# 第30-31讲：实二次型与正定二次型

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## 关键考点总览（本讲速记）

1. **实二次型的定义**：$n$ 元实二次齐次式，$f = x^TAx$，其中 $A$ 是实对称矩阵
2. **核心对应关系**：$n$ 阶实对称矩阵 $\longleftrightarrow$ $n$ 元实二次型（一一对应）
3. **矩阵合同的定义**：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^TAP = B$
4. **标准型定义**：只含平方项的二次型（矩阵为对角阵）
5. **惯性指数唯一性**（惯性定理）：必可化为 $z_1^2+\cdots+z_p^2 - z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2$（其余 $n-p-q$ 项系数为 $0$），其中 $(p,q)$（等价地 $p$ 与 $r=p+q$）唯一（变量排列/代换矩阵不唯一）
6. **正惯性指数、负惯性指数、秩的关系**：$p + q = r$，知二求一
7. ⭐**正定二次型定义**：对任意非零向量 $x$，都有 $x^TAx > 0$
8. ⭐**正定的等价条件（对 $n$ 阶实对称矩阵 $A$）**：正惯性指数 $= n$ / 合同于单位阵 / 存在可逆实矩阵 $M$ 使 $A=M^TM$ / 顺序主子式全 $>0$
9. **化标准型方法**：配方法、初等变换法
10. **负定/半正定/半负定**的定义与判定

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## 一、实二次型的概念

### (1) 定义

- **实二次型**：称 $n$ 个实变量 $x_1,\cdots,x_n$ 的二次齐次式
  $$
  f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}x_i^2+2\sum_{1\le i<j\le n} a_{ij}x_ix_j\quad (a_{ij}=a_{ji}\in\mathbb{R})
  $$
  
  为 $n$ 元实二次型（写成 $x^TAx$ 时默认取对称矩阵 $A$）。[来源：p2-3]

- **二次型的矩阵表示**：$f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = x^TAx$，其中 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 是实对称矩阵（$A^T = A$），称为**二次型的矩阵**。[来源：p3-4]

- **二次型的秩**：矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 称为二次型的秩。[来源：p4]

### (2) 定理/命题

- ⭐**一一对应定理**：$n$ 阶实对称矩阵与 $n$ 元实二次型之间存在一一对应关系。[来源：p4，黄色标注]

### (6) 常用技巧

- **从二次型写矩阵**：对角元素 $a_{ii}$ = $x_i^2$ 的系数；非对角元素 $a_{ij} = a_{ji}$ = $x_ix_j$ 交叉项系数的一半。[来源：p3，整理自PPT]

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## 二、非退化线性代换与矩阵合同

### (1) 定义

- **非退化线性代换**：设 $x = (x_1, \cdots, x_n)^T$，$y = (y_1, \cdots, y_n)^T$，若 $x = Py$ 且矩阵 $P$ 可逆，则称 $x = Py$ 为**非退化线性代换**（相当于坐标变换）。[来源：p6，红框标注]

- **矩阵的合同**：设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^TAP = B$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ **合同**，记作 $A \simeq B$。[来源：p8，红框标注]

### (2) 定理/命题

- **合同是等价关系**：矩阵的合同关系满足：(1) 自反性；(2) 对称性；(3) 传递性。[来源：p8]

- **线性代换后的二次型**：设 $f = x^TAx$ 是二次型，$x = Py$ 是非退化线性代换，则 $g(y) = y^T(P^TAP)y$ 仍是二次型，对应矩阵为 $B = P^TAP$。[来源：p7]

### (3) 推论/二级结论

- 若 $B = P^TAP$（$P$ 可逆），则二次型 $y^TBy$ 与 $x^TAx$ 只差一个非退化线性代换 $x = Py$。[来源：p7-8]

- **分块对角对称阵的排列合同**：分块对角对称阵 $\text{diag}(A_1, A_2, \cdots, A_s)$ 与其对角块任意排列后的矩阵合同。[来源：p9]

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## 三、化二次型为标准型

### (1) 定义

- ⭐**标准型**：只含有**平方项**的二次型称为**标准型**，即 $f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$。标准型的矩阵是**对角阵**。[来源：p10，黄色标注]

### (2) 定理/命题

- ⭐**标准型存在定理**：设 $A$ 为对称矩阵，则存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^TAP = B$，其中 $B$ 是对角阵。[来源：p10]

- **等价表述**：对任何实二次型 $f = x^TAx$，都存在非退化线性代换 $x = Py$，使得 $g = y^TBy = y^TP^TAPy$ 是标准型。[来源：p11]

### (3) 推论/二级结论

- ⭐**非退化线性代换不改变秩**：作非退化线性替换，不改变二次型的秩。[来源：p11，云朵标注]

- **标准型系数与秩的关系**：标准型中系数非0的项的数目就是二次型的秩。[来源：p11，云朵标注]

### (5) 反例与易错点

- ⚠️ **标准型不唯一**：同一个二次型可以化成不同的标准型（对角阵 $B$ 不唯一）。[来源：p10，青色框标注]

### (6) 常用技巧

**配方法步骤**：[来源：p13-18]

1. **Step 1**：检查表达式中有无某个变量的平方项
2. **Step 2**：若没有平方项，作辅助线性代换（如 $x_1 = y_1 + y_2$, $x_2 = y_1 - y_2$, $x_3 = y_3$, ...）产生平方项
3. **Step 3**：若有某变量的平方项，用**完全平方公式**配方，将含该变量的所有项配成完全平方
4. 重复上述过程直到化为标准型

**初等变换法（合同初等变换）**：对增广矩阵 $\begin{pmatrix} A \\ E_n \end{pmatrix}$ 做一系列初等列变换，并在上半部分 $A$ 上同时做对应的初等行变换（保证始终进行合同变换），把 $A$ 化为对角阵 $D$；此时 $D=P^TAP$，下半部分即为变换矩阵 $P$。【整理自PPT，p12提及】

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## 四、规范标准型与惯性定理

### (1) 定义

- ⭐**规范标准型**：形如 $z_1^2+\cdots+z_p^2 - z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2$（其余 $n-p-q$ 项系数为 $0$，故系数仅可能为 $+1,-1,0$）的标准型称为**规范标准型**。[来源：p22，红框标注]

- ⭐**正惯性指数**：规范标准型（或任意标准型）中，系数为**正**的平方项个数 $p$ 称为二次型的**正惯性指数**。[来源：p28，红框标注]

- ⭐**负惯性指数**：系数为**负**的平方项个数 $q$ 称为二次型的**负惯性指数**。[来源：p28，红框标注]

- **符号差**：$p - q = 2p - r$ 称为符号差。[来源：p28]

### (2) 定理/命题

- ⭐**惯性定理（Sylvester 惯性定理）**：对任何实二次型 $f=x^TAx$，必存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^TAP$ 化为规范标准型；且规范标准型中正、负平方项个数 $(p,q)$（惯性指数）唯一（但代换矩阵 $P$ 与变量排列不唯一）。[来源：p22-23，黄色标注]

### (3) 推论/二级结论

- **合同的规范形式**：任何一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 都合同于对角矩阵
  $$
  \text{diag}(\underbrace{1, \cdots, 1}_{p个}, \underbrace{-1, \cdots, -1}_{q个}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{n-r个}) = \begin{pmatrix} E_p & & \\ & -E_q & \\ & & 0 \end{pmatrix}
  $$
  
  [来源：p20, p29]

- ⭐**二次型合同的充要条件**：如果 $n$ 元实二次型 $f = x^TAx$ 与 $g = y^TBy$ **有相同的秩与正惯性指数**，则必存在非退化线性代换使 $f = g$（即 $A$ 与 $B$ 合同）。[来源：p29，黄色标注]

