第6讲：矩阵的概念 & 第7讲：矩阵的运算

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关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 矩阵的定义与记法：$A = (a_{ij})_{m \times n}$
2. ⭐ 特殊矩阵：零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵
3. ⭐ 矩阵相等的条件：同型且对应元素相等
4. ⭐ 矩阵乘法的定义与条件：$A_{m \times p} \cdot B_{p \times n} = C_{m \times n}$
5. ⭐ 矩阵乘法不满足交换律：一般地 $AB \neq BA$
6. ⭐ 矩阵乘法不满足消去律：$AB = AC$ 不能推出 $B = C$
7. ⭐ $AB = O$ 不能推出 $A = O$ 或 $B = O$
8. ⭐ 转置的性质：$(AB)^T = B^T A^T$，对称矩阵 $\Leftrightarrow A^T = A$
9. ⭐ 若 $AB = BA$（可交换），则二项式展开公式成立
10. ⭐ 若对任意方阵 $B$ 都有 $AB = BA$，则 $A$ 是数量矩阵

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第6讲：矩阵的概念

一、矩阵的基本概念

(1) 定义

• 矩阵：$m \times n$ 个数 $a_{ij}$（$i = 1, 2, \cdots, m$；$j = 1, 2, \cdots, n$）排成 $m$ 行 $n$ 列的长方形数表，用圆括号或方括号括起来，称为矩阵，记作 $A$，$B$，$C$ 等。[来源：p2]

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = (a_{ij})_{m \times n}$$

• 矩阵相等：设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{s \times t}$，若 $m = s$，$n = t$，且 $a_{ij} = b_{ij}$（对所有 $i, j$），则称 $A = B$。[来源：p15]

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二、几种特殊类型的矩阵

(1) 行（列）矩阵

• 行矩阵：只有一行的矩阵，如 $A = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$。[来源：p4]
• 列矩阵：只有一列的矩阵，如 $B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$。[来源：p4]
• 行（列）矩阵在介绍了线性空间的概念后，也叫行列向量。[来源：p4]

(2) 零矩阵

• 零矩阵：元素全部为 $0$ 的矩阵，记作 $O_{m \times n}$。[来源：p5]
• 零矩阵类比实数 $0$，在矩阵的计算中，作用和数字 $0$ 相似。[来源：p5]

(3) 方阵

• 方阵：行数和列数相同的矩阵，即 $n \times n$ 矩阵，称为 $n$ 阶方阵。[来源：p6]
• 主对角线：方阵中从左上角到右下角的对角线，元素为 $a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$。[来源：p6]
• 主对角元：主对角线上的元素 $a_{ii}$（$i = 1, 2, \cdots, n$）。[来源：p6]

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三、几种特殊类型的方阵

(1) 对角形矩阵

• 对角矩阵：除主对角线外其余元素全为 $0$ 的方阵。[来源：p7]

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

记作 $A = \text{diag}(a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn})$。[来源：p7]

(2) 单位矩阵

• 单位矩阵：主对角元全为 $1$，其余元素全为 $0$ 的方阵，记作 $E$ 或 $I$。[来源：p8]

$$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$

• 单位矩阵类比实数 $1$，在矩阵的计算中，作用和数字 $1$ 相似。[来源：p8]

(3) 数量矩阵

• 数量矩阵：主对角元全为同一个数 $a$，其余元素全为 $0$ 的方阵，记作 $aE$ 或 $aI$。[来源：p9]

(4) 三角形矩阵

• 上三角矩阵：主对角线以下元素全为 $0$（即当 $i > j$ 时，$a_{ij} = 0$）。[来源：p10]
• 下三角矩阵：主对角线以上元素全为 $0$（即当 $i < j$ 时，$a_{ij} = 0$）。[来源：p10]

(5) 对称矩阵

• 对称矩阵：满足 $a_{ij} = a_{ji}$（$i, j = 1, 2, \cdots, n$）的方阵，即关于主对角线对称。[来源：p11-12]

(6) 反对称矩阵

• 反对称矩阵：满足 $a_{ij} = -a_{ji}$（$i, j = 1, 2, \cdots, n$）的方阵。[来源：p13]
• ⭐ 反对称矩阵对角线上元素一定是 $0$（因为 $a_{ii} = -a_{ii}$，所以 $a_{ii} = 0$）。[来源：p14]

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第7讲：矩阵的运算

一、矩阵的加法

(1) 定义

• 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{m \times n}$（同型矩阵），则：[来源：p2]

$$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$$

• 负矩阵：$-A = (-a_{ij})_{m \times n}$。[来源：p2]
• 矩阵减法：$A - B = A + (-B)$。[来源：p2]

