第15-16讲：矩阵初等变换与初等矩阵

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关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 三种初等变换：交换、倍乘、倍加（行与列对应）
2. ⭐ 行阶梯形矩阵定义：零行在下，首非零元列号严格递增
3. ⭐ 规范行阶梯形矩阵定义：首非零元为1，所在列其他元素为0
4. ⭐ 定理：任何矩阵可经初等行变换化为行阶梯形（不唯一）和规范行阶梯形（唯一）
5. ⭐ 标准形矩阵：$\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$
6. ⭐ 初等矩阵定义：单位矩阵经一次初等变换所得
7. ⭐ 核心定理：左乘初等矩阵 = 行变换，右乘初等矩阵 = 列变换
8. ⭐ 初等矩阵可逆：逆矩阵是同类型初等矩阵
9. ⭐ 求逆方法：$(A \mid E) \xrightarrow{\text{行变换}} (E \mid A^{-1})$
10. ⭐ 等价充要条件：$A \sim B \Leftrightarrow \exists$ 可逆 $P, Q$ 使 $PAQ = B \Leftrightarrow$ 有相同标准形

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第15讲：矩阵的初等变换

一、初等变换的定义

(1) 定义

• 矩阵的初等行(列)变换：对矩阵进行以下三种操作之一 [来源：p2]

  变换类型	行变换记号	列变换记号	说明
  交换	$r_i \leftrightarrow r_j$	$c_i \leftrightarrow c_j$	交换第 $i$ 行(列)与第 $j$ 行(列)
  倍乘	$kr_i \to r_i$	$kc_i \to c_i$	第 $i$ 行(列)乘以非零数 $k$（$k \neq 0$）
  倍加	$r_j + kr_i \to r_j$	$c_j + kc_i \to c_j$	第 $i$ 行(列)的 $k$ 倍加到第 $j$ 行(列)

(2) 注意要点

• 倍乘变换中 $k \neq 0$（否则会产生零行/列）[来源：p2]
• 倍加变换中 $k$ 可以为任意数（包括0）【整理自PPT】

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二、行阶梯形矩阵

(1) 定义

• 行阶梯形矩阵：矩阵 $A$ 满足以下条件 [来源：p29]

  1. 若矩阵 $A$ 存在零行，则零行在非零行下方；
  2. 设 $A$ 的第 $k$ 个非零行的第一个非零元素在第 $j_k$ 列，共有 $r$ 个非零行，则 $j_1 < j_2 < \cdots < j_r$（首非零元列号严格递增）。

• 示例（黄色标记为首非零元）：[来源：p29]

$$\begin{pmatrix} \boxed{1} & 3 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & \boxed{-1} & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

(2) 定理

• ⭐ 定理：任何矩阵可以经过单纯的初等行变换化为行阶梯形矩阵（不唯一）。[来源：p30, p45]

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三、规范的行阶梯形矩阵

(1) 定义

• 规范的行阶梯形矩阵：矩阵 $A$ 是行阶梯形矩阵，且满足 [来源：p43]

  1. 每个非零行的第一个非零元素为 $1$；
  2. 每个非零行的第一个非零元素所在的列的其他元素都为 $0$。

• 示例（蓝色标记列只有一个1，其他为0）：[来源：p43-44]

$$\begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & \boxed{1} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

(2) 定理

• ⭐ 定理：任何矩阵可以经过单纯的初等行变换化为规范的行阶梯形矩阵（唯一）。[来源：p44, p45]

(3) 重要应用

• 规范行阶梯形中，非零行的首非零元对应的列选出来，在原矩阵中相应的列可以把其他列都线性表示出来，且这些列中没有多余的（即构成列空间的一组基）。[来源：p48-49]

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四、矩阵的标准形

(1) 定义

• 矩阵的相抵标准形（简称标准形）：形如 [来源：p60-61]

$$\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$$

其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵，$O$ 为零矩阵。

(2) 定理

• ⭐ 定理：任何矩阵可以经过初等行列变换化为标准形矩阵。[来源：p61]

