第30-31讲：实二次型与正定二次型

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关键考点总览（本讲速记）

实二次型的定义： $n$ 元实二次齐次式， $f = x^TAx$ ，其中 $A$ 是实对称矩阵
核心对应关系： $n$ 阶实对称矩阵 $\longleftrightarrow$ $n$ 元实二次型（一一对应）
矩阵合同的定义：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^TAP = B$
标准型定义：只含平方项的二次型（矩阵为对角阵）
惯性指数唯一性（惯性定理）：必可化为 $z_1^2+\cdots+z_p^2 - z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2$ （其余 $n-p-q$ 项系数为 $0$ ），其中 $(p,q)$ （等价地 $p$ 与 $r=p+q$ ）唯一（变量排列/代换矩阵不唯一）
正惯性指数、负惯性指数、秩的关系： $p + q = r$ ，知二求一
⭐正定二次型定义：对任意非零向量 $x$ ，都有 $x^TAx > 0$
⭐正定的等价条件（对 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ）：正惯性指数 $= n$ / 合同于单位阵 / 存在可逆实矩阵 $M$ 使 $A=M^TM$ / 顺序主子式全 $>0$
化标准型方法：配方法、初等变换法
负定/半正定/半负定的定义与判定

一、实二次型的概念

(1) 定义

实二次型：称 $n$ 个实变量 $x_1,\cdots,x_n$ 的二次齐次式
$f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}x_i^2+2\sum_{1\le i<j\le n} a_{ij}x_ix_j\quad (a_{ij}=a_{ji}\in\mathbb{R})$
为 $n$ 元实二次型（写成 $x^TAx$ 时默认取对称矩阵 $A$ ）。[来源：p2-3]
二次型的矩阵表示： $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = x^TAx$ ，其中 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 是实对称矩阵（ $A^T = A$ ），称为二次型的矩阵。[来源：p3-4]
二次型的秩：矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 称为二次型的秩。[来源：p4]

(2) 定理/命题

⭐一一对应定理： $n$ 阶实对称矩阵与 $n$ 元实二次型之间存在一一对应关系。[来源：p4，黄色标注]

(6) 常用技巧

从二次型写矩阵：对角元素 $a_{ii}$ = $x_i^2$ 的系数；非对角元素 $a_{ij} = a_{ji}$ = $x_ix_j$ 交叉项系数的一半。[来源：p3，整理自PPT]

二、非退化线性代换与矩阵合同

(1) 定义

非退化线性代换：设 $x = (x_1, \cdots, x_n)^T$ ， $y = (y_1, \cdots, y_n)^T$ ，若 $x = Py$ 且矩阵 $P$ 可逆，则称 $x = Py$ 为非退化线性代换（相当于坐标变换）。[来源：p6，红框标注]
矩阵的合同：设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^TAP = B$ ，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同，记作 $A \simeq B$ 。[来源：p8，红框标注]

(2) 定理/命题

合同是等价关系：矩阵的合同关系满足：(1) 自反性；(2) 对称性；(3) 传递性。[来源：p8]
线性代换后的二次型：设 $f = x^TAx$ 是二次型， $x = Py$ 是非退化线性代换，则 $g(y) = y^T(P^TAP)y$ 仍是二次型，对应矩阵为 $B = P^TAP$ 。[来源：p7]

(3) 推论/二级结论

若 $B = P^TAP$ （ $P$ 可逆），则二次型 $y^TBy$ 与 $x^TAx$ 只差一个非退化线性代换 $x = Py$ 。[来源：p7-8]
分块对角对称阵的排列合同：分块对角对称阵 $\text{diag}(A_1, A_2, \cdots, A_s)$ 与其对角块任意排列后的矩阵合同。[来源：p9]

三、化二次型为标准型

(1) 定义

⭐标准型：只含有平方项的二次型称为标准型，即 $f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$ 。标准型的矩阵是对角阵。[来源：p10，黄色标注]

(2) 定理/命题

⭐标准型存在定理：设 $A$ 为对称矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^TAP = B$ ，其中 $B$ 是对角阵。[来源：p10]
等价表述：对任何实二次型 $f = x^TAx$ ，都存在非退化线性代换 $x = Py$ ，使得 $g = y^TBy = y^TP^TAPy$ 是标准型。[来源：p11]

(3) 推论/二级结论

⭐非退化线性代换不改变秩：作非退化线性替换，不改变二次型的秩。[来源：p11，云朵标注]
标准型系数与秩的关系：标准型中系数非0的项的数目就是二次型的秩。[来源：p11，云朵标注]

(5) 反例与易错点

⚠️ 标准型不唯一：同一个二次型可以化成不同的标准型（对角阵 $B$ 不唯一）。[来源：p10，青色框标注]

