第12-13讲：可逆矩阵与克莱姆法则

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关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 可逆矩阵的定义：$AB = BA = E$ 则互为逆矩阵
2. ⭐ 核心定理：$n$阶方阵$A$可逆 $\Leftrightarrow$ $|A| \neq 0$
3. ⭐ 逆矩阵公式：$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A^*$（伴随矩阵法）
4. ⭐ 伴随矩阵性质：$AA^* = A^*A = |A|E_n$
5. ⭐ 伴随矩阵元素位置：$A^*$的$(i,j)$元素是$A_{ji}$（注意转置！）
6. ⭐ 逆矩阵的7个运算性质
7. ⭐ 克莱姆法则：$D \neq 0 \Rightarrow$ 方程组有唯一解 $x_j = \dfrac{D_j}{D}$
8. ⭐ 齐次方程组：$D \neq 0 \Rightarrow$ 仅有零解
9. ⭐ 克莱姆法则使用条件：方程个数=未知量个数 且 $D \neq 0$
10. 矩阵乘法不满足消去律（重要易错点）

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第12讲：可逆矩阵

一、可逆矩阵的定义

(1) 定义

• 可逆矩阵：设$A$为$n$阶方阵，若存在$n$阶方阵$B$，使得 $AB = BA = E$，则称$A$是$n$阶可逆矩阵（或可逆阵），称$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。[来源：p2，黄色高亮]

• 不可逆矩阵：如果不存在满足$AB = BA = E$的矩阵$B$，则称$A$是不可逆矩阵，或$A$不可逆。[来源：p2]

• 互为逆矩阵：由可逆矩阵的定义，$A$和$B$互为逆矩阵 $\Leftrightarrow$ $A^{-1} = B$，$B^{-1} = A$。[来源：p2，黄色高亮]

(2) 定理/命题

• ⭐ 定理（可逆的充要条件）：$n$阶方阵$A$可逆的充分必要条件是$|A| \neq 0$。[来源：p13，红框标注]

• 逆矩阵唯一性定理：如果$n$阶方阵$A$是可逆的，那么$A$存在唯一的一个逆矩阵。[来源：p14]

(3) 推论/二级结论

• 推论（单边验证）：对$n$阶方阵$A$，若存在$n$阶方阵$B$，使得$AB = E_n$（或者$BA = E_n$），则：

  • $BA = E$（或者$AB = E$）；
  • 矩阵$A$可逆，且$A^{-1} = B$。[来源：p15]

  【整理自PPT】即：只需验证单边等式$AB=E$即可判定$A$可逆。

• 单位矩阵可逆：由于$E_n E_n = E_n$，所以单位矩阵$E_n$是可逆矩阵，且$E_n$的逆矩阵仍为$E_n$，是它自身。[来源：p2]

(4) 典型例子

• 对角矩阵的逆：当$k_1, k_2, k_3$全不为$0$时，对角矩阵$\begin{pmatrix} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{pmatrix}$可逆，其逆矩阵是$\begin{pmatrix} \frac{1}{k_1} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{k_2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{k_3} \end{pmatrix}$。[来源：p3]

(5) 反例与易错点

• ⭐ 不是每个方阵都有逆矩阵。例如：$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，对任意矩阵$B$，$AB$的第一行元素全为$0$，因此$AB \neq E_3$，故$A$不可逆。[来源：p5]

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二、伴随矩阵

(1) 定义

• 伴随矩阵：设矩阵$A = (a_{ij})_n$是$n$阶方阵，令矩阵$A$的行列式$|A|$中，第$i$行第$j$列元素$a_{ij}$对应的代数余子式为$A_{ij}$，那么我们称矩阵

$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$$

为矩阵$A$的伴随矩阵，记作$A^*$。[来源：p10，黄色高亮]

• ⭐ 【易错点】伴随矩阵元素位置：注意伴随矩阵第$i$行第$j$列的元素是矩阵$A$中元素$a_{ji}$的代数余子式$A_{ji}$（注意下标是转置的！）。[来源：p10，红字强调]

(2) 定理/性质

• ⭐ 伴随矩阵基本性质：设矩阵$A = (a_{ij})_n$是$n$阶方阵，$A^*$是矩阵$A$的伴随矩阵，那么

$$AA^* = A^*A = |A|E_n$$

[来源：p12，黄色高亮]

• 2阶方阵的伴随矩阵：设$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$，则$A^* = \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix}$。[来源：p11]