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五、矩阵的等价（相抵）

(1) 定义

• 矩阵等价（或相抵）：如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变换化为矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价（记作 $A \sim B$）。[来源：p62]

(2) 等价关系的性质

• 矩阵等价是一个等价关系，满足 [来源：p63]

  • 自反性：$A \sim A$（矩阵自己与自己等价）
  • 对称性：$A \sim B \Rightarrow B \sim A$
  • 传递性：$A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C$

• 矩阵可以按照等价关系分类。[来源：p63]

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第16讲：初等变换和初等矩阵

一、初等矩阵的定义

(1) 定义

• 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。[来源：第16讲p11]

• 对应三种初等变换，有三种类型的初等矩阵 [来源：第16讲p11]

类型	记号	对应变换
交换矩阵	$R_{i \leftrightarrow j}$	$r_i \leftrightarrow r_j$ 或 $c_i \leftrightarrow c_j$
倍乘矩阵	$R_{(k)i}$	$kr_i \to r_i$ 或 $kc_i \to c_i$（$k \neq 0$）
倍加矩阵	$R_{j+(k)i}$ 或 $C_{i+(k)j}$	$r_j + kr_i \to r_j$ 或 $c_i + kc_j \to c_i$

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二、三种初等矩阵的具体形式

(1) 交换矩阵 $R_{i \leftrightarrow j}$

• 形式：单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换（或第 $i$ 列与第 $j$ 列交换）[来源：第16讲p12]

$$R_{i \leftrightarrow j} = \begin{pmatrix} \ddots & & & & \\ & 0 & \cdots & 1 & \\ & \vdots & \ddots & \vdots & \\ & 1 & \cdots & 0 & \\ & & & & \ddots \end{pmatrix} \leftarrow \text{第}i\text{行} \atop \leftarrow \text{第}j\text{行}$$

• 行列式：$\det(R_{i \leftrightarrow j}) = -1$ [来源：第16讲p12]

• 逆矩阵：$(R_{i \leftrightarrow j})^{-1} = R_{i \leftrightarrow j}$（逆等于本身）[来源：第16讲p12, p16]

(2) 倍乘矩阵 $R_{(k)i}$

• 形式：单位矩阵的第 $i$ 个对角元 $1$ 换成 $k$（$k \neq 0$）[来源：第16讲p13]

$$R_{(k)i} = \begin{pmatrix} \ddots & & & \\ & 1 & & \\ & & k & \\ & & & 1 \\ & & & & \ddots \end{pmatrix} \leftarrow \text{第}i\text{行}$$

• 行列式：$\det(R_{(k)i}) = k$ [来源：第16讲p13]

• 逆矩阵：$(R_{(k)i})^{-1} = R_{(\frac{1}{k})i}$（$k$ 换成 $\frac{1}{k}$）[来源：第16讲p13, p16]

(3) 倍加矩阵 $R_{j+(k)i}$

• 形式：单位矩阵的 $(j, i)$ 位置加上 $k$ [来源：第16讲p14]

$$R_{j+(k)i} = \begin{pmatrix} \ddots & & & & \\ & 1 & & & \\ & & \ddots & & \\ & k & & 1 & \\ & & & & \ddots \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \leftarrow \text{第}i\text{行} \\ \\ \leftarrow \text{第}j\text{行} \end{matrix}$$

• 行列式：$\det(R_{j+(k)i}) = 1$ [来源：第16讲p14]

• 逆矩阵：$(R_{j+(k)i})^{-1} = R_{j+(-k)i}$（$k$ 换成 $-k$）[来源：第16讲p14, p16]

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三、初等矩阵与初等变换的关系

(1) 核心定理

• ⭐ 定理：用一个 $m$（$n$）阶初等矩阵左（右）乘一个 $m \times n$ 阶矩阵，相当于对这个矩阵作相应的初等行（列）变换。[来源：第16讲p15]

• 等价表述：对矩阵作初等行（列）变换，相当于在这个矩阵左（右）边乘以一个相应的初等矩阵。[来源：第16讲p15]

