线性代数预备知识（第1-5讲）

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关键考点总览（本部分速记）

1. ⭐ 数域的定义：包含0、1，对加减乘除封闭的数集
2. ⭐ 复数的三角形式：$Z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
3. ⭐ 棣莫弗公式：$Z^n = r^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)$
4. ⭐ 多项式带余除法：$p(x) = s(x) \times q(x) + r(x)$，其中 $\deg r(x) < \deg s(x)$ 或 $r(x) = 0$
5. ⭐ 韦达定理（根与系数关系）：根之和与积与系数的关系
6. ⭐ 求和符号交换次序：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}$
7. ⭐ 方程组/矩阵的初等变换：三种基本变换
8. ⭐ 矩阵秩的多重理解：8种等价表述
9. 常见反例：正整数、整数不构成数域

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第1讲：概述

(1) 课程核心思想

• 线性代数的核心：研究"变"与"不变"的关系 [来源：p11, p23, p25]
• 变：通过初等变换改变方程组/矩阵的形式 [来源：p21-22]
• 不变：在变换过程中保持不变的性质和量 [来源：p23-24]

(2) 方程组的初等变换

方程组的初等变换包含三种操作：[来源：p21，红框标注]

1. 交换两个方程的位置
2. 一个方程的两端同乘以一个不等于0的数
3. 一个方程的两端同乘以一个数以后加至另一个方程的两端

(3) 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换包含三种操作：[来源：p22，红框标注]

1. 交换矩阵的两行
2. 矩阵的一行同乘以一个不等于0的数
3. 矩阵的一行乘以一个数以后加至矩阵的另一行

(4) ⭐ 矩阵的秩——不变量的核心概念

矩阵的秩是初等变换下的不变量，有以下等价理解：[来源：p24，框图总结]

角度	等价表述
方程组角度	方程组自由未知量个数
行列式角度	矩阵所包含的阶数最大的行列式非0的子式
向量组角度	向量组中极大线性无关组所含向量的个数
线性空间角度	线性空间维数
行空间角度	矩阵行空间维数
列空间角度	矩阵列空间维数
零空间角度	矩阵零空间维数（与秩互补）
特征值角度	可对角化矩阵非零特征值个数（记重数）
二次型角度	对称矩阵正惯性指数与负惯性指数之和

(5) 分类与标准形

• 通过"变"得到"标准形"，用于分类 [来源：p25]
• 初等变换下的标准形、相似变换下的标准形、合同变换下的标准形 [来源：p27]

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第2讲：复数介绍

(1) 定义

• 虚数单位：$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$ [来源：p2]

• 复数的概念：形如 $a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，叫做复数，写作 $Z = a + bi$ [来源：p2]

  • $a$ 称为实部 (Re $Z$)
  • $b$ 称为虚部 (Im $Z$)

• 复数集：全体复数的集合，叫做复数集，用 $\mathbb{C}$ 表示 [来源：p2]

• 复数的分类判定：[来源：p3]

  • $a + bi$ 是实数 $\Leftrightarrow$ $b = 0$
  • $a + bi$ 是虚数 $\Leftrightarrow$ $b \neq 0$
  • $a + bi$ 是纯虚数 $\Leftrightarrow$ $a = 0$ 且 $b \neq 0$

(2) 复数的几何表示

• 复数的模：$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，几何意义为复平面上点到原点的距离（线段OA的长度）[来源：p5]

• 复数的幅角：$\theta + 2k\pi$，$k$ 为整数 [来源：p5]

• 复数幅角的主值：$\theta$ 是复数 $Z$ 的一个幅角，且 $0 \leq \theta < 2\pi$ [来源：p5]

(3) ⭐ 复数的三角形式

$$Z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

其中 $r$ 是复数 $Z$ 的模，$\theta$ 是复数 $Z$ 的幅角。[来源：p6]

(4) 定理/命题

复数的乘法（代数形式）

已知 $Z_1 = a + bi$，$Z_2 = c + di$，那么：[来源：p7]

$$Z_1 Z_2 = ac - bd + (ad + bc)i$$

推导过程：

$$Z_1 Z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac - bd + (ad + bc)i$$

复数的乘法（三角形式）

已知 $Z_1 = r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)$，$Z_2 = r_2(\cos\beta + i\sin\beta)$，那么：[来源：p8]

$$Z_1 Z_2 = r_1 r_2(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta))$$

几何意义：两复数相乘，模相乘，幅角相加。【整理自PPT】

⭐ 棣莫弗公式（De Moivre's Formula）

若 $Z_1 = r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)$，则：[来源：p9]

$$Z_1^n = r_1^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)$$

n次单位根

解复数方程 $Z^n = 1$：[来源：p10]

