# 第27讲：相似矩阵与矩阵的相似对角阵

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> 说明：下文关于“特征值/特征向量/可对角化/几何重数”等结论均默认在同一数域上讨论（常取复数域 $\mathbb{C}$；若限定在实数域 $\mathbb{R}$，需额外保证相关特征值属于 $\mathbb{R}$）。

## 关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 相似矩阵的定义：$P^{-1}AP = B$，记作 $A \sim B$
2. ⭐ 相似关系是等价关系（自反性、对称性、传递性）
3. ⭐ 相似矩阵有相同的特征多项式、特征值、行列式、迹
4. ⭐ $AB$ 与 $BA$ 有相同的特征值（连重数都一样）
5. ⭐ 矩阵可对角化 $\Leftrightarrow$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
6. ⭐ 可对角化的另一等价条件：每个特征值的几何重数 = 代数重数
7. ⭐ 几何重数 $\leq$ 代数重数（恒成立）
8. ⭐ $n$ 个不同特征值 $\Rightarrow$ 必可对角化
9. 反例：$A_1 \sim B_1$，$A_2 \sim B_2$ **不能**推出 $A_1 + A_2 \sim B_1 + B_2$（变换矩阵P不同时）
10. 计算技巧：$A = PBP^{-1} \Rightarrow A^k = PB^kP^{-1}$

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## 一、相似矩阵的概念

### (1) 定义

- **相似矩阵**：设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，$P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $P^{-1}AP = B$，则称矩阵 $A$ 相似于矩阵 $B$，记作 $A \sim B$。[来源：p1]

### (2) 相似关系的性质

- **矩阵间的相似关系是一个等价关系**：[来源：p2]
  - **自反性**：$A \sim A$（因为 $E^{-1}AE = A$）
  - **对称性**：若 $A \sim B$，则 $B \sim A$（若 $P^{-1}AP = B$，则 $PBP^{-1} = A$）
  - **传递性**：若 $A \sim B$，$B \sim C$，则 $A \sim C$（若 $P_1^{-1}AP_1 = B$，$P_2^{-1}BP_2 = C$，则 $(P_1P_2)^{-1}A(P_1P_2) = C$）

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## 二、相似矩阵的性质

### (1) 特征多项式与特征值

- ⭐ **若 $A \sim B$，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式，相同的特征值。** 进一步，$|A| = |B|$ 且 $\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B)$。[来源：p5，p11]

- **证明要点**：$|\lambda E - B| = |\lambda E - P^{-1}AP| = |P^{-1}(\lambda E - A)P| = |P^{-1}||\lambda E - A||P| = |\lambda E - A|$ [来源：p5]

### (2) 转置矩阵

- ⭐ **若 $A \sim B$，则 $A^T \sim B^T$。** [来源：p7，红色方框标注]

- **证明要点**：由 $P^{-1}AP = B$，两边转置得 $P^T A^T (P^{-1})^T = B^T$，即 $P^T A^T (P^T)^{-1} = B^T$ [来源：p7]

### (3) 同一变换矩阵下的运算封闭性

- ⭐ **若 $P^{-1}A_1P = B_1$，$P^{-1}A_2P = B_2$（同一个 $P$），则**：
  - $A_1 + A_2 \sim B_1 + B_2$
  - $A_1A_2 \sim B_1B_2$
  
  [来源：p8，p11]

- **证明**：$P^{-1}(A_1 + A_2)P = P^{-1}A_1P + P^{-1}A_2P = B_1 + B_2$；$B_1B_2 = (P^{-1}A_1P)(P^{-1}A_2P) = P^{-1}(A_1A_2)P$ [来源：p8]

### (4) 可逆性保持

- **若 $A \sim B$，则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $B$ 可逆；且当可逆时，$A^{-1} \sim B^{-1}$。** [来源：p9，p11]

- **证明**：由 $P^{-1}AP = B$，两边求逆得 $B^{-1} = (P^{-1}AP)^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$ [来源：p9]

### (5) 数乘、幂与多项式

- ⭐ **若 $A \sim B$，则**：
  - $kA \sim kB$（$k$ 为常数）
  - $A^m \sim B^m$（$m$ 为正整数）
  - $g(A) \sim g(B)$，其中 $g(x) = a_0x^m + a_1x^{m-1} + \cdots + a_{m-1}x + a_m$（因此 $g(A)=a_0A^m+a_1A^{m-1}+\cdots+a_{m-1}A+a_mE$）
  
  [来源：p10，p11]

- ⭐ **重要公式**：$P^{-1}g(A)P = g(P^{-1}AP) = g(B)$ [来源：p10，黄色标注]

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## 三、重要结论与技巧

### (1) AB与BA的特征值

- ⭐ **设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $AB$ 与 $BA$ 有相同的特征值（连重数都一样）。** [来源：p6]

- **证明方法**：利用分块矩阵证明 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ A & AB \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} BA & 0 \\ A & 0 \end{pmatrix}$ 相似 [来源：p6]

- **关键等式**：$|\lambda E - AB| = |\lambda E - BA|$（因此 $AB$ 与 $BA$ 的特征多项式相同，特征值含重数相同） [来源：p6]

### (2) 计算矩阵幂的技巧

- ⭐ **$A = PBP^{-1} \Rightarrow A^k = PB^kP^{-1}$** [来源：p12，黄色标注]

- ⭐ **$AP = PB \Leftrightarrow A(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)B$** [来源：p12，黄色标注]

### (3) 分块对角矩阵的相似

- **分块对角矩阵 $\mathrm{diag}(A_1, A_2, \ldots, A_s)$ 与 $\mathrm{diag}(A_{i_1}, A_{i_2}, \ldots, A_{i_s})$ 相似**，其中 $i_1, i_2, \ldots, i_s$ 是 $1, 2, \ldots, s$ 的一个排列。[来源：p3]