(2) 性质

• ⭐ $A + B = B + A$（加法交换律）[来源：p3]
• ⭐ $(A + B) + C = A + (B + C)$（加法结合律）[来源：p3]
• ⭐ $A + O = O + A = A$（加法单位元）[来源：p3]
• ⭐ $A + (-A) = O$（加法逆元）[来源：p3]

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二、矩阵的数乘

(1) 定义

• 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$c$ 是一个数，则：[来源：p4]

$$cA = (ca_{ij})_{m \times n}$$

• 特别地：$-A = (-1)A$，$cE = \text{diag}(c, c, \cdots, c)$。[来源：p4]

(2) 性质

• $1A = A$ [来源：p5]
• $k(lA) = (kl)A$ [来源：p5]
• $(k + l)A = kA + lA$ [来源：p5]
• $k(A + B) = kA + kB$ [来源：p5]

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三、矩阵的乘法

(1) 定义

• ⭐ 设 $A = (a_{ij})_{m \times p}$，$B = (b_{ij})_{p \times n}$（A的列数 = B的行数），则：[来源：p7]

$$A \cdot B = C = (c_{ij})_{m \times n}$$

其中 $c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}$

(2) 性质

• $(AB)C = A(BC)$（乘法结合律）[来源：p12]
• $k(AB) = (kA)B = A(kB)$ [来源：p12]
• ⭐ $(A + B)C = AC + BC$（乘法右分配律）[来源：p12]
• ⭐ $C(A + B) = CA + CB$（乘法左分配律）[来源：p12]
• $k(A + B) = kA + kB$ [来源：p12]
• $A_{m \times n} E_n = A_{m \times n}$，$E_m A_{m \times n} = A_{m \times n}$（单位矩阵的性质）[来源：p12]
• $A_{m \times p} O_{p \times n} = O_{m \times n}$，$O_{m \times p} A_{p \times n} = O_{m \times n}$ [来源：p12]

(3) 线性映射的矩阵表示

• 线性型可以写成矩阵形式：$\mathbf{y} = A\mathbf{x}$ [来源：p9-10]
• 线性型的复合：若 $\mathbf{z} = B\mathbf{y}$，则 $\mathbf{z} = BA\mathbf{x}$ [来源：p11]

(4) 反例与易错点

• ⭐ 矩阵乘法不满足交换律！[来源：p19]

  • 情形一：$AB$ 有定义但 $BA$ 没有定义（不同型矩阵）
  • 情形二：$AB$ 和 $BA$ 都有定义但 $AB \neq BA$

• ⭐ 矩阵乘法不满足消去律！[来源：p20]

  • $AB = AC$，但 $B \neq C$
  • $BA = CA$，但 $B \neq C$

• ⭐ $AB = O$ 不能推出 $A = O$ 或 $B = O$ [来源：p21]

(5) 重要结论

• ⭐ 若对任意 $n \times n$ 方阵 $B$ 都有 $AB = BA$，则 $A$ 是数量矩阵。[来源：p23-24]

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四、方阵的幂

(1) 定义

• 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则：[来源：p25]

  • $A^2 = A \cdot A$
  • $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A \cdot A$
  • $A^m = A^{m-1} \cdot A$，其中 $m$ 是正整数
  • 规定 $A^0 = E$

• ⭐ 注意这里没有定义方阵的负整数次幂。[来源：p25]

(2) 性质

• $A^m A^n = A^{m+n}$ [来源：p26]
• $(A^m)^n = A^{mn}$，其中 $m, n$ 为非负整数 [来源：p26]

(3) 反例与易错点

• ⭐ 由于矩阵乘法交换律不一定成立，所以一般地：[来源：p26]
  • $(AB)^m \neq A^m B^m$
  • $(AB)^m = A(BA)^{m-1}B$
  • $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$
  • $(A - B)(A + B) = A^2 + AB - BA - B^2 \neq A^2 - B^2$

(4) 可交换情形

• ⭐ 设方阵 $A$ 与 $B$ 可交换（即 $AB = BA$），那么：[来源：p27]

  • $(A + B)^m = A^m + C_m^1 A^{m-1}B + \cdots + C_m^m B^m$（二项式展开）
  • $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$
  • $(A \cdot B)^m = A^m B^m$

• 特别地：$A$ 与 $E$ 总是可交换的，所以：[来源：p26]

$$(A + E)^m = A^m + C_m^1 A^{m-1} + \cdots + C_m^m E$$

(5) 方阵的多项式

• 多项式 $f(x) = a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \cdots + a_m$ [来源：p28]
• 方阵 $A$ 的多项式：$f(A) = a_0 A^m + a_1 A^{m-1} + \cdots + a_m E$ [来源：p28]

