。
  • 例 2:设 fn(x)=xn+1n+1, x∈[0,1]f_n(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},\ x\in[0,1],考察其极限函数的导数及导数函数列的极限函数。
  • 例 3:设 fn(x)=nx(1−x2)n, x∈[0,1]f_n(x)=nx(1-x^2)^n,\ x\in[0,1],考察其极限函数的积分及其积分的极限。
  • 例 1–3 分别针对"连续性、可导性、可积性"三个性质构造检验对象,用于说明点态收敛下这些性质未必保持,由此引出一致收敛概念。

二、一致收敛性

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  • 定义 3(一致收敛):设 {fn(x)}\{f_n(x)\} 为函数列,若存在 f(x)f(x) 使
∀ε>0, ∃N=N(ε)∈N, ∀n>N, ∀x∈D: ∣fn(x)−f(x)∣<ε,\forall\varepsilon>0,\ \exists N=N(\varepsilon)\in\mathbb{N},\ \forall n>N,\ \forall x\in D:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,

则称 {fn(x)}\{f_n(x)\} 在 DD 上一致收敛于 f(x)f(x),记为 fn(x)⇉Df(x)f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}f(x)。

  • 若 fn(x)⇉Df(x)f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}f(x),则 fn(x)→ D f(x)f_n(x)\xrightarrow{\,D\,}f(x);反之不然。
  • 若 fn(x)⇉Df(x)f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}f(x),则对任意子集 D1⊂DD_1\subset D:fn(x)⇉D1f(x)f_n(x)\overset{D_1}{\rightrightarrows}f(x)。
  • 不一致收敛的肯定叙述:fn(x)f_n(x) 在 DD 上不一致收敛   ⟺  \iff
∀f(x), ∃ε0>0, ∀N∈N, ∃nN>N, ∃xN∈D: ∣fnN(xN)−f(xN)∣≥ε0.\forall f(x),\ \exists\varepsilon_0>0,\ \forall N\in\mathbb{N},\ \exists n_N>N,\ \exists x_N\in D:\ |f_{n_N}(x_N)-f(x_N)|\ge\varepsilon_0.
  • 不一致收敛判别法:或者 {fn(x)}\{f_n(x)\} 在 DD 上不点态收敛;或者虽 fn(x)→ D f(x)f_n(x)\xrightarrow{\,D\,}f(x),但 {fn(x)}\{f_n(x)\} 不一致收敛于 f(x)f(x),即
∃ε0>0, ∃{nk}⊂N, nk→∞, ∃xk∈D: ∣fnk(xk)−f(xk)∣≥ε0.\exists\varepsilon_0>0,\ \exists\{n_k\}\subset\mathbb{N},\ n_k\to\infty,\ \exists x_k\in D:\ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|\ge\varepsilon_0.
  • 例 4:说明 fn(x)=nxn2+(n+1)xf_n(x)=\dfrac{nx}{n^2+(n+1)x} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上不一致收敛。
  • 例 5:判断 fn(x)=2nx1+n2xf_n(x)=\dfrac{2n\sqrt{x}}{1+n^2x} 在 DD 上的一致收敛性:(1) D=[1,+∞)D=[1,+\infty);(2) D=[0,1]D=[0,1]。

三、一致收敛的判别充要条件

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  • 定理(Cauchy 一致收敛准则):{fn(x)}\{f_n(x)\} 在 DD 上一致收敛
  ⟺   ∀ε>0, ∃N∈N, ∀n>N, ∀p∈N, ∀x∈D: ∣fn+p(x)−fn(x)∣<ε.\iff\ \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n>N,\ \forall p\in\mathbb{N},\ \forall x\in D:\ |f_{n+p}(x)-f_n(x)|<\varepsilon.
  • 思考:∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 DD 上一致收敛的 Cauchy 准则?
  • 结论(必要条件):若 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 DD 上一致收敛,则 un(x)⇉D0u_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}0。
  • 定理(确界极限):
fn(x)⇉Df(x)   ⟺   lim⁡n→∞sup⁡x∈D∣fn(x)−f(x)∣=0.f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}f(x)\ \iff\ \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0.
  • 定理(点列极限):
fn(x)⇉Df(x)   ⟺   ∀{xn}⊂D: lim⁡n→∞∣fn(xn)−f(xn)∣=0.f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}f(x)\ \iff\ \forall\{x_n\}\subset D:\ \lim_{n\to\infty}|f_n(x_n)-f(x_n)|=0.
  • 例 6:讨论 fn(x)=xne−n2xf_n(x)=x^n\mathrm{e}^{-n^2x} 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上的一致收敛性。
  • 注(方法选择):极限函数(和函数)难确定时,常用 Cauchy 准则;极限函数(和函数)易计算时,常用定义或确界极限;常用点列极限判断不一致收敛。
  • 例 7:判断函数列 fn(x)=(1+xn)nf_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n 在 DD 上的一致收敛性:1) D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty);2) D=[−1,1]D=[-1,1]。提示:首先 fn(x)→ R exf_n(x)\xrightarrow{\,\mathbb{R}\,}\mathrm{e}^x。
      1. 点列极限法:取 xn=n∈Rx_n=n\in\mathbb{R},则 ∣fn(xn)−exn∣=en−2n→+∞ (n→∞)\left|f_n(x_n)-\mathrm{e}^{x_n}\right|=\mathrm{e}^n-2^n\to+\infty\ (n\to\infty),故在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上不一致收敛。
      1. 确界极限法:当 x∈[−1,1]x\in[-1,1] 时,gn(x)=ex−(1+xn)n≥0g_n(x)=\mathrm{e}^x-\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\ge 0,且 gn′(x){≥0,0≤x≤1,≤0,−1≤x≤0,g_n'(x)\begin{cases}\ge 0,&0\le x\le 1,\\ \le 0,&-1\le x\le 0,\end{cases} 故 ∣fn(x)−ex∣=ex−(1+xn)n≤max⁡{gn(1), gn(−1)}→0 (n→∞)\left|f_n(x)-\mathrm{e}^x\right|=\mathrm{e}^x-\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\le\max\{g_n(1),\,g_n(-1)\}\to 0\ (n\to\infty),即在 [−1,1][-1,1] 上一致收敛。
  • 命题(端点收敛性):设 un(x)∈C[a,b]u_n(x)\in C[a,b],且 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 (a,b)(a,b) 内一致收敛,则 ∑n=1∞un(a)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(a)、∑n=1∞un(b)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(b) 收敛,且 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 [a,b][a,b] 上一致收敛。
  • 思考:上述命题对函数列的对应形式?
  • 例 8:证明函数项级数 ∑n=2∞ln⁡nnx\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^x} 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上收敛,但不一致收敛。

四、内闭一致收敛

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  • 定义 4(内闭一致收敛):设 DD 为区间,若对 ∀\forall 闭区间 I⊂DI\subset D,{fn(x)}\{f_n(x)\} 总在 II 上一致收敛,则称 {fn(x)}\{f_n(x)\} 在 DD 上内闭一致收敛。
  • 结论:设 {fn(x)}\{f_n(x)\} 在 (a,b)(a,b) 内闭一致收敛,则 {fn(x)}\{f_n(x)\} 在 (a,b)(a,b) 点态收敛。又问:{fn(x)}\{f_n(x)\} 在 (a,b)(a,b) 必定一致收敛吗?
  • 例 9:考察 fn(x)=xnf_n(x)=x^n 在 (0,1)(0,1) 的一致收敛性和内闭一致收敛性。