操作	乘法位置	变换类型
$PA$（$P$ 是 $m$ 阶初等矩阵）	左乘	行变换
$AQ$（$Q$ 是 $n$ 阶初等矩阵）	右乘	列变换

(2) 推论

• ⭐ 推论：初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵。[来源：第16讲p16]

初等矩阵	逆矩阵
$R_{i \leftrightarrow j}$	$R_{i \leftrightarrow j}$
$R_{(k)i}$	$R_{(\frac{1}{k})i}$
$R_{j+(k)i}$	$R_{j+(-k)i}$

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四、初等变换与标准形的存在性

(1) 定理

• 定理：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则 [来源：第16讲p17]
  • 存在一系列初等行变换使得矩阵 $A$ 化为（规范的）阶梯型矩阵；
  • 进一步，存在一系列初等列变换使得矩阵 $A$ 化为标准型矩阵。

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五、求逆矩阵的初等变换法

(1) 原理

• 若 $A$ 可逆，存在初等矩阵 $R_1, R_2, \ldots, R_s$ 使得 $R_1 R_2 \cdots R_s A = E$，则 [来源：第16讲p22]

$$R_1 R_2 \cdots R_s = A^{-1}$$ $$R_1 R_2 \cdots R_s E = A^{-1}$$

(2) 方法

• ⭐ 求逆方法：构造分块矩阵 $(A \mid E)$，通过初等行变换 [来源：第16讲p22]

$$(A \mid E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E \mid A^{-1})$$

• 若左边化为单位矩阵 $E$，则右边即为 $A^{-1}$
• 若左边无法化为 $E$（出现零行），则 $A$ 不可逆

(3) 应用：解矩阵方程

• 解 $AX = B$：对 $(A \mid B)$ 作初等行变换化为 $(E \mid A^{-1}B)$，则 $X = A^{-1}B$ [来源：第16讲p23]
• 解 $XA = B$：对 $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ 作初等列变换化为 $\begin{pmatrix} E \\ BA^{-1} \end{pmatrix}$，则 $X = BA^{-1}$【整理自PPT】

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六、矩阵等价的充要条件

(1) 定理

• ⭐ 定理：矩阵 $A$ 与 $B$ 等价的充分必要条件是 [来源：第16讲p25]

$$\text{存在可逆矩阵 } P \text{ 与 } Q，\text{使得 } PAQ = B$$

(2) 推论

• ⭐ 推论：$m$ 行 $n$ 列矩阵 $A$ 与 $B$ 等价的充分必要条件是 [来源：第16讲p25]

$$A \text{ 与 } B \text{ 有相同的标准形}$$

• 等价表述：$A \sim B \Leftrightarrow \text{rank}(A) = \text{rank}(B)$【非PPT直接给出】（由标准形唯一由秩决定推得）

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常用技巧总结

(1) 化行阶梯形的步骤

1. 从左到右找第一个非零列
2. 将该列的首非零元通过行交换移到最上面
3. 用倍加变换消去该列下方所有元素
4. 对剩余子矩阵重复上述步骤

(2) 化规范行阶梯形的步骤

1. 先化为行阶梯形
2. 从下往上，将每个首非零元化为1（倍乘变换）
3. 消去首非零元上方的元素（倍加变换）

(3) 记忆口诀

• 初等矩阵三类型：换、乘、加
• 左行右列：左乘做行变换，右乘做列变换
• 逆矩阵规律：换→换，乘k→乘1/k，加k→加-k
• 等价=可逆夹：$A \sim B \Leftrightarrow PAQ = B$

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易错点与注意事项

1. 行阶梯形不唯一，但规范行阶梯形唯一。[来源：p45]

2. 初等变换的倍乘中 $k \neq 0$，否则不可逆。[来源：p2]

3. 左乘对应行变换，右乘对应列变换，不要混淆。[来源：第16讲p15]

4. 求逆矩阵时只能用行变换（或只用列变换），不能混用。[来源：第16讲p22]

5. 倍加矩阵的位置：$R_{j+(k)i}$ 的 $k$ 在 $(j, i)$ 位置（第 $j$ 行第 $i$ 列）。[来源：第16讲p14]

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文档生成基于上海交通大学线性代数课程PPT第15-16讲