第7章 广义积分

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关键考点总览

1. 无穷积分与瑕积分的定义及收敛/发散判定
2. p-积分的敛散性结论（无穷积分：$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散；瑕积分：$p<1$ 收敛，$p\ge 1$ 发散）
3. Cauchy准则（收敛的充要条件）
4. 比较判别法（不等式形式与极限形式）
5. p-判别法的应用
6. Abel判别法与Dirichlet判别法
7. 绝对收敛与条件收敛的定义及关系
8. 典型积分：Dirichlet积分、Fresnel积分、Beta函数、Gamma函数、Euler积分
9. 广义积分的换元法与分部积分法
10. 收敛、绝对收敛与平方收敛的关系

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§7-1 无穷积分

一、基本概念

1. 定义

• 广义积分（反常积分）：不满足定积分两个条件之一的积分，即区间无限或被积函数无界。包含无穷积分（区间无限）和瑕积分（被积函数无界）。[来源：§7-1 p2]

• 常义积分：相对广义积分而言，定积分也称为常义积分。[来源：§7-1 p2]

• 无穷积分定义：设 $f: [a, +\infty) \to \mathbf{R}$，且 $\forall A > a$，$f \in R[a, A]$，称形式积分 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 为 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上的无穷积分。若 $\lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x)\mathrm{d}x = I$（$I$ 为有限实数），则称 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且其值定义为

$$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x)\mathrm{d}x = I$$

若上述极限不存在或为 $\pm\infty$，则称 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散。[来源：§7-1 p5，定义]

• 收敛的 $\varepsilon$-$A$ 语言：$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = I$ 即 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists A_0 > a$，$\forall A > A_0$：

$$\left| \int_a^A f(x)\mathrm{d}x - I \right| = \left| \int_A^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x \right| < \varepsilon$$

[来源：§7-1 p6]

• $(-\infty, b]$ 上的无穷积分：$\int_{-\infty}^b f(x)\mathrm{d}x \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{B \to -\infty} \int_B^b f(x)\mathrm{d}x$。[来源：§7-1 p6]

• $(-\infty, +\infty)$ 上的无穷积分：设 $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$，若 $\exists a \in \mathbf{R}$，使 $\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x$ 和 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 同时独立收敛，则称 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且其值为

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x \stackrel{\text{def}}{=} \int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x + \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$$

[来源：§7-1 p6，定义]

• 主值收敛：若 $\lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^A f(x)\mathrm{d}x = I$，则称 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 依主值收敛，记为 $V.P.\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = I$。[来源：§7-1 p7]

2. 重要结论

• 可加性：对 $\forall c > a$，$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_c^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 同敛散，收敛时

$$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$$

[来源：§7-1 p7，可加性]

• 收敛与主值收敛的关系：收敛 $\Rightarrow$ 主值收敛，反之不然。【整理自 PPT】

3. 典型积分结论

• p-积分：$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^p}$ 的敛散性：

  • 当 $p > 1$ 时，收敛
  • 当 $p \leq 1$ 时，发散

  [来源：§7-1 例1]

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二、无穷积分的性质与计算

1. 线性性

• 线性性1：$\forall c \neq 0$，$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_a^{+\infty} cf(x)\mathrm{d}x$ 同敛散，收敛时

$$\int_a^{+\infty} cf(x)\mathrm{d}x = c\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$$

[来源：§7-1 p9，线性性1]

• 线性性2：若 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则有

$$\int_a^{+\infty} [f(x) \pm g(x)]\mathrm{d}x = \int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x \pm \int_a^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$$

[来源：§7-1 p9，线性性2]

2. 计算方法

• Newton-Leibniz公式：若 $f \in C[a, +\infty)$，且 $F'(x) = f(x)$（$F$ 为 $f$ 的一个原函数），则

$$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = \lim_{A \to +\infty}\int_a^A f(x)\mathrm{d}x = \lim_{A \to +\infty}\big(F(A)-F(a)\big)$$

（若上述极限存在且有限，则积分收敛；否则发散。） [来源：§7-1 p9，N-L公式]