### (4) 初等矩阵的相似类

- **所有 $n$ 阶第三类初等矩阵都相似于矩阵** $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$ [来源：p4]

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## 四、矩阵与对角矩阵相似的条件

### (1) 核心定理

- ⭐ **定理：$n$ 阶矩阵 $A$ 与一个对角矩阵 $B$ 相似 $\Leftrightarrow$ 矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。** [来源：p14，p15]

- **必要性**：若 $P^{-1}AP = \Lambda$（对角矩阵），则 $AP = P\Lambda$。设 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$，则 $A\alpha_i = \lambda_i\alpha_i$，即 $\alpha_i$ 是 $A$ 关于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。由于 $P$ 可逆，$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 线性无关。[来源：p13]

- **充分性**：将 $n$ 个线性无关的特征向量一列列摆好，成为矩阵 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$，则 $P$ 可逆，且 $P^{-1}AP = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$。[来源：p14，红色方框标注]

### (2) 推论

- ⭐ **推论：若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则矩阵 $A$ 必能相似于对角矩阵。** [来源：p15]

### (3) 几何重数与代数重数

- ⭐ **定理：设 $\lambda_i$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的一个 $n_i$ 重特征值（代数重数），而 $\dim V_{\lambda_i} = m_i$（几何重数），则 $m_i \leq n_i$。**（几何重数 $\leq$ 代数重数）[来源：p16，黄色标注]

- **推论**：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $s$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s$，代数重数分别为 $n_1, n_2, \ldots, n_s$（则 $n_1 + n_2 + \cdots + n_s = n$），几何重数分别为 $m_1, m_2, \ldots, m_s$，则 $m_1 + m_2 + \cdots + m_s \leq n$。[来源：p16]

### (4) 可对角化的等价条件

- ⭐ **矩阵 $A$ 相似于对角矩阵当且仅当 $m_i = n_i$，$i = 1, 2, \ldots, s$。**（每一个特征值的几何重数等于代数重数）[来源：p16，黄色标注及红色方框标注]

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## 五、判断矩阵可对角化的方法和步骤

### (1) 完整步骤

1. **求出矩阵 $A$ 的所有不同的特征值** $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s$，以及它们的**代数重数** $n_1, n_2, \ldots, n_s$；

2. **对每一个特征值 $\lambda_i$，求出矩阵 $\lambda_i E - A$ 的秩** $r(\lambda_i E - A)$：
   - 若存在一个 $\lambda_i$ 使得 $r(\lambda_i E - A) > n - n_i$，则矩阵 $A$ **不能**相似于对角矩阵
   - 若对所有的 $\lambda_i$，都有 $r(\lambda_i E - A) = n - n_i$，$i = 1, 2, \ldots, s$，则矩阵 $A$ **能够**与对角矩阵相似

3. **求出齐次线性方程组** $(\lambda_i E - A)X = 0$ 的一个基础解系（在第2步条件 $r(\lambda_iE-A)=n-n_i$ 成立时，该基础解系可取 $n_i$ 个向量）$\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \ldots, \alpha_{in_i}$，$i = 1, 2, \ldots, s$

4. **令** $P = (\alpha_{11}, \alpha_{12}, \ldots, \alpha_{1n_1}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \ldots, \alpha_{2n_2}, \ldots, \alpha_{s1}, \alpha_{s2}, \ldots, \alpha_{sn_s})$

5. **则** $P^{-1}AP = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1, \ldots, \lambda_1}_{n_1\text{个}}, \ldots, \underbrace{\lambda_s, \ldots, \lambda_s}_{n_s\text{个}})$

[来源：p20，p21]

### (2) 快速判定技巧

- **几何重数** = $n - r(\lambda_i E - A)$【整理自PPT】
- 若对某个 $\lambda_i$，几何重数 $< $ 代数重数，则不可对角化

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## 六、反例与易错点

### (1) 相似的加法不封闭（变换矩阵不同时）

- ⭐ **若 $A_1 \sim B_1$（通过 $P_1$），$A_2 \sim B_2$（通过 $P_2$），则 $A_1 + A_2$ 与 $B_1 + B_2$ **不一定**相似。** [来源：p8，"NO"标记]

- **注意**：只有当**同一个可逆矩阵 $P$** 使得 $P^{-1}A_1P = B_1$ 且 $P^{-1}A_2P = B_2$ 时，才有 $A_1 + A_2 \sim B_1 + B_2$。

### (2) 不能对角化的例子

- **例1**：矩阵 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，特征值为 $\lambda_1 = 2$（代数重数1），$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$（代数重数2）。对 $\lambda = 1$，基础解系只有1个向量（几何重数1 $<$ 代数重数2），故**不能对角化**。[来源：p19]

- **例2**：矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，特征值为3（代数重数3）。$r(3E - A) = 2$，几何重数 $= 3 - 2 = 1 < 3$，故**不能相似对角化**为 $\mathrm{diag}(3, 3, 3)$。[来源：p22]

### (3) 可以对角化的例子

- **例**：矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，特征值为 $\lambda_1 = 2$（重数1），$\lambda_2 = \lambda_3 = -1$（重数2）。对每个特征值，几何重数都等于代数重数，可以对角化。[来源：p18]

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## 七、常用技巧

### (1) 特征值法求行列式

- **若行列式的每行（列）元素和都一样**，可考虑用特征值法计算。[来源：p24，红色标注]

- **方法**：求出行列式对应矩阵的全部特征值及其重数，则行列式 = 所有特征值的乘积（计重数）。[来源：p25]

### (2) 判断两矩阵是否相似

- