# 第28讲：方阵的Jordan标准形与最小多项式

> Arietids Learn · 个人课程复习笔记
> 在线阅读：https://learn.arietids.net/courses/linear-algebra/chapter-3s3/

## 关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ n阶Jordan块的定义及其特征多项式 $(\lambda - \lambda_0)^n$
2. ⭐ Jordan标准形的存在性与唯一性（不计Jordan块次序）
3. ⭐ 化零多项式的定义：$f(A) = O$ 则 $f(x)$ 为 $A$ 的化零多项式
4. ⭐ Cayley-Hamilton定理：特征多项式是化零多项式
5. ⭐ 最小多项式的定义：首项系数为1、次数最低的化零多项式
6. ⭐ 最小多项式整除特征多项式（特征多项式是最小多项式的倍式）
7. ⭐ 相似矩阵有相同的最小多项式
8. ⭐ **（复数域$\mathbb{C}$上）可对角化的充要条件：最小多项式无重根**
9. 分块对角矩阵的最小多项式 = 各对角块最小多项式的最小公倍式
10. 特殊矩阵的化零多项式：幂等矩阵 $x^2-x$、对合矩阵 $x^2-1$

---

## 一、n阶Jordan块

### (1) 定义

- **n阶Jordan块**：主对角线元素均为 $\lambda_0$，次对角线（下方）元素均为1，其余元素为0的 $n$ 阶方阵，记作 $J_n(\lambda_0)$。[来源：p1]
  
  具体形式：
  - 1阶：$(\lambda_0)$
  - 2阶：$\begin{pmatrix} \lambda_0 & 0 \\ 1 & \lambda_0 \end{pmatrix}$
  - 3阶：$\begin{pmatrix} \lambda_0 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda_0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda_0 \end{pmatrix}$
  - n阶：主对角线为 $\lambda_0$，下次对角线为1

### (2) 定理/命题

- 设 $J$ 是一个 $n$ 阶Jordan块，对角线元素均为 $\lambda_0$。则：[来源：p2, p16]
  1. 方阵 $J$ 的**特征多项式**为 $|\lambda E - J| = (\lambda - \lambda_0)^n$
  2. 方阵 $\lambda_0 E - J$ 是**幂零指数为 $n$ 的幂零矩阵**
  3. 方阵 $J$ 的**最小多项式**为 $(\lambda - \lambda_0)^n$

### (3) 推论/二级结论

- ⭐ **（单个Jordan块）Jordan块的特征多项式等于最小多项式**，均为 $(\lambda - \lambda_0)^n$。【整理自PPT】（由p2和p16结合推得）
- 设 $J_1, J_2$ 是 $n$ 阶Jordan块，对角线元素分别为 $\lambda_1, \lambda_2$。若 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，则 $J_1$ 和 $J_2$ **不相似**。[来源：p3]

---

## 二、Jordan标准形

### (1) 定义

- **Jordan标准形矩阵**：形如分块对角矩阵 $J = \text{diag}(J_1, J_2, \ldots, J_s)$，其中每个 $J_i$ 都是Jordan块。[来源：p4]

$$
J = \begin{pmatrix} J_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_s \end{pmatrix}_{n \times n}
$$


### (2) 定理/命题

- ⭐ **Jordan标准形存在性定理**：复数域 $\mathbb{C}$ 上的任意 $n$ 阶方阵 $A$，都与某个Jordan标准形矩阵 $J$ 相似。[来源：p5]
- ⭐ **Jordan标准形唯一性**：若不考虑 $J$ 中对角线上Jordan块的次序，则Jordan标准形矩阵是**唯一的**。[来源：p5]

---

## 三、方阵的化零多项式

### (1) 定义

- **化零多项式（零化多项式）**：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$f(x)$ 为非零多项式。若 $f(A) = O$（零矩阵），则称 $f(x)$ 为 $A$ 的**化零多项式**。[来源：p6]

### (2) 定理/命题

- ⭐ **Cayley-Hamilton定理**：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$f(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$ 是 $A$ 的特征多项式。则 $f(A) = O$。[来源：p12，黄色框标注]
  - 即：**方阵的特征多项式是它的化零多项式**。

- **化零多项式的倍式性质**：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$f(x)$ 为 $A$ 的化零多项式（即 $f(A) = O$）。对任意非零多项式 $g(x)$，都有 $f(x)g(x)$ 也是 $A$ 的化零多项式。[来源：p10]
  - ⭐ **核心结论**：**化零多项式的倍式还是化零多项式**。[来源：p10，黄色框标注]

- **分块对角矩阵的化零多项式**：设 $A = \text{diag}(A_1, A_2)$，$g(x)$ 是 $A_1$ 的化零多项式，$h(x)$ 是 $A_2$ 的化零多项式。则 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的**最小公倍式**是 $A$ 的化零多项式。[来源：p11，黄色框标注]

### (3) 常用例子

| 矩阵类型 | 化零多项式 | 来源 |
|---------|----------|------|
| **秩为1**的 $n$ 阶方阵 $A$，迹为 $\text{tr}(A)$ | 可取 $f(x)=x^2-\text{tr}(A)x$（一般地 $x^k-\text{tr}(A)^{k-1}x,\ k\ge2$ 也可） | p7 |
| **幂等矩阵** $A$（即 $A^2 = A$） | $f(x) = x^2 - x = x(x-1)$ | p8 |
| **对合矩阵** $A$（即 $A^2 = E$） | $f(x) = x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ | p9 |

---

## 四、方阵的最小多项式

### (1) 定义

- ⭐ **最小多项式**：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。$A$ 的**首项系数为1、次数最低**的化零多项式称为 $A$ 的**最小多项式**，记作 $m_A(\lambda)$ 或 $m_A(x)$。[来源：p13，黄色框标注]

### (2) 定理/命题（引理）

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。则：[来源：p14]

1. $A$ 的任意化零多项式都是 $A$ 的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 的**倍式**。
   - ⭐ 特别地，**$A$ 的特征多项式是 $m_A(\lambda)$ 的倍式**。[来源：p14，黄色框标注]
2. $A$ 的最小多项式**存在且唯一**。[来源：p14]
3. ⭐ **相似的方阵有相同的最小多项式**。[来源：p14，黄色框标注]

### (3) 分块对角矩阵的最小多项式

- 设 $A = \text{diag}(A_1, A_2)$，$m_{A_1}(x)$ 是 $A_1$ 的最小多项式，$m_{A_2}(x)$ 是 $A_2$ 的最小多项式。则 $m_{A_1}(x)$ 和 $m_{A_2}(x)$ 的**最小公倍式**是 $A$ 的最小多项式。[来源：p15，黄色框标注]

### (4) Jordan标准形的最小多项式

- 设 $J = \text{diag}(J_1, J_2, \ldots, J_s)$ 是Jordan标准形矩阵，其中 $J_i$ 是对角线元素为 $\lambda_i$、阶数为 $n_i$ 的Jordan块。则：[来源：p17]
  
  $m_J(x)$ 为 $(x - \lambda_1)^{n_1}, \ldots, (x - \lambda_s)^{n_s}$ 这 $s$ 个多项式的**最小公倍式**。
  
  - ⭐ **关键技巧**：**相同特征值的选阶数最大的！**[来源：p17，黄色框标注]

### (5) 特征值与最小多项式的关系

- **定理**：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。则 $A$ 的特征值必为 $m_A(x) = 0$ 的根。[来源：p18]
  - 即：特征值是最小多项式的根。

---

## 五、可对角化的判定

### (1) 充要条件（核心定理）

- ⭐⭐ **定理**：设 $A$ 为复数域上 $n$ 阶方阵。则 **$A$ 相似于对角阵** $\Leftrightarrow$ **$A$ 的最小多项式 $m_A(x)$ 没有重根**。[来源：p19，黄色框+蓝色框双重标注]