• 分部积分法：设 $u, v \in C^{(1)}[a, +\infty)$。若 $\lim_{A \to +\infty}u(A)v(A)$ 存在且有限，并且 $\int_a^{+\infty} u(x)v'(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_a^{+\infty} u'(x)v(x)\mathrm{d}x$ 均收敛，则有

$$\int_a^{+\infty} u(x)v'(x)\mathrm{d}x = u(x)v(x)\Big|_a^{+\infty} - \int_a^{+\infty} u'(x)v(x)\mathrm{d}x$$

[来源：§7-1 p10，分部积分法]

• 换元积分法：设 $f \in C[a, +\infty)$，$x = \varphi(t) \in C^{(1)}[\alpha, \beta)$，且 $\varphi$ 在 $[\alpha,\beta)$ 上严格单调、$\varphi(\alpha) = a$、$\lim_{t \to \beta^-} \varphi(t) = +\infty$，则有

$$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t$$

[来源：§7-1 p10，换元积分法]

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三、无穷积分敛散性判别

1. Cauchy准则

• Cauchy准则（充要条件）：$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\Leftrightarrow$

$$\forall \varepsilon > 0, \exists A > a, \forall A', A'' > A: \left| \int_{A'}^{A''} f(x)\mathrm{d}x \right| < \varepsilon$$

[来源：§7-1 p11，Cauchy准则]

• 发散的Cauchy准则：$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散 $\Leftrightarrow$ $\exists \varepsilon_0 > 0$，$\forall A > a$，$\exists A', A'' > A$：$\left| \int_{A'}^{A''} f(x)\mathrm{d}x \right| \geq \varepsilon_0$。【非 PPT 直接给出，由Cauchy准则取否定得】

2. 非负函数无穷积分判别法

• 收敛原理：设 $f(x) \geq 0$，则 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $F(A) = \int_a^A f(x)\mathrm{d}x$ 在 $[a, +\infty)$ 有上界。[来源：§7-1 p12，收敛原理]

• 比较判别法（不等式形式）：设 $g(x) \geq f(x) \geq 0$，则

  • (1) $\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  • (2) $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散 $\Rightarrow$ $\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 发散

  [来源：§7-1 p12，比较判别法]

• 比较判别法（极限形式）：设 $f(x) \geq 0$，$g(x) > 0$，且 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l$，则

  • (1) 当 $0 < l < +\infty$ 时，$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 同敛散
  • (2) 当 $l = 0$ 时，$\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  • (3) 当 $l = +\infty$ 时，$\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 发散 $\Rightarrow$ $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散

  [来源：§7-1 p13，极限形式]

• p-判别法：设 $f(x) \geq 0$，且 $\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = l$，则

  • (1) 当 $0 \leq l < +\infty$，且 $p > 1$ 时，$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  • (2) 当 $0 < l \leq +\infty$，且 $p \leq 1$ 时，$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 发散
  • (3) 其余情形（如 $p \leq 1$ 且 $l=0$，或 $p>1$ 且 $l=+\infty$）该判别法不能直接判定，需要另用比较法或更精细估计

  [来源：§7-1 p14，p-判别法]

3. 绝对收敛与条件收敛

• 绝对收敛定义：若 $\int_a^{+\infty} |f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，则称 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛。[来源：§7-1 p15，定义]

• 条件收敛定义：若 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，但 $\int_a^{+\infty} |f(x)|\mathrm{d}x$ 发散，则称 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 条件收敛。[来源：§7-1 p15，定义]

• 定理11：若 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛，则 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。[来源：§7-1 p15，定理11]

• 命题：若 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$，$\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 绝收，则 $\int_a^{+\infty} [f(x) + g(x)]\mathrm{d}x$ 绝收。[来源：§7-1 p15，命题]

4. A-D判别法

• Abel判别法：若 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，$g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 单调有界，则 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 收敛。[来源：§7-1 p16，Abel]

• Dirichlet判别法：若 $F(A) = \int_a^A f(x)\mathrm{d}x$ 在 $[a, +\infty)$ 有界，$g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 单调且 $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$，则 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 收敛。[来源：§7-1 p16，Dirichlet]

• 积分第二中值定理：设 $f \in R[a, b]$，$g$ 在 $[a, b]$ 上单调，则 $\exists \xi \in [a, b]$ 使得

$$\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x = g(a)\int_a^\xi f(x)\mathrm{d}x + g(b)\int_\xi^b f(x)\mathrm{d}x$$

[来源：§7-1 p16，积分第二中值定理]

5. 典型积分

• Dirichlet积分：$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 收敛（条件收敛）。[来源：§7-1 例6，例9]

• Fresnel积分：$\int_0^{+\infty} \sin(x^2)\mathrm{d}x$ 条件收敛。[来源：§7-1 例10]

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§7-2 瑕积分

一、基本概念

1. 定义

• 瑕点：使被积函数无界的点。【整理自 PPT】

• 瑕积分定义（$b$ 为瑕点）：设 $f: [a, b) \to \mathbf{R}$，且 $b$ 是 $f$ 的瑕点。若 $\forall \varepsilon > 0$，$f \in R[a, b-\varepsilon]$，称形式积分 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 为 $f$ 在 $[a, b)$ 上的瑕积分。若

$$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)\mathrm{d}x = I\ (\text{有限实数})$$

则称 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且其值定义为

$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)\mathrm{d}x = I$$

若上述极限不存在或为 $\pm\infty$，则称 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 发散。[来源：§7-2 p19，定义]

• $a$ 为瑕点时的定义：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \stackrel{\text{def}}{=} \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\mathrm{d}x$。[来源：§7-2 p20]

• $c \in (a, b)$ 为瑕点时的定义：

$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \stackrel{\text{def}}{=} \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\mathrm{d}x$$

当且仅当右端同时独立收敛时，称左端收敛。[来源：§7-2 p20]

2. 典型积分结论

• p-积分（瑕积分）：$\int_a^b \frac{\mathrm{d}x}{(b-x)^p}$（$a < b$，$p > 0$，$b$ 为瑕点）的敛散性：

  • 当 $p < 1$ 时，收敛
  • 当 $p \geq 1$ 时，发散

  [来源：§7-2 例1]

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二、瑕积分的性质与计算

1. 计算方法

• 分部积分法：设 $u, v \in C^{(1)}[a, b)$。若 $\lim_{x \to b^-}u(x)v(x)$ 存在且有限，并且 $\int_a^b u(x)v'(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_a^b u'(x)v(x)\mathrm{d}x$ 均收敛，则有

$$\int_a^b u(x)v'(x)\mathrm{d}x = u(x)v(x)\Big|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\mathrm{d}x$$

[来源：§7-2 p21，分部积分法]

• 换元积分法：设 $f \in C[a, b)$，$x = \varphi(t) \in C^{(1)}[\alpha, \beta)$，且 $\varphi$ 在 $[\alpha,\beta)$ 上严格单调、$\varphi(\alpha) = a$、$\lim_{t \to \beta^-} \varphi(t) = b$，则有

$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t$$

[来源：§7-2 p21，换元积分法]

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三、瑕积分敛散性判别

1. Cauchy准则

• Cauchy准则（$b$ 为瑕点）：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\Leftrightarrow$

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x', x'' \in (b-\delta, b): \left| \int_{x'}^{x''} f(x)\mathrm{d}x \right| < \varepsilon$$

[来源：§7-2 p22，Cauchy准则]

2. 非负函数瑕积分判别法

• 收敛原理：设 $f(x) \geq 0$，则 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $F(A) = \int_a^A f(x)\mathrm{d}x$ 在 $[a, b)$ 有上界。[来源：§7-2 p22，收敛原理]

• 比较判别法（不等式形式）：设 $g(x) \geq f(x) \geq 0$，则

  • (1) $\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  • (2) $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 发散 $\Rightarrow$ $\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$ 发散

  [来源：§7-2 p23，比较判别法]

• 比较判别法（极限形式）：设 $f(x) \geq 0$，$g(x) > 0$，且 $\lim_{x \to b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = l$，则

  • (1) 当 $0 < l < +\infty$ 时，$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 与 $\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$ 同敛散
  • (2) 当 $l = 0$ 时，$\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  • (3) 当 $l = +\infty$ 时，$\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$ 发散 $\Rightarrow$ $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 发散

  [来源：§7-2 p23，极限形式]

• p-判别法：设 $f(x) \geq 0$，且 $\lim_{x \to b^-} (b-x)^p f(x) = l$，则

  • (1) 当 $0 \leq l < +\infty$，且 $p < 1$ 时，$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
  • (2) 当 $0 < l \leq +\infty$，且 $p \geq 1$ 时，$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 发散
  • (3) 其余情形（如 $p \geq 1$ 且 $l=0$，或 $p<1$ 且 $l=+\infty$）该判别法不能直接判定，需要另用比较法或更精细估计