### (4) 等价条件/充要条件

- ⭐ **$A \simeq B$（$A, B$ 合同）$\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 有相同的秩和正惯性指数**【整理自PPT，由 p29 推论逻辑推得】

- ⭐**正惯性指数、负惯性指数、秩三者关系**：$p + q = r$。知道其中两个，就可以求出第三个。[来源：p28，青色框红字标注]

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## 五、正定二次型与正定矩阵

### (1) 定义

- ⭐**正定二次型**：设 $n$ 元实二次型 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = x^TAx$，对任意**不全为0**的一组实数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$，都有 $f(c_1, c_2, \cdots, c_n) > 0$，则称此二次型为**正定二次型**，对应的实对称矩阵 $A$ 称为**正定矩阵**。[来源：第31讲p1]

- **半正定二次型**：对任意不全为0的 $(c_1, \cdots, c_n)$，都有 $f(c_1, \cdots, c_n) \geq 0$，则称二次型为**半正定**，矩阵为**半正定矩阵**。[来源：第31讲p14，红框标注]

- **负定二次型**：对任意不全为0的 $(c_1, \cdots, c_n)$，都有 $f(c_1, \cdots, c_n) < 0$，则称二次型为**负定**，矩阵为**负定矩阵**。[来源：第31讲p14，红框标注]

- **半负定二次型**：对任意不全为0的 $(c_1, \cdots, c_n)$，都有 $f(c_1, \cdots, c_n) \leq 0$。[来源：第31讲p14，红框标注]

- **顺序主子式**：设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，由 $A$ 的前 $k$ 行前 $k$ 列构成的 $k$ 阶子矩阵的行列式称为 $A$ 的 **$k$ 阶顺序主子式**，共有 $n$ 个：
  $$
  a_{11}, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad \cdots, \quad |A|
  $$
  
  [来源：第31讲p5]

### (2) 定理/命题

- **标准型判定正定**：$n$ 元实二次型 $f = \mu_1x_1^2 + \mu_2x_2^2 + \cdots + \mu_nx_n^2$（标准型）为正定二次型 $\Leftrightarrow$ $\mu_i > 0$，$i = 1, 2, \cdots, n$。[来源：第31讲p2]

- **正定性的不变性**：$n$ 元实二次型 $f = x^TAx$ 经非退化线性代换后，**正定性不变**。[来源：第31讲p2]

- ⭐**正定矩阵行列式**：正定矩阵的行列式必大于0。[来源：第31讲p3]

- **合同变换不改变正定性**：合同变换不改变二次型的正定性。[来源：第31讲p10，云朵标注]

### (4) 等价条件/充要条件

⭐⭐⭐ **正定二次型（正定矩阵）的等价条件**：

设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$，以下条件等价：

| 序号 | 等价条件 | 来源 |
|:---:|:---|:---:|
| ① | $A$ 为正定矩阵（定义） | p1 |
| ② | $A$ 的标准型中 $n$ 个平方项系数**全为正数** | p2 |
| ③ | $A$ 的**正惯性指数等于 $n$** | p3，黄色标注 |
| ④ | $A$ **合同于单位矩阵** $E_n$ | p3，黄色标注 |
| ⑤ | 存在**可逆实矩阵** $M$，使得 $A = M^TM$ | p3，黄色标注 |
| ⑥ | $A$ 的**所有顺序主子式都大于0** | p6 |

[来源：第31讲p1-6, p15]

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⭐⭐ **半正定二次型（半正定矩阵）的等价条件**：[来源：第31讲p15]

设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$，秩为 $r$，以下条件等价：

- $A$ 为半正定矩阵
- $A$ 的标准型中 $n$ 个平方项系数全 $\geq 0$
- $A$ 的规范标准型中正惯性指数等于秩 $r$
- 存在半正定矩阵 $B$，使得 $A = B^2$
- 存在可逆矩阵 $P$，使得 $A = P^T\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}P$
- 存在 $n$ 阶方阵 $M$（不要求可逆），使得 $A = M^TM$
- 存在秩为 $r$ 的 $r \times n$ 矩阵 $M$，使得 $A = M^TM$
- $A$ 的**所有主子式**（不仅是顺序主子式）都 $\geq 0$