(6) 常用技巧

配方法步骤：[来源：p13-18]

Step 1：检查表达式中有无某个变量的平方项
Step 2：若没有平方项，作辅助线性代换（如 $x_1 = y_1 + y_2$ , $x_2 = y_1 - y_2$ , $x_3 = y_3$ , ...）产生平方项
Step 3：若有某变量的平方项，用完全平方公式配方，将含该变量的所有项配成完全平方
重复上述过程直到化为标准型

初等变换法（合同初等变换）：对增广矩阵 $\begin{pmatrix} A \\ E_n \end{pmatrix}$ 做一系列初等列变换，并在上半部分 $A$ 上同时做对应的初等行变换（保证始终进行合同变换），把 $A$ 化为对角阵 $D$ ；此时 $D=P^TAP$ ，下半部分即为变换矩阵 $P$ 。【整理自PPT，p12提及】

四、规范标准型与惯性定理

(1) 定义

⭐规范标准型：形如 $z_1^2+\cdots+z_p^2 - z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2$ （其余 $n-p-q$ 项系数为 $0$ ，故系数仅可能为 $+1,-1,0$ ）的标准型称为规范标准型。[来源：p22，红框标注]
⭐正惯性指数：规范标准型（或任意标准型）中，系数为正的平方项个数 $p$ 称为二次型的正惯性指数。[来源：p28，红框标注]
⭐负惯性指数：系数为负的平方项个数 $q$ 称为二次型的负惯性指数。[来源：p28，红框标注]
符号差： $p - q = 2p - r$ 称为符号差。[来源：p28]

(2) 定理/命题

⭐惯性定理（Sylvester 惯性定理）：对任何实二次型 $f=x^TAx$ ，必存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^TAP$ 化为规范标准型；且规范标准型中正、负平方项个数 $(p,q)$ （惯性指数）唯一（但代换矩阵 $P$ 与变量排列不唯一）。[来源：p22-23，黄色标注]

(3) 推论/二级结论

合同的规范形式：任何一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 都合同于对角矩阵
$\text{diag}(\underbrace{1, \cdots, 1}_{p个}, \underbrace{-1, \cdots, -1}_{q个}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{n-r个}) = \begin{pmatrix} E_p & & \\ & -E_q & \\ & & 0 \end{pmatrix}$
[来源：p20, p29]
⭐二次型合同的充要条件：如果 $n$ 元实二次型 $f = x^TAx$ 与 $g = y^TBy$ 有相同的秩与正惯性指数，则必存在非退化线性代换使 $f = g$ （即 $A$ 与 $B$ 合同）。[来源：p29，黄色标注]

(4) 等价条件/充要条件

⭐ $A \simeq B$ （ $A, B$ 合同） $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 有相同的秩和正惯性指数【整理自PPT，由 p29 推论逻辑推得】
⭐正惯性指数、负惯性指数、秩三者关系： $p + q = r$ 。知道其中两个，就可以求出第三个。[来源：p28，青色框红字标注]

五、正定二次型与正定矩阵

(1) 定义

⭐正定二次型：设 $n$ 元实二次型 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = x^TAx$ ，对任意不全为0的一组实数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ ，都有 $f(c_1, c_2, \cdots, c_n) > 0$ ，则称此二次型为正定二次型，对应的实对称矩阵 $A$ 称为正定矩阵。[来源：第31讲p1]
半正定二次型：对任意不全为0的 $(c_1, \cdots, c_n)$ ，都有 $f(c_1, \cdots, c_n) \geq 0$ ，则称二次型为半正定，矩阵为半正定矩阵。[来源：第31讲p14，红框标注]
负定二次型：对任意不全为0的 $(c_1, \cdots, c_n)$ ，都有 $f(c_1, \cdots, c_n) < 0$ ，则称二次型为负定，矩阵为负定矩阵。[来源：第31讲p14，红框标注]
半负定二次型：对任意不全为0的 $(c_1, \cdots, c_n)$ ，都有 $f(c_1, \cdots, c_n) \leq 0$ 。[来源：第31讲p14，红框标注]
顺序主子式：设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ ，由 $A$ 的前 $k$ 行前 $k$ 列构成的 $k$ 阶子矩阵的行列式称为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式，共有 $n$ 个：
$a_{11}, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad \cdots, \quad |A|$
[来源：第31讲p5]

(2) 定理/命题

标准型判定正定： $n$ 元实二次型 $f = \mu_1x_1^2 + \mu_2x_2^2 + \cdots + \mu_nx_n^2$ （标准型）为正定二次型 $\Leftrightarrow$ $\mu_i > 0$ ， $i = 1, 2, \cdots, n$ 。[来源：第31讲p2]
正定性的不变性： $n$ 元实二次型 $f = x^TAx$ 经非退化线性代换后，正定性不变。[来源：第31讲p2]
⭐正定矩阵行列式：正定矩阵的行列式必大于0。[来源：第31讲p3]
合同变换不改变正定性：合同变换不改变二次型的正定性。[来源：第31讲p10，云朵标注]