设 $Z = r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$，那么 $Z^n = r^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)$

注意到 $1 = \cos 0 + i\sin 0$，我们有 $r = 1$ 且 $\cos n\alpha = 1 = \cos 0$

这样 $n\alpha = 0 + 2k\pi$，得到 $\alpha = \dfrac{2k\pi}{n}$，$k = 0, 1, \ldots, n-1$

所以 n次单位根为：

$$Z = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$

[来源：p10]

(5) 复数的共轭

• 共轭复数的定义：已知 $Z = a + bi$，称复数 $a - bi$ 为复数 $Z$ 的共轭，记作 $\bar{Z}$ [来源：p11]

$$\bar{Z} = a - bi$$

• 共轭的性质：已知 $Z_1 = a + bi$，$Z_2 = c + di$，那么：[来源：p12]

$$\overline{Z_1 Z_2} = \bar{Z_1} \cdot \bar{Z_2}$$

即：两复数乘积的共轭等于共轭的乘积。

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第3讲：多项式介绍

(1) 定义

整数的带余除法

若 $p$ 和 $s$ 是非负整数，$s \neq 0$，那么存在非负整数 $q$ 和 $r$ 使得：[来源：p4]

$$p = s \times q + r, \quad 0 \leq r < s$$

其中：$p$ 是被除数，$s$ 是除数，$q$ 是商，$r$ 是余数。

⭐ 多项式的带余除法

若 $p(x)$ 和 $s(x)$ 是系数在数域 $F$ 上的多项式，$s(x) \neq 0$，那么存在多项式 $q(x)$ 和 $r(x)$，使得：[来源：p6]

$$p(x) = s(x) \times q(x) + r(x)$$

其中 $0 \leq r(x)$ 的次数 $< s(x)$ 的次数，或者 $r(x) = 0$

示例：$x^3 - 2x^2 + x - 4 = (x^2 - 3x + 2)(x + 1) + 2x - 6$ [来源：p6，虚线框示例]

(2) 定理/命题

复数域上多项式的根分解

若 $p(x)$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的次数为 $m$ 的多项式，那么 $p(x)$ 可唯一分解为：[来源：p7]

$$p(x) = c(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_m)$$

其中 $c, x_1, x_2, \ldots, x_m$ 都是复数。

⭐ 韦达定理（根与系数的关系）

若 $p(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0$ 为系数在复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $m$ 次多项式，$a_m \neq 0$，$x_1, x_2, \ldots, x_m$ 是 $p(x)$ 的 $m$ 个根，那么：[来源：p8]

根之和：

$$x_1 + x_2 + \cdots + x_m = -\frac{a_{m-1}}{a_m}$$

根之积：

$$x_1 x_2 \cdots x_m = (-1)^m \frac{a_0}{a_m}$$

韦达定理的推导

由 $p(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0$ 可知：[来源：p9]

• $p(0) = a_0$（常数项）

由 $p(x) = a_m(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_m)$ 可知：

$$p(0) = a_m(0 - x_1)(0 - x_2)\cdots(0 - x_m) = (-1)^m a_m x_1 x_2 \cdots x_m$$

因此：$a_0 = (-1)^m a_m x_1 x_2 \cdots x_m$

整理得：$x_1 x_2 \cdots x_m = (-1)^m \dfrac{a_0}{a_m}$ [来源：p9]

类似地，对于 $x^{m-1}$ 项系数：[来源：p11]

$p(x)$ 中 $x^{m-1}$ 项系数为：$a_{m-1}$

展开 $a_m(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_m)$ 后，$x^{m-1}$ 项系数为：$a_m(-x_1 - x_2 - \cdots - x_m)$

因此：$a_{m-1} = -a_m(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)$

整理得：$x_1 + x_2 + \cdots + x_m = -\dfrac{a_{m-1}}{a_m}$

(3) 本讲重点

• 多项式的带余除法 [来源：p13，重点标注]
• 多项式根与系数的关系（韦达定理）[来源：p13，重点标注]