五、Weierstrass 判别法

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  • 定理(Weierstrass 判别法 / 优级数判别法):设对 ∀n∈N\forall n\in\mathbb{N},∀x∈D\forall x\in D 有 ∣un(x)∣≤Mn|u_n(x)|\le M_n,且 ∑n=1∞Mn\sum\limits_{n=1}^{\infty}M_n 收敛,则 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 DD 上一致收敛。其中 ∑n=1∞Mn\sum\limits_{n=1}^{\infty}M_n 称为优级数。
  • 绝对一致收敛:∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 绝对一致收敛指 ∑n=1∞∣un(x)∣\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n(x)| 一致收敛。
  • 绝对一致收敛 ⇒\Rightarrow ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 一致收敛(由 ∣un+1(x)+⋯+un+p(x)∣≤∣un+1(x)∣+⋯+∣un+p(x)∣|u_{n+1}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)|\le |u_{n+1}(x)|+\cdots+|u_{n+p}(x)| 结合 Cauchy 准则即得)。
  • 问题:∑un(x)\sum u_n(x) 绝对一致收敛与 "∑un(x)\sum u_n(x) 绝对收敛且一致收敛" 的关系?
  • 例 10:判断 ∑n=1∞xn(1−x)2\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^n(1-x)^2 在 [0,1][0,1] 上的一致收敛性。

六、A-D 判别法

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  • 定理(Abel–Dirichlet 判别法):设 {un(x)}\{u_n(x)\}、{vn(x)}\{v_n(x)\} 满足下列两组条件之一,则 ∑n=1∞un(x)vn(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)v_n(x) 在 DD 上一致收敛:
    • (Abel) ∀x∈D\forall x\in D,{vn(x)}\{v_n(x)\} 单调,且在 DD 上一致有界;∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 DD 上一致收敛。
    • (Dirichlet) ∀x∈D\forall x\in D,{vn(x)}\{v_n(x)\} 单调,且在 DD 上一致趋于 00;∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 的部分和列 {Sn(x)}\{S_n(x)\} 在 DD 上一致有界。
  • 例 11:判断 ∑n=1∞(−1)n−1xnn(1+xn)\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n(1+x^n)} 在 [0,1][0,1] 上的一致收敛性。
  • 例 12:判断 ∑n=1∞sin⁡xsin⁡nxn+x\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n+x}} 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上的一致收敛性。

14.2 一致收敛函数级数的性质

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连续性

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  • 定理(连续性):设 fn(x)∈C(D)f_n(x)\in C(D),且 fn(x)⇉Df(x)f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}f(x),则 f(x)∈C(D)f(x)\in C(D)。
  • 等价形式(极限次序可交换):
lim⁡x→x0(lim⁡n→∞fn(x))=lim⁡n→∞(lim⁡x→x0fn(x)).\lim_{x\to x_0}\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{x\to x_0}f_n(x)\right).
  • 推论:若 un(x)∈C(D)u_n(x)\in C(D),且 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 一致收敛(或内闭一致收敛)于 S(x)S(x),则 S(x)∈C(D)S(x)\in C(D)。
  • 逆否命题(不一致收敛的判别):若 fn(x)∈C(D)f_n(x)\in C(D),且 fn(x)→ D f(x)f_n(x)\xrightarrow{\,D\,}f(x),但 f(x)∉C(D)f(x)\notin C(D),则 {fn(x)}\{f_n(x)\} 在 DD 上不一致收敛。
  • 例 1:讨论 ∑n=1∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^2}{(1+x^2)^n} 在 R\mathbb{R} 上的一致收敛性。
  • 思考:在 fn(x)∈C(D)f_n(x)\in C(D) 的前提下,连续性定理的逆命题成立否?反例:考察 fn(x)=2nx1+n2xf_n(x)=\dfrac{2n\sqrt{x}}{1+n^2x} 在 [0,1][0,1] 上的情形(极限函数连续但不一致收敛)。
  • 问题:还要增加什么条件就能得出 fn(x)⇉Df(x)f_n(x)\overset{D}{\rightrightarrows}f(x)?(由 Dini 定理回答)

Dini 定理

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  • 定理*(Dini):设 {fn(x)}\{f_n(x)\} 满足:(1) fn(x)∈C[a,b]f_n(x)\in C[a,b];(2) ∀x∈[a,b]\forall x\in[a,b],{fn(x)}\{f_n(x)\} 关于 nn 单调;(3) fn(x)→ [a,b] f(x)f_n(x)\xrightarrow{\,[a,b]\,}f(x),且 f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]。则 fn(x)⇉[a,b]f(x)f_n(x)\overset{[a,b]}{\rightrightarrows}f(x)。
  • 推论(思考):函数项级数的 Dini 定理?
  • 例 2*:设 f(x)∈C[0,1]f(x)\in C[0,1],f(1)=0f(1)=0,记 gn(x)=xnf(x)g_n(x)=x^nf(x)。证明:{gn(x)}\{g_n(x)\} 在 [0,1][0,1] 上一致收敛。特例:{xn(1−x)}\{x^n(1-x)\} 在 [0,1][0,1] 上一致收敛。

可积性(积分号下取极限)

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  • 定理(积分号下取极限):设 fn(x)∈C[a,b]f_n(x)\in C[a,b],且 fn(x)⇉[a,b]f(x)f_n(x)\overset{[a,b]}{\rightrightarrows}f(x),则
lim⁡n→∞∫abfn(x) dx=∫ab(lim⁡n→∞fn(x))dx=∫abf(x) dx.\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.
  • 注:证明用到连续性定理:f∈C[a,b]f\in C[a,b],从而 f∈R[a,b]f\in R[a,b](可积)。
  • 注(条件减弱):条件 "fn(x)∈C[a,b]f_n(x)\in C[a,b]" 可减弱为 "fn(x)∈R[a,b]f_n(x)\in R[a,b]"。
  • 推论(逐项可积性):设 un(x)∈C[a,b]u_n(x)\in C[a,b],且 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 [a,b][a,b] 上一致收敛,则
∫ab(∑n=1∞un(x))dx=∑n=1∞∫abun(x) dx.\int_a^b\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^b u_n(x)\,\mathrm{d}x.

可微性(微分号下取极限)

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  • 定理(微分号下取极限):设 fn(x)→ [a,b] f(x)f_n(x)\xrightarrow{\,[a,b]\,}f(x),又 fn′(x)∈C[a,b]f_n'(x)\in C[a,b],且 {fn′(x)}\{f_n'(x)\} 一致收敛,则 f′(x)∈C[a,b]f'(x)\in C[a,b],且
lim⁡n→∞fn′(x)=(lim⁡n→∞fn(x))′=f′(x).\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)'=f'(x).
  • 推论(逐项可微性):设 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 满足:(1) ∑n=1∞un(x)=S(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=S(x);(2) un′(x)∈C[a,b]u_n'(x)\in C[a,b];(3) ∑n=1∞un′(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n'(x) 在 [a,b][a,b] 上一致收敛。则 S′(x)∈C[a,b]S'(x)\in C[a,b],且
S′(x)=(∑n=1∞un(x))′=∑n=1∞un′(x).S'(x)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x).

综合例题

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  • 例 3:已证 ∑n=2∞ln⁡nnx\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^x} 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上收敛但不一致收敛;现记其和函数为 f(x)f(x),证明:f∈C(1,+∞)f\in C(1,+\infty)。
  • 例 4:设 f(x)=∑n=1∞cos⁡nxn2f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos nx}{n^2},求 ∫0πf(x) dx\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x。
  • 例 5:设 f(x)=∑n=1∞ne−nxf(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\mathrm{e}^{-nx}:(1) 求 f(x)f(x) 的定义域 DD;(2) 证明 ∑n=1∞ne−nx\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\mathrm{e}^{-nx} 在 DD 上不一致收敛;(3) 证明 f(x)∈C(D)f(x)\in C(D);(4) 证明 ∑n=1∞ne−nx\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\mathrm{e}^{-nx} 在 DD 内可逐项求导,且导函数连续。
  • 例 3、例 5 表明:级数在区间上不一致收敛时,仍可借助内闭一致收敛得到和函数在开区间上的连续性、可导性。

14.3 幂级数

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一、幂级数的收敛半径

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  • 定义(幂级数、系数):形如
∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+⋯\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots

的函数项级数称为幂级数,其中 x0∈Rx_0\in\mathbb{R},aia_i 称为系数。

  • 令 t=x−x0t=x-x_0,幂级数变为 ∑n=0∞antn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n(故只需研究中心在 00 的情形)。
  • 定理(Cauchy–Hadamard):设 ρ=lim‾⁡n→∞∣an∣n\rho=\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},则:
    1. 当 0<ρ<+∞0<\rho<+\infty 时,∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n 在 (−1ρ,1ρ)\left(-\dfrac{1}{\rho},\dfrac{1}{\rho}\right) 内绝对收敛,在 ∣x∣>1ρ|x|>\dfrac{1}{\rho} 发散;
    2. 当 ρ=0\rho=0 时,∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内绝对收敛;
    3. 当 ρ=+∞\rho=+\infty 时,∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n 仅在 x=0x=0 处收敛。
  • 收敛半径:r=1ρr=\dfrac{1}{\rho}(约定 1/0=+∞, 1/(+∞)=01/0=+\infty,\ 1/(+\infty)=0);收敛区间:(−r,r)(-r,r)。
  • 公式(比值法):若 lim⁡n→∞∣an+1∣∣an∣\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} 存在广义极限,则 r=lim⁡n→∞∣an∣∣an+1∣r=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|a_n|}{|a_{n+1}|}。
  • 收敛域求法:先用比值法或根值法求收敛半径,再考察端点处的敛散性。
  • 例 1:求下列幂级数的收敛域:(1) ∑n=1∞(x−1)nn\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(x-1)^n}{n};(2) ∑n=1∞(−1)n−1x2n−12n(2n−1)\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2^n(2n-1)}。
  • 缺项幂级数:不能(直接对系数)用比值法求收敛半径!

二、Abel 定理

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  • Abel 第 I 定理:设 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n 在 x1(≠0)x_1(\ne 0) 收敛,则 ∣x∣<∣x1∣|x|<|x_1| 时绝对收敛;若 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n 在 x2x_2 发散,则 ∣x∣>∣x2∣|x|>|x_2| 时发散。
  • 例 2:设 ∑n=0∞an(x−1)n\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n 在 x=−1x=-1 条件收敛,求其收敛半径。
  • 结论:幂级数的条件收敛点(若存在)到中心的距离即为收敛半径。
  • Abel 第 II 定理:设 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n 收敛半径为 r(>0)r(>0),则它在 (−r,r)(-r,r) 内闭一致收敛;若 x=rx=r 时收敛,则它在 [0,r][0,r] 一致收敛,从而在 (−r,r](-r,r] 内闭一致收敛。
  • 思考:后一情形(x=rx=r 收敛)能否用 W-判别法?试一试:x=−rx=-r 收敛的情形。
  • 注:内闭一致收敛性是幂级数的特性,一般函数项级数未必具有。考察例子 ∑n=0∞nx1+n4x4\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{nx}{1+n^4x^4}。