### (2) 典型应用

- **例1**：设 $A$ 为复数域上 $n$ 阶方阵，$f(x) = (x-a)(x-b)$，$a \neq b$。若 $f(A) = O$，则 $A$ 相似于对角阵。[来源：p20]
  - 分析：由于 $f(A) = O$，最小多项式整除 $f(x) = (x-a)(x-b)$，因此最小多项式只能是 $(x-a)$、$(x-b)$ 或 $(x-a)(x-b)$，均无重根。

- **例2（周期矩阵）**：设 $A$ 为复数域上 $n$ 阶方阵，存在正整数 $k$ 使得 $A^k = E$（这样的矩阵被叫做**周期矩阵**）。则 $A$ 相似于对角阵。[来源：p21]
  - 分析：$x^k - 1$ 是化零多项式，其在复数域上分解为 $k$ 个不同一次因式的乘积（$k$ 次单位根两两不同），故最小多项式无重根。

---

## 六、常用技巧总结

### (6) 常用技巧

1. **判断可对角化（复数域上）**：检验最小多项式是否有重根。若特征多项式无重根，则必可对角化；若有重根，需进一步分析最小多项式。【整理自PPT】

2. **求Jordan标准形的最小多项式**：对每个不同特征值 $\lambda_i$，找出所有以 $\lambda_i$ 为对角元的Jordan块中**阶数最大**的那个，其对应因子 $(x - \lambda_i)^{n_{\max}}$ 参与最小公倍式的计算。[来源：p17]

3. **利用化零多项式判断可对角化**：若能找到一个**无重根**的化零多项式，则矩阵可对角化。[来源：p19-p21]

---

# 第29讲：相似标准形的应用 - 知识集锦

## 关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 幂等矩阵的行列式计算：$|A + tE|$
2. ⭐ 利用化零多项式计算矩阵幂 $A^m$
3. ⭐ 利用对角化求矩阵幂
4. ⭐ 利用矩阵对角化求递推数列通项
5. ⭐ 与对角矩阵可交换的矩阵的刻画
6. ⭐ 可交换矩阵的对角化性质

---

## 一、典型例题与结论

### (1) 幂等矩阵的行列式

- **例**：设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵（$A^2 = A$），且 $r(A) = r$。求行列式 $|A + tE|$ 的值。[来源：p1]

- **结论**：幂等矩阵的特征值只能为0或1。若 $r(A) = r$，则特征值1的重数为 $r$，特征值0的重数为 $n - r$。
  
  因此 $|A + tE| = t^{n-r}(1+t)^r$。【整理自PPT】（由幂等矩阵性质推得）

### (2) 利用化零多项式求矩阵幂

- **例**：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 - 5A + 6E = O$。求 $A^m$。[来源：p2]

- **方法要点**：
  1. 由 $A^2 - 5A + 6E = O$ 知 $(A-2E)(A-3E) = O$
  2. 最小多项式无重根，故 $A$ 可对角化
  3. $A$ 的特征值只能是2或3
  4. 利用对角化 $A = P\Lambda P^{-1}$ 计算 $A^m = P\Lambda^m P^{-1}$

### (3) 由特征值和特征向量求矩阵幂

- **例**：设 $A$ 为3阶方阵，$A$ 的属于特征值 $0, 1, -1$ 的特征向量分别为 $(1, 0, 0)^T$, $(1, 1, 0)^T$, $(0, 1, 1)^T$。求 $A^m$。[来源：p3]

- **方法要点**：
  1. 构造可逆矩阵 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$（列向量为特征向量）
  2. $A = P \cdot \text{diag}(0, 1, -1) \cdot P^{-1}$
  3. $A^m = P \cdot \text{diag}(0, 1, (-1)^m) \cdot P^{-1}$