  【整理自PPT】口诀："主对调，副变号"。

(3) 推论/二级结论

• 伴随矩阵的行列式：$|A^*| = |A|^{n-1}$（$n \geq 2$）。[来源：p16，p22]

• $A$可逆与$A^*$可逆的关系：$A$可逆的充要条件是$A^*$可逆。[来源：p22]

  证明要点：当$A$可逆时，$|A| \neq 0$，故$|A^*| = |A|^{n-1} \neq 0$，故$A^*$可逆。

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三、求逆矩阵的方法（伴随矩阵法）

(1) 逆矩阵公式

• ⭐ 若矩阵$A$可逆，则$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A^*$。[来源：p13，红框标注，黄色高亮]

(2) 求逆矩阵的步骤

给定一个$n$阶方阵$A$，求$A$的逆矩阵的步骤：[来源：p13]

1. 求出$A$的行列式$|A|$，判断$|A|$是否为$0$
2. 若$|A| \neq 0$，计算出$A$的每个元素的代数余子式，并摆成伴随矩阵$A^*$
3. 得到$A$的逆矩阵$A^{-1} = \dfrac{A^*}{|A|}$

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四、逆矩阵的性质

(1) 运算性质

设矩阵$A$是$n$阶可逆矩阵，则：[来源：p16]

1. $(A^{-1})^{-1} = A$
2. 若$k \neq 0$，则$(kA)^{-1} = \dfrac{1}{k}A^{-1}$
3. ⭐ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，更一般地$(A_1 A_2 \cdots A_m)^{-1} = A_m^{-1} A_{m-1}^{-1} \cdots A_1^{-1}$（注意顺序反转！）
4. $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
5. $|A^{-1}| = |A|^{-1}$
6. $(A^m)^{-1} = (A^{-1})^m$
7. $|A^*| = |A|^{n-1}$

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五、矩阵乘法与消去律

(1) 重要结论

• ⭐ 矩阵乘法不满足消去律！[来源：p18-19，红字强调]
  • $AB = AC$ 不能推出 $B = C$
  • $BA = CA$ 不能推出 $B = C$

(2) 反例

• 反例：设$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$，则$BA = CA = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，但$B \neq C$。[来源：p18]

(3) 何时可以消去

• 可逆矩阵可以消去：若$A$可逆，且$AB = AC$，则两边左乘$A^{-1}$得$B = C$。[来源：p19-21]

  【整理自PPT】类比：数字运算中$2a = 2b \Rightarrow a = b$，是因为$2$有逆元$\frac{1}{2}$。矩阵消去的本质是乘以逆矩阵，而非"除法"。

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六、高级结论与技巧

(1) 矩阵方程的解

• 若$A+B = AB$，则$A - E$可逆。[来源：p24]

  证明要点：$A + B = AB \Rightarrow A - AB = -B \Rightarrow A(E-B) = -B \Rightarrow (A-E)(E-B) = E$

• 设$A$可逆，$B$为$n \times k$矩阵，则矩阵方程$AX = B$存在唯一解$X = A^{-1}B = \dfrac{A^*}{|A|}B$。[来源：PPT13，p9，黄色高亮]

(2) 幂零矩阵相关

• 设$A$为$n$阶方阵，且$A^k = O$，则$(E - A)^{-1} = E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}$。[来源：p27]

(3) 矩阵多项式相关

• 设$f(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0$，$A$为$n$阶方阵，若$f(A) = O$，对任意满足$f(c) \neq 0$的数$c$，都有$(A - cE)^{-1} = -\dfrac{g(A)}{f(c)}$，其中$g(x) = \dfrac{f(x) - f(c)}{x - c}$。[来源：p26]

• 设$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_k x^k$（$a_k \neq 0$），$A$为$n$阶方阵，$f(A) = O$，那么对任何正整数$m \geq k$，$A^m$总可以用$E, A, A^2, \ldots, A^{k-1}$表示出来。[来源：p28]

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第13讲：克莱姆法则

一、线性方程组的基本概念

(1) 定义

• 非齐次线性方程组：设线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$$

若常数项$b_1, b_2, \cdots, b_n$不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组。[来源：PPT13，p2]

• 齐次线性方程组：若常数项$b_1, b_2, \cdots, b_n$全为零，则称方程组为齐次线性方程组。[来源：PPT13，p2]