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**负定与半负定的判定**：[来源：第31讲p16]

- $f = x^TAx$ 为**负定** $\Leftrightarrow$ $g = x^T(-A)x$ 是**正定** $\Leftrightarrow$ 标准型中 $n$ 个系数全 $< 0$
- $f = x^TAx$ 为**半负定** $\Leftrightarrow$ $g = x^T(-A)x$ 是**半正定** $\Leftrightarrow$ 标准型中 $n$ 个系数全 $\leq 0$

### (5) 反例与易错点

- ⚠️ **正定要求系数全为正**：$f = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2$ **不是**正定二次型（标准形中不能有负系数）。[来源：第31讲p1，云朵标注]

- ⚠️ **正定要求无零系数**：$f = x_1^2 + x_3^2$（3元）**不是**正定二次型（标准形中不能有0系数，即秩必须等于 $n$）。[来源：第31讲p1，云朵标注]

- ⚠️ **顺序主子式 vs 所有主子式**：
  - 正定：只需检验**顺序主子式**全 $> 0$
  - 半正定：需检验**所有主子式**全 $\geq 0$
  【整理自PPT，第31讲p15对比】

### (6) 常用技巧

**判断正定性的四种方法**：[来源：第31讲p4]

1. **直接利用定义**：例如，若 $A, B$ 为正定矩阵，则 $A + B$ 正定
2. **化为标准型**（配方法或初等变换法），判断 $n$ 个平方项系数是否全为正
3. **化为规范标准型**，看正惯性指数是否等于 $n$
4. **顺序主子式法**：计算所有顺序主子式是否全 $> 0$

**顺序主子式法示例**：[来源：第31讲p11]
$$
A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix}
$$

计算：$D_1 = 5 > 0$，$D_2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 > 0$，$D_3 = |A| = 1 > 0$（因此 $A$ 正定）

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## 六、重要公式与关系汇总

### 核心公式

| 公式 | 说明 |
|:---|:---|
| $f = x^TAx$ | 二次型的矩阵表示 |
| $B = P^TAP$ | 合同变换 |
| $p + q = r$ | 正惯性指数 + 负惯性指数 = 秩 |
| $A = M^TM$（$M$ 可逆） | 正定的充要条件 |

### 各类二次型判定总表

| 类型 | 标准型系数条件 | 正惯性指数 $p$ | 负惯性指数 $q$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **正定** | 全 $> 0$ | $p = n$ | $q = 0$ |
| **半正定** | 全 $\geq 0$ | $p = r$ | $q = 0$ |
| **负定** | 全 $< 0$ | $p = 0$ | $q = n$ |
| **半负定** | 全 $\leq 0$ | $p = 0$ | $q = r$ |
| **不定** | 有正有负 | $0 < p < r$ | $0 < q < r$ |

【整理自PPT，第31讲p14-16】

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## 附：本讲关键页码索引

| 内容 | 第30讲页码 | 第31讲页码 |
|:---|:---:|:---:|
| 二次型定义 | p2-4 | - |
| 非退化线性代换 | p6 | - |
| 矩阵合同定义 | p8 | - |
| 标准型定义 | p10-11 | - |
| 配方法 | p13-18 | - |
| 规范标准型 | p20, p22 | - |
| 惯性定理 | p22-27 | - |
| 正/负惯性指数定义 | p28 | - |
| 正定二次型定义 | - | p1 |
| 正定等价条件 | - | p2-3, p6 |
| 顺序主子式定义 | - | p5 |
| 判断正定方法 | - | p4, p11 |
| 半正定/负定/半负定定义 | - | p14 |
| 半正定等价条件总结 | - | p15 |
| 负定/半负定判定 | - | p16 |