### (4) 矩阵对角化求递推数列

- **例**：设 $x_0 = 2$, $y_0 = 1$，且递推关系：[来源：p4]
  $$
  \begin{cases} x_n = x_{n-1} + 2y_{n-1} \\ y_n = 4x_{n-1} + 3y_{n-1} \end{cases}
  $$
  
  求 $x_{100}$。

- **方法要点**：
  1. 设 $\mathbf{v}_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$，转化为 $\mathbf{v}_n = A \mathbf{v}_{n-1}$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$
  2. 对 $A$ 进行对角化
  3. 利用 $\mathbf{v}_{100} = A^{100} \mathbf{v}_0$ 计算

### (5) 与对角矩阵可交换的矩阵

- **例**：设 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是 $n$ 个**两两不同**的数，$A = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$ 是对角矩阵。求与 $A$ 可交换的全体矩阵。[来源：p5]

- ⭐ **结论**：与特征值两两不同的对角矩阵可交换的矩阵**必为对角矩阵**。【整理自PPT】

### (6) 可交换矩阵的对角化

- **例**：设 $A$ 有 $n$ 个两两不同的特征值，$AB = BA$。证明：$B$ 相似于对角矩阵。[来源：p6]

- ⭐ **结论**：若 $A$ 有 $n$ 个不同特征值（即 $A$ 可对角化为特征值两两不同的对角阵），且 $AB = BA$，则 $B$ 也可对角化。【整理自PPT】

- **证明思路**：$A$ 可对角化为 $\Lambda = P^{-1}AP$，其中 $\Lambda$ 特征值两两不同。由 $AB = BA$ 可得 $(P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = (P^{-1}BP)(P^{-1}AP)$，即 $\Lambda \cdot (P^{-1}BP) = (P^{-1}BP) \cdot \Lambda$。由(5)的结论，$P^{-1}BP$ 为对角阵，故 $B$ 可对角化。

### (7) 分块对角矩阵的对角化

- **例**：已知方阵 $A$ 可相似对角化。试证：方阵 $\begin{pmatrix} A & O \\ O & A \end{pmatrix}$ 可以相似对角化。[来源：p7]

- **证明要点**：
  1. 设 $A$ 的最小多项式为 $m_A(x)$，无重根
  2. 分块对角矩阵 $\begin{pmatrix} A & O \\ O & A \end{pmatrix}$ 的最小多项式为 $\text{lcm}(m_A(x), m_A(x)) = m_A(x)$
  3. 仍无重根，故可对角化

---

## 二、方法论总结

### 常用技巧

1. **矩阵幂的计算**：
   - 方法一：对角化 $A = P\Lambda P^{-1}$，则 $A^m = P\Lambda^m P^{-1}$
   - 方法二：利用化零多项式降幂

2. **递推数列问题**：转化为矩阵幂问题，利用对角化求解

3. **可交换矩阵的性质**：若 $A$ 的特征值两两不同且 $AB = BA$，则 $A$ 和 $B$ 可**同时对角化**

4. **判断可对角化**：检验最小多项式是否有重根，或直接验证每个特征值的几何重数是否等于代数重数

---

## 三、核心公式速查表

| 内容 | 公式/结论 | 来源 |
|------|----------|------|
| Jordan块的特征多项式 | $(\lambda - \lambda_0)^n$ | 第28讲p2 |
| Jordan块的最小多项式 | $(\lambda - \lambda_0)^n$ | 第28讲p16 |
| 幂等矩阵的化零多项式 | $x^2 - x$ | 第28讲p8 |
| 对合矩阵的化零多项式 | $x^2 - 1$ | 第28讲p9 |
| 可对角化充要条件 | 最小多项式无重根 | 第28讲p19 |
| 分块对角阵的最小多项式 | 各块最小多项式的最小公倍式 | 第28讲p15 |
| 特征多项式与最小多项式 | 特征多项式是最小多项式的倍式 | 第28讲p14 |