三、幂级数的分析性质

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  • 定理(三级数同半径):幂级数 ∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n 与其导数级数 ∑n=1∞nanxn−1\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} 和积分级数 ∑n=0∞ann+1xn+1\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1} 的收敛半径相等。
  • 注意:三个级数在端点的收敛性未必相同。如:
级数收敛域
∑n=1∞xn−1n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n-1}}{n} D=[−1,1)D=[-1,1)
导数级数 ∑n=2∞(n−1)xn−2n\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{(n-1)x^{n-2}}{n} D′=(−1,1)D'=(-1,1)
积分级数 ∑n=1∞xnn2\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n^2} D1=[−1,1]D_1=[-1,1]
  • 定理(和函数的分析性质):设 f(x)=∑n=0∞anxn, x∈(−r,r)f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\ x\in(-r,r),则:
    1. f(x)∈C(−r,r)f(x)\in C(-r,r)(连续);
    2. f(x)∈D(−r,r)f(x)\in D(-r,r)(可导),且可逐项求导,即 ∀x∈(−r,r)\forall x\in(-r,r):
f′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=0∞(anxn)′=∑n=1∞nanxn−1;f'(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1};
  1. 可逐项积分,即 ∀x∈(−r,r)\forall x\in(-r,r):
∫0xf(t) dt=∫0x(∑n=0∞antn)dt=∑n=0∞∫0xantn dt=∑n=0∞ann+1xn+1.\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^x\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\right)\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x a_nt^n\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}.
  • Abel 第 III 定理:设 f(x)=∑n=0∞anxn, x∈(−r,r]f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\ x\in(-r,r](即端点 x=rx=r 处也收敛),则 f(x)f(x) 在 x=rx=r 处左连续,即
lim⁡x→r−∑n=0∞anxn=∑n=0∞anrn.\lim_{x\to r^-}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nr^n.
  • 问题:若 lim⁡x→r−f(x)=lim⁡x→r−∑n=0∞anxn=S\lim\limits_{x\to r^-}f(x)=\lim\limits_{x\to r^-}\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=S,能否得出 ∑n=0∞anrn\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nr^n 收敛?考察例子 11+x=∑n=0∞(−1)nxn, x∈(−1,1)\dfrac{1}{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,\ x\in(-1,1)。
  • 该例中 x→1−x\to 1^- 时 11+x→12\dfrac{1}{1+x}\to\dfrac{1}{2} 存在,但 ∑(−1)n\sum(-1)^n 在 x=1x=1 处发散,故 Abel 第 III 定理的逆不成立。
  • 例 3:求下列幂级数的和函数:(1) ∑n=1∞xnn\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n};(2) ∑n=1∞n2xn−1\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^2x^{n-1};(3) ∑n=0∞xnn!\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}。

14.4 函数的幂级数展开

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一、Taylor 级数

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  • 定义(Taylor 级数 / Maclaurin 级数):设 f(x)f(x) 在 x0x_0 无穷次可导,则称
f(x)∼∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)\sim\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

为 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的 Taylor 级数;x0=0x_0=0 时称为 Maclaurin 级数。

  • 注意:记号 "∼\sim" 的含义?能否换为 "=="?(Taylor 级数未必收敛于 f(x)f(x),见例 1。)
  • 例 1:求下列函数的 Maclaurin 级数,并考查其和函数 S(x)S(x) 与 f(x)f(x) 的关系: (1) f(x)={e−1/x2,x≠0,0,x=0;f(x)=\begin{cases}\mathrm{e}^{-1/x^2},&x\ne 0,\\ 0,&x=0;\end{cases} (2) f(x)=∑n=0∞sin⁡(2nx)n!f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{\sin(2^nx)}{n!}。
  • 问题:f(x)f(x) 满足何条件时,其 Taylor 级数收敛于 f(x)f(x)?
  • 回顾 Taylor 公式:
f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x).f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x).
  • 定理 1(收敛于 ff 的充要条件):设 f∈C(∞)(I)f\in C^{(\infty)}(I),其中 I=(x0−r, x0+r)I=(x_0-r,\ x_0+r),则在 II 上
f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n   ⟺   lim⁡n→∞Rn(x)=0.f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\ \iff\ \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0.
  • 注:由于计算 lim⁡n→∞Rn(x)\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) 困难,为此介绍下面的定理 2。
  • 定理 2(导数一致有界的充分条件):设 f∈C(∞)(I)f\in C^{(\infty)}(I),且 ∀n∈N\forall n\in\mathbb{N},∀x∈I\forall x\in I:∣f(n)(x)∣≤M|f^{(n)}(x)|\le M,则
f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n(∀x∈I).f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\quad(\forall x\in I).
  • 问题:若 f(x)f(x) 在 II 上是某幂级数的和函数,则该幂级数与其 Taylor 级数有何关系?
  • 定理 3(唯一性):若 f(x)=∑n=0∞an(x−x0)n, x∈(x0−r,x0+r)f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,\ x\in(x_0-r,x_0+r)(此时称 f(x)f(x) 在 x0x_0 处可展开为幂级数),则必有
an=f(n)(x0)n!.a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.