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二、克莱姆（Cramer）法则

(1) 定理

• ⭐ 克莱姆法则（非齐次情形）：如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \neq 0$$

那么非齐次线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为

$$x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D}, \quad x_3 = \frac{D_3}{D}, \quad \cdots, \quad x_n = \frac{D_n}{D}$$

其中$D_j$是把系数行列式$D$中第$j$列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的$n$阶行列式。[来源：PPT13，p3-4]

• 定理（简洁表述）：如果线性方程组(1)的系数行列式$D \neq 0$，则(1)一定有解，且解是唯一的。[来源：PPT13，p5]

(2) 推论

• ⭐ 推论（逆否命题）：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。[来源：PPT13，p5]

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三、齐次线性方程组的相关定理

(1) 基本事实

• 齐次线性方程组总是有解的，明显的一个解是零解$(0, 0, \ldots, 0)$。[来源：PPT13，p6，黄色高亮]

(2) 定理

• ⭐ 定理：如果齐次线性方程组(2)的系数行列式$D \neq 0$，则齐次线性方程组(2)仅有零解。[来源：PPT13，p6]

(3) 推论

• ⭐ 推论（逆否命题）：如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。[来源：PPT13，p6]

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四、克莱姆法则的使用条件与局限性

(1) 使用条件（⭐ 必须同时满足）

1. 方程个数等于未知量个数（系数形成方阵）[来源：PPT13，p8，p11]
2. 系数行列式不等于零[来源：PPT13，p8，p11]

(2) 克莱姆法则的意义与局限

• 克莱姆法则给出非齐次线性方程组有唯一解的条件，并且给出方程组的解与方程组的系数和常数项之间的关系。[来源：PPT13，p8]

• 克莱姆法则主要适用于理论推导。[来源：PPT13，p11]

• 使用克莱姆法则解方程组计算量比较大。[来源：PPT13，p8]

(3) 反例与易错点

• ⭐ 方程组个数与未知量个数不同时（系数矩阵不是方阵），不能用克莱姆法则。[来源：PPT13，p8]

• ⭐ 系数行列式等于0时的情况：非齐次线性方程组在系数行列式等于$0$的时候，不能由克莱姆法则判别方程组是否有解（方程组可能有解也可能无解）。[来源：PPT13，p8，p12]

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五、克莱姆法则的矩阵证明与推广

(1) 矩阵形式的证明

• 将线性方程组表示为$AX = B$，若系数矩阵$A$可逆，则方程组(1)存在唯一解$X = A^{-1}B = \dfrac{A^*}{|A|}B$。[来源：PPT13，p9，黄色高亮]

(2) 推广

• 矩阵方程$AX = B$：设矩阵$A$是$n$阶可逆方阵，$B$是$n \times k$阶的矩阵，则矩阵方程$AX = B$存在唯一解$X = A^{-1}B$。[来源：PPT13，p10]

• 矩阵方程$AXC = B$：设矩阵$A$是$n$阶可逆方阵，$B$是$n \times k$阶的矩阵，$C$是$k$阶可逆方阵，则矩阵方程$AXC = B$存在唯一解$X = A^{-1}BC^{-1}$。[来源：PPT13，p10]

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六、思考题（帮助理解$D=0$的情形）

• 试给出一个系数矩阵为方阵的非齐次线性方程组，使得：[来源：PPT13，p12]
  1. 系数矩阵的行列式为$0$，但是方程组有解，表达出方程的全部解
  2. 系数矩阵的行列式为$0$，但是方程组无解

【整理自PPT】这说明$D = 0$时克莱姆法则失效，此时需要用其他方法（如高斯消元法）判断解的情况。

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七、应用：利用线性方程组的解求行列式

• 【技巧】可以通过构造适当的线性方程组，利用克莱姆法则反向求解行列式的值。[来源：PPT13，p13] [备注：可选记忆]

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小结对照表

内容	第12讲：可逆矩阵	第13讲：克莱姆法则
核心条件	$\|A\| \neq 0$ $\Leftrightarrow$ $A$可逆	$D \neq 0$ $\Rightarrow$ 方程组有唯一解
核心公式	$A^{-1} = \dfrac{A^*}{\|A\|}$	$x_j = \dfrac{D_j}{D}$
关键性质	$AA^* = A^*A = \|A\|E$	$D \neq 0$时齐次方程组仅有零解
易错点	伴随矩阵元素位置转置	$D = 0$时不能用克莱姆法则判断
计算方法	伴随矩阵法	替换列向量求行列式

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知识集锦整理完毕。祝考试顺利！