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第4讲：求和符号与求乘积符号介绍

(1) 定义

求和符号 $\sum$

求和符号的结构：[来源：p2]

$$\sum_{i=1}^{n} i^2$$

• 下方：变量和变量的范围（$i=1$）
• 上方：变量的上界（$n$）
• 右侧：求和项的表达式（$i^2$）

含义：将满足条件的所有项加起来 [来源：p3]

$$\sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2$$

求乘积符号 $\prod$

求乘积符号的结构：[来源：p11]

$$\prod_{i=1}^{n}(2i+1)$$

• 下方：变量和变量的范围（$i=1$）
• 上方：变量的上界（$n$）
• 右侧：乘积项的表达式（$2i+1$）

含义：将满足条件的所有项乘起来

$$\prod_{i=1}^{n}(2i+1) = 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times (2n+1)$$

【整理自PPT】

(2) 重要性质

双重求和

对于 $n \times n$ 矩阵元素 $a_{ij}$（$i, j = 1, 2, \ldots, n$）：[来源：p5-6]

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = \text{将全部 } n^2 \text{ 个数加起来}$$

按行求和：先对每行求和，再将各行和相加 [来源：p6]

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = \sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\right) = \sum_{i=1}^{n}(a_{i1} + a_{i2} + \cdots + a_{in})$$

按列求和：先对每列求和，再将各列和相加 [来源：p7]

$$\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\right)$$

⭐ 求和次序可交换

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}$$

[来源：p8]

理解：无论按行求和还是按列求和，最终结果相同（都是将所有 $n^2$ 个元素加起来）。【整理自PPT】

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第5讲：数域的概念

(1) 定义

运算封闭

设 $F$ 是一个数集，若 $F$ 中任意两个数作某种运算的结果仍在 $F$ 中，称 $F$ 对这种运算封闭。[来源：p4]

⭐ 数域

设 $F$ 是包含 0、1 的数集，若 $F$ 中元素的和、差、积、商（0不做除数）的结果仍在 $F$ 中，即 $F$ 对这几种运算封闭，则称 $F$ 为一个数域。[来源：p4，红色标注]

数域的特点总结

一个数域具有以下特点：[来源：p3]

• 一个集合：非空数集
• 两种运算：加法和乘法（差由加法导出，商由乘法导出）
• 四个规律：对加减乘除四则运算封闭

【整理自PPT】

(2) 常见数域

• 有理数域 $\mathbb{Q}$：所有有理数组成的集合 [来源：p2]
• 实数域 $\mathbb{R}$：所有实数组成的集合 [来源：p2]
• 复数域 $\mathbb{C}$：所有复数组成的集合 [来源：p2]

(3) 数系的包含关系

$$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

【整理自PPT，由 p4 数域定义推得】

(4) 反例与易错点

• 所有的正整数不构成数域：因为对减法不封闭（如 $1 - 2 = -1 \notin$ 正整数），对除法不封闭（如 $1 \div 2 = 0.5 \notin$ 正整数），且不包含 0 [来源：p5]

• 所有整数不构成数域：因为对除法不封闭（如 $1 \div 2 = 0.5 \notin$ 整数）[来源：p5]

(5) 判定数域的常用技巧

验证一个数集 $F$ 是否为数域，需检验：【整理自PPT】

1. $F$ 包含 0 和 1
2. $F$ 对加法封闭：$\forall a, b \in F$，有 $a + b \in F$
3. $F$ 对减法封闭：$\forall a, b \in F$，有 $a - b \in F$
4. $F$ 对乘法封闭：$\forall a, b \in F$，有 $a \times b \in F$
5. $F$ 对除法封闭：$\forall a, b \in F$，$b \neq 0$，有 $a \div b \in F$

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附录：重要公式速查表

复数公式

公式名称	公式	来源
虚数单位	$i^2 = -1$	p2
复数模	$\|Z\| = \sqrt{a^2 + b^2}$	p5
三角形式	$Z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$	p6
乘法（代数）	$(a+bi)(c+di) = ac-bd + (ad+bc)i$	p7
乘法（三角）	$Z_1Z_2 = r_1r_2[\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)]$	p8
棣莫弗公式	$Z^n = r^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)$	p9
n次单位根	$Z_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}$	p10
共轭	$\overline{a+bi} = a-bi$	p11
共轭乘积	$\overline{Z_1Z_2} = \bar{Z_1}\cdot\bar{Z_2}$	p12

多项式公式

公式名称	公式	来源
带余除法	$p(x) = s(x) \times q(x) + r(x)$	p6
根分解	$p(x) = c(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_m)$	p7
根之和	$\sum x_i = -\frac{a_{m-1}}{a_m}$	p8
根之积	$\prod x_i = (-1)^m\frac{a_0}{a_m}$	p8

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本知识集锦严格基于课程PPT内容整理，标注【整理自PPT】的内容为基于原文的归纳整理。