  [来源：§7-2 p24，p-判别法]

3. 绝对收敛与条件收敛

• 绝对收敛定义：若 $\int_a^b |f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，则称 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛。[来源：§7-2 p25，定义]

• 条件收敛定义：若 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，但 $\int_a^b |f(x)|\mathrm{d}x$ 发散，则称 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 条件收敛。[来源：§7-2 p25，定义]

• 定理：若 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛，则 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。[来源：§7-2 p25，定理]

4. A-D判别法

• Abel判别法：若 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，$g$ 在 $[a, b)$ 单调有界，则 $\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 收敛。[来源：§7-2 p26，Abel]

• Dirichlet判别法：若 $F(A) = \int_a^A f(x)\mathrm{d}x$ 在 $[a, b)$ 有界，$g$ 在 $[a, b)$ 单调且 $\lim_{x \to b^-} g(x) = 0$，则 $\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 收敛。[来源：§7-2 p26，Dirichlet]

5. 典型函数/积分

• Beta函数：$B(p, q) \stackrel{\text{def}}{=} \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\mathrm{d}x$，当 $p > 0$ 且 $q > 0$ 时收敛。[来源：§7-2 例5]

• Gamma函数：$\Gamma(\alpha) \stackrel{\text{def}}{=} \int_0^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}\mathrm{d}x$，当 $\alpha > 0$ 时收敛。[来源：§7-2 例6]

• Euler积分：$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\sin x\,\mathrm{d}x$ 收敛，其值为 $-\frac{\pi}{2}\ln 2$。[来源：§7-2 例7]

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渐进性态与重要结论

一、收敛与极限的关系

• 问题：若 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，能否导出 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$？

• 答案：否。若 $f$ 非负连续也是"否"，$f$ 可以无界。[来源：§7-2 p27]

• 定理：设 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，且 $f$ 满足下列四条件之一，则 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$：

  • (1) $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上单调
  • (2) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在
  • (3) $f \in U.C[a, +\infty)$（一致连续）
  • (4) $f'$ 在 $[a, +\infty)$ 上有界

  [来源：§7-2 p27，定理]

二、收敛、绝对收敛与平方收敛的关系

• 无穷积分：

  • 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛，反之不然
  • （除“绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛”外）收敛与平方收敛无关；绝对收敛与平方收敛也无关

  [来源：§7-2 p28，结论]

• 瑕积分：

  • 平方收敛 $\Rightarrow$ 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛，反之不然

  [来源：§7-2 p28，结论]

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判别法对比总结

判别法	无穷积分条件	瑕积分条件
p-判别法收敛	$\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = l$，$0 \leq l < +\infty$，$p > 1$	$\lim_{x \to b^-} (b-x)^p f(x) = l$，$0 \leq l < +\infty$，$p < 1$
p-判别法发散	$\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = l$，$0 < l \leq +\infty$，$p \leq 1$	$\lim_{x \to b^-} (b-x)^p f(x) = l$，$0 < l \leq +\infty$，$p \geq 1$
p-积分收敛	$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$：$p > 1$	$\int_a^b \frac{1}{(b-x)^p}\mathrm{d}x$：$p < 1$

【整理自 PPT】

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易错点与概念辨析

1. 收敛 vs 主值收敛：收敛 $\Rightarrow$ 主值收敛，但主值收敛 $\not\Rightarrow$ 收敛（如 $\int_{-\infty}^{+\infty} x\mathrm{d}x$ 主值收敛为0，但发散）。

2. $(-\infty, +\infty)$ 上积分的收敛：必须两部分同时独立收敛，不能用主值收敛代替。

3. p-判别法临界值：无穷积分临界值为 $p = 1$（$p > 1$ 收敛），瑕积分临界值也为 $p = 1$（$p < 1$ 收敛），方向相反。

4. 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛一定收敛，条件收敛则不绝对收敛。

5. Dirichlet积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 是条件收敛的典型例子。

6. 瑕积分中的平方收敛：与无穷积分不同，瑕积分中平方收敛 $\Rightarrow$ 绝对收敛。