即该幂级数就是 f(x)f(x) 在 x0x_0 处的 Taylor 级数。

二、初等函数的幂级数展开式

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  • 基本展开式:
展开式成立范围
ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+⋯=∑n=0∞xnn!\mathrm{e}^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} x∈Rx\in\mathbb{R}
sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+⋯\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots x∈Rx\in\mathbb{R}
cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯+(−1)nx2n(2n)!+⋯\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots x∈Rx\in\mathbb{R}
ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots −1<x≤1-1<x\le 1
(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+⋯(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots −1<x<1-1<x<1
  • 问题:(1+x)α(1+x)^{\alpha} 展开式端点情形如何?特别地,有:
11−x=1+x+x2+⋯+xn+⋯=∑n=0∞xn(−1<x<1);\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\quad(-1<x<1); 11−x=1+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!xn(−1≤x<1). (c.f. §14.3 例 7)\frac{1}{\sqrt{1-x}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n\quad(-1\le x<1).\ \text{(c.f. §14.3 例 7)}
  • 例 2:将下列函数在 x0=0x_0=0 展成幂级数:1) arctan⁡x\arctan x;2) arcsin⁡x\arcsin x。

三、函数的幂级数展开方法

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  • 直接法:先求 f(n)(x0)f^{(n)}(x_0),再利用 Taylor 公式。
  • 间接法:利用已知的幂级数展开式,再结合变量代换、逐项可导、逐项可积性。
  • 例 3:将下列函数在 x0x_0 处展成幂级数:1) xx2−2x−3\dfrac{x}{x^2-2x-3},x0=2x_0=2;2) 1x2\dfrac{1}{x^2},x0=1x_0=1。
  • 例 4:设函数 f(x)=∑n=0∞(−1)n(n!)2(x−1)nf(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(n!)^2}(x-1)^n,求级数 ∑n=0∞f(n)(1)\sum\limits_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(1) 的和。
  • Ex.:设 f(x)=xex2f(x)=x\mathrm{e}^{x^2},求 f(n)(0) (n=0,1,2,⋯ )f^{(n)}(0)\ (n=0,1,2,\cdots)。
  • 例 5(考研试题):设 y(x)=∑n=0∞anxny(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n 适合 y(0)=0, y′(0)=1y(0)=0,\ y'(0)=1 和 y′′−2xy′−4y=0y''-2xy'-4y=0:
    1. 证明 an+2=2n+1an, n∈Na_{n+2}=\dfrac{2}{n+1}a_n,\ n\in\mathbb{N};2) 求 y(x)y(x) 的表达式。
  • 例 4、Ex 体现的一般方法:利用 Taylor 系数唯一性 an=f(n)(x0)n!a_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!},由已知展开式的系数反求各阶导数 f(n)(x0)=n! anf^{(n)}(x_0)=n!\,a_n。

四、Stirling 公式

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  • 引理(Wallis)(已证):
π2=lim⁡n→∞12n+1((2n)!!(2n−1)!!)2.\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2.
  • 定理 4(Stirling 公式)(课件中作为证明任务给出):
n!=2nπ(ne)neθn12n(0<θn<1).n!=\sqrt{2n\pi}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\mathrm{e}^{\frac{\theta_n}{12n}}\quad(0<\theta_n<1).
  • 例 6:求极限 lim⁡n→∞nn!n\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}。
  • Ex.:讨论级数 ∑n=1∞n! ennn+p (p∈R)\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!\,\mathrm{e}^n}{n^{n+p}}\ (p\in\mathbb{R}) 的敛散性。
  • Euler 公式:利用幂级数可导出
eix=cos⁡x+isin⁡x.\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x.

取 x=πx=\pi:eiπ=−1 ⇒ eiπ+1=0\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1\ \Rightarrow\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0(数学中"最美"等式)。