# 大学物理 第4章 功和能 · 速览版 > Arietids Learn · 个人课程复习笔记 > 在线阅读：https://learn.arietids.net/courses/physics/chapter-04-quick/ ## §4.1 动能定理与功 ### 质点的动能定理 - 推导前提：不考虑相对论效应，$m$ 为常量，取 $\vec F=m\dfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}$。 - 核心微分关系（$\tfrac12mv^2$ 即动能 $K$）： $$ \vec F\cdot\mathrm d\vec r=\mathrm d\!\left(\tfrac12mv^2\right)=\mathrm dK $$ - 动能 $K=\tfrac12mv^2$。 #### 功 - 元功（点积定义，$\theta$ 为 $\vec F$ 与 $\mathrm d\vec r$ 夹角，$|\mathrm d\vec r|=\mathrm ds$）： $$ \mathrm dA=\vec F\cdot\mathrm d\vec r=(F\cos\theta)\,\mathrm ds $$ - 总功为元功沿路径积分；功表征力的空间积累效果，是**过程量**（依赖路径，非状态量）： $$ A_{AB}=\int_{\vec r_A}^{\vec r_B}\vec F\cdot\mathrm d\vec r $$ #### 动能定理 - 积分形式：合外力对质点做的功等于动能增量。 $$ \int_{\vec r_A}^{\vec r_B}\vec F\cdot\mathrm d\vec r=\tfrac12mv_B^2-\tfrac12mv_A^2 $$ - 微分形式：$\vec F\cdot\mathrm d\vec r=\mathrm d\!\left(\tfrac12mv^2\right)$。 - 适用范围（易错点）：与参考系有关，**只在惯性系中成立**。 ### 功率 - 功率等于合外力与速度点积，也等于动能对时间的变化率： $$ P=\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\vec F\cdot\vec v=\frac{\mathrm dK}{\mathrm dt} $$ ### 一对作用力与反作用力的功 - $\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}$，其元功之和只与相对位移有关（$\vec r_{ji}=\vec r_i-\vec r_j$）： $$ \mathrm dA=\vec F_{ij}\cdot\mathrm d\vec r_{ji} $$ - 该功取决于两受力质点的相对位移，**与参考系无关**。 - 判据：力有沿相对位移分量（如摩擦力）则做功不为零；垂直于相对位移（如法向力）则为零。一对作用反作用力的功**一般不为零**。 - 例（楔块光滑、斜面有摩擦）：$\mathrm dA_f=\vec F_f\cdot\mathrm d\vec r_{ji}\neq0$；$\mathrm dA_N=\vec F_N\cdot\mathrm d\vec r_{ji}=0$（$\vec F_N\perp\mathrm d\vec r_{ji}$）。 ### 质点系的动能定理 - 受力分外力、内力。对各质点求和：所有外力与内力做功之和等于系统动能增量。 $$ A_e+A_I=K-K_0 $$ - 要点：与单质点不同，系统动能改变还含内力的功 $A_I$；内力（成对）一般也改变总动能。 ## §4.2 保守力与势能 ### 三种保守力做功（均与路径无关，只取决始末位置） | 力 | 做功 $\displaystyle\int_a^b\vec F\cdot\mathrm d\vec r$ | |---|---| | 重力（$z$ 向上为正，$\vec F=-mg\vec k$） | $-(mgz_b-mgz_a)$ | | 万有引力（$\vec F=-G\frac{Mm}{r^3}\vec r$，吸引） | $-\left[\left(-G\frac{Mm}{r_b}\right)-\left(-G\frac{Mm}{r_a}\right)\right]$ | | 弹性力（$\vec F=-kx\vec i$，指向平衡位置） | $-\left(\tfrac12kx_b^2-\tfrac12kx_a^2\right)$ | ### 保守力与非保守力 - 保守力：做功只与始末位置有关、与路径无关（重力、万有引力、弹性力、静电力…）。非保守力：做功与路径有关（摩擦力、回旋力…）。 - 判据：保守力沿任意闭合路径做功为零，等价于做功与路径无关。 $$ \oint_L\vec F\cdot\mathrm d\vec r=0 $$ ### 势能 $U$ 与势能零点 - 保守力做功等于势能增量的负值： $$ \int_a^b\vec F\cdot\mathrm d\vec r=-(U_b-U_a) $$ - 取 $b$ 为势能零点（$U_b=0$）时，$U_a=\displaystyle\int_a^b\vec F\cdot\mathrm d\vec r$。 | 势能 | 表达式 | 零点 | |---|---|---| | 重力势能 | $U=mgz$ | $z=0$ | | 引力势能 | $U=-G\dfrac{Mm}{r}$ | $r\to\infty$ | | 弹性势能 | $U=\tfrac12kx^2$ | $x=0$ | ### 保守力与势能的微分关系 - $\vec F\cdot\mathrm d\vec r=-\mathrm dU$，分量 $F_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x},\,F_y=-\dfrac{\partial U}{\partial y},\,F_z=-\dfrac{\partial U}{\partial z}$。 - 梯度算符 $\nabla=\vec i\dfrac{\partial}{\partial x}+\vec j\dfrac{\partial}{\partial y}+\vec k\dfrac{\partial}{\partial z}$，则 $\vec F=-\nabla U$。 - 径向分量：$F_r=-\dfrac{\partial U}{\partial r}$。 ### 判断保守力的方法 - 环路积分判据：保守力沿任意闭合路径满足 $\oint_L\vec F\cdot\mathrm d\vec r=0$；若能找到一条闭合路径使积分非零，则非保守。 - 平面情形偏导判据：在无奇点、单连通区域且偏导连续时，可用 $\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=\dfrac{\partial F_y}{\partial x}$ 判别（来自 $\vec F=-\nabla U$ 与二阶混合偏导相等）。 - 力场判别：均匀平行场、径向场为保守力；杂乱发散场、涡旋（环流）场为非保守力。 - 判别策略：判“保守”须对任意闭合路径成立（取一般路径）；判“非保守”只需举出一条环路积分非零的路径。 - 由势能求功：$A=-(U_b-U_a)$，与路径无关，代入始末坐标即得。 ### 势能曲线 - 径向力 $F_r=-\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dr}$；平衡位置在 $\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dr}=0$（势能极小处 $r_0$，$F_r=0$）。 - 机械能 $E=K+U$，因 $K\ge0$ 故 $E\ge U$，质点只能在 $U\le E$ 区域运动。 - 势能曲线作用：判各位置保守力的大小方向；据曲线形状讨论运动。 - 一维 $F_x=-\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dx}$，平衡处 $\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dx}=0$；极小点为稳定平衡（有回复力），极大点为不稳定平衡，另有随遇平衡。 - 极大处为势垒、极小处为势阱，质点可在势阱内振动。 ### 由势能曲线求振动周期 - 由 $\tfrac12m\left(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2+U(x)=E_2$ 分离变量，往返两段相加得周期： $$ T=2\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{E_2-U(x)}} $$ ### 单个质点的机械能守恒 - 当 $\vec F$ 为保守力时，$\int_a^b\vec F\cdot\mathrm d\vec r=-\Delta U=\Delta K$，故 $\Delta(K+U)=0$： $$ E=K+U=\text{const.} $$ - 条件：合力（$\vec F$）为保守力；适用对象为单个质点。 ## §4.3 机械能守恒定律 ### 质点系势能与保守内力的功 - 质点系受力分外力与内力，内力又分保守内力、非保守内力。 - 一对保守内力做功之和只与始末相对位置有关，等于两质点相互作用势能 $U_{ij}$ 增量的负值。 - 质点系势能为各对相互作用势能之和（取 $j>i$ 避免重复）： $$ U=\sum_i\sum_{j>i}U_{ij} $$ - 质点系保守内力的功：$A_{CI}=-\Delta U$。 ### 功能原理 - 由动能定理 $A_e+A_I=\Delta K$，将内力分为非保守内力 $A_{NI}$ 与保守内力 $A_{CI}=-\Delta U$，机械能 $E=K+U$，移项得功能原理：外力与非保守内力做功之和等于机械能增量。 $$ A_e+A_{NI}=\Delta E $$ ### 能量守恒与机械能守恒 - 孤立系统（$A_e=0$）：$A_{NI}=\Delta E$，即能量守恒和转换定律。$A_{NI}>0$ 时其他能转为机械能，$A_{NI}<0$ 时机械能转为其他能。 - 机械能守恒条件：$A_e=0$ 且 $A_{NI}=0$，则 $\Delta E=0$： $$ K+U=K_0+U_0 $$ ### 质能关系 - 动能增量一般式（$\vec F=\dfrac{\mathrm d(m\vec v)}{\mathrm dt}$，乘积法则展开）：$\mathrm dK=v^2\,\mathrm dm+mv\,\mathrm dv$。 - 由 $m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 得 $mv\,\mathrm dv=c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\mathrm dm$，代回后 $v^2$ 项抵消：$\mathrm dK=c^2\,\mathrm dm$。 - 由 $v=0$ 时 $m=m_0,\,K=0$ 积分，得相对论动能与总能量： $$ K=mc^2-m_0c^2,\qquad E=K+m_0c^2=mc^2 $$ - 静止能量 $E_0=m_0c^2$（由静止质量决定），总能量 = 动能 + 静止能量。 - 质能关系增量式：$\Delta E=c^2\Delta m$。 - 质量亏损 $\Delta m=Zm_p+(A-Z)m_n-m$，原子核结合能 $\Delta E=c^2\Delta m$，比结合能 $\dfrac{\Delta E}{A}$。 - 能量–动量关系： $$ E^2=p^2c^2+m_0^2c^4 $$