(4) 等价条件/充要条件

⭐⭐⭐ 正定二次型（正定矩阵）的等价条件：

设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，以下条件等价：

序号	等价条件	来源
①	$A$ 为正定矩阵（定义）	p1
②	$A$ 的标准型中 $n$ 个平方项系数全为正数	p2
③	$A$ 的正惯性指数等于 $n$	p3，黄色标注
④	$A$ 合同于单位矩阵 $E_n$	p3，黄色标注
⑤	存在可逆实矩阵 $M$ ，使得 $A = M^TM$	p3，黄色标注
⑥	$A$ 的所有顺序主子式都大于0	p6

[来源：第31讲p1-6, p15]

⭐⭐ 半正定二次型（半正定矩阵）的等价条件：[来源：第31讲p15]

设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，秩为 $r$ ，以下条件等价：

$A$ 为半正定矩阵
$A$ 的标准型中 $n$ 个平方项系数全 $\geq 0$
$A$ 的规范标准型中正惯性指数等于秩 $r$
存在半正定矩阵 $B$ ，使得 $A = B^2$
存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $A = P^T\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}P$
存在 $n$ 阶方阵 $M$ （不要求可逆），使得 $A = M^TM$
存在秩为 $r$ 的 $r \times n$ 矩阵 $M$ ，使得 $A = M^TM$
$A$ 的所有主子式（不仅是顺序主子式）都 $\geq 0$

负定与半负定的判定：[来源：第31讲p16]

$f = x^TAx$ 为负定 $\Leftrightarrow$ $g = x^T(-A)x$ 是正定 $\Leftrightarrow$ 标准型中 $n$ 个系数全 $< 0$
$f = x^TAx$ 为半负定 $\Leftrightarrow$ $g = x^T(-A)x$ 是半正定 $\Leftrightarrow$ 标准型中 $n$ 个系数全 $\leq 0$

(5) 反例与易错点

⚠️ 正定要求系数全为正： $f = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2$ 不是正定二次型（标准形中不能有负系数）。[来源：第31讲p1，云朵标注]
⚠️ 正定要求无零系数： $f = x_1^2 + x_3^2$ （3元）不是正定二次型（标准形中不能有0系数，即秩必须等于 $n$ ）。[来源：第31讲p1，云朵标注]
⚠️ 顺序主子式 vs 所有主子式：
- 正定：只需检验顺序主子式全 $> 0$
- 半正定：需检验所有主子式全 $\geq 0$ 【整理自PPT，第31讲p15对比】

(6) 常用技巧

判断正定性的四种方法：[来源：第31讲p4]

直接利用定义：例如，若 $A, B$ 为正定矩阵，则 $A + B$ 正定
化为标准型（配方法或初等变换法），判断 $n$ 个平方项系数是否全为正
化为规范标准型，看正惯性指数是否等于 $n$
顺序主子式法：计算所有顺序主子式是否全 $> 0$

顺序主子式法示例：[来源：第31讲p11]

A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix}

计算： $D_1 = 5 > 0$ ， $D_2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 > 0$ ， $D_3 = |A| = 1 > 0$ （因此 $A$ 正定）

六、重要公式与关系汇总

核心公式

公式	说明
$f = x^TAx$	二次型的矩阵表示
$B = P^TAP$	合同变换
$p + q = r$	正惯性指数 + 负惯性指数 = 秩
$A = M^TM$ （ $M$ 可逆）	正定的充要条件

各类二次型判定总表

类型	标准型系数条件	正惯性指数 $p$	负惯性指数 $q$
正定	全 $> 0$	$p = n$	$q = 0$
半正定	全 $\geq 0$	$p = r$	$q = 0$
负定	全 $< 0$	$p = 0$	$q = n$
半负定	全 $\leq 0$	$p = 0$	$q = r$
不定	有正有负	$0 < p < r$	$0 < q < r$

【整理自PPT，第31讲p14-16】

附：本讲关键页码索引

内容	第30讲页码	第31讲页码
二次型定义	p2-4	-
非退化线性代换	p6	-
矩阵合同定义	p8	-
标准型定义	p10-11	-
配方法	p13-18	-
规范标准型	p20, p22	-
惯性定理	p22-27	-
正/负惯性指数定义	p28	-
正定二次型定义	-	p1
正定等价条件	-	p2-3, p6
顺序主子式定义	-	p5
判断正定方法	-	p4, p11
半正定/负定/半负定定义	-	p14
半正定等价条件总结	-	p15
负定/半负定判定	-	p16