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五、矩阵的转置

(1) 定义

• 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，将 $A$ 的行列互换得到的矩阵称为 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^T$。[来源：p13]

$$A^T = (a_{ji})_{n \times m}$$

(2) 性质

• $(A^T)^T = A$ [来源：p14]
• $(A + B)^T = A^T + B^T$ [来源：p14]
• $(kA)^T = k(A^T)$ [来源：p14]
• ⭐ $(AB)^T = B^T A^T$（注意顺序颠倒）[来源：p14]
• $(A_1 \cdot A_2 \cdot \cdots \cdot A_m)^T = A_m^T \cdot A_{m-1}^T \cdot \cdots \cdot A_1^T$ [来源：p14]
• 若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $(A^n)^T = (A^T)^n$ [来源：p14]

(3) 等价条件

• ⭐ 矩阵 $A$ 为对称矩阵 $\Leftrightarrow A^T = A$ [来源：p14]
• ⭐ 矩阵 $A$ 为反对称矩阵 $\Leftrightarrow A^T = -A$ [来源：p14]
• ⭐ 若矩阵 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，那么 $AA^T$ 和 $A^TA$ 都是对称矩阵。[来源：p14]

(4) 重要结论

• ⭐ $A$ 是实矩阵。若对任何 $x \in \mathbb{R}^n$，都有 $x^T A x = 0 \Leftrightarrow A$ 是反对称矩阵。[来源：p16]

• ⭐ 任何一个 $n$ 阶方阵可以唯一地写为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。[来源：p17] 【整理自PPT】分解方式：$A = \frac{1}{2}(A + A^T) + \frac{1}{2}(A - A^T)$

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六、二次型初步

(1) 公式

• 设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$，则：[来源：p15]

$$\mathbf{x}^T A \mathbf{y} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i y_j$$ $$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{ij} + a_{ji}) x_i x_j$$

(2) 性质

• ⭐ 若 $A$ 是反对称矩阵（即 $A^T = -A$），那么对任何 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 0$。[来源：p15]

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七、常用技巧

(1) 行列矩阵乘法

• ⭐ 一个行矩阵乘以一个列矩阵，结果为一个数字（内积）。[来源：p30]
• ⭐ 一个列矩阵乘以一个行矩阵，结果为一个矩阵，且这个矩阵的行（列）之间相差倍数关系。[来源：p30-31]

(2) 求方阵幂的技巧

• 分解法：若 $A = \lambda E + B$，其中 $B$ 是幂零矩阵（$B^k = O$），则可利用二项式展开计算 $A^n$。[来源：p29]

(3) 秩为1的矩阵

• 若矩阵的行（列）是某个行（列）矩阵的倍数，则该矩阵可写为一个列矩阵乘以一个行矩阵的形式。[来源：p31]

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八、矩阵的迹

(1) 定义

• 矩阵的迹：$n$ 阶方阵 $A$ 的主对角线上元素之和，记作 $\text{tr}(A)$。[来源：p32]

$$\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}$$

(2) 性质

• ⭐ $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$（即使 $AB \neq BA$）[来源：p33]

(3) 重要结论

• ⭐ 若 $\text{tr}(AA^T) = 0$，则 $A = O$（对于实矩阵）。[来源：p34]
• ⭐ 若 $A^2 = AA^T$，则 $A$ 为实对称矩阵。[来源：p34]
• ⭐ 下三角矩阵的乘积还是下三角矩阵。[来源：p35]

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九、矩阵的共轭

(1) 定义

• 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 是一个元素为复数的矩阵，矩阵 $A$ 的共轭矩阵为 $\bar{A} = (\bar{a}_{ij})_{m \times n}$。[来源：p36]

(2) 性质

• $\overline{A + B} = \bar{A} + \bar{B}$ [来源：p36]
• $\overline{cA} = \bar{c} \cdot \bar{A}$ [来源：p36]
• $\overline{AB} = \bar{A} \cdot \bar{B}$ [来源：p36]
• $|\bar{A}| = \overline{|A|}$ [来源：p36]

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附：公式速查表

运算	公式	备注
矩阵加法	$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$	需同型
矩阵数乘	$(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}$
矩阵乘法	$(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$	A列数=B行数
转置	$(A^T)_{ij} = a_{ji}$	行列互换
转置乘法	$(AB)^T = B^T A^T$	⭐顺序颠倒
对称矩阵	$A^T = A$
反对称矩阵	$A^T = -A$	对角元为0
迹	$\text{tr}(A) = \sum_i a_{ii}$	主对角元之和
迹的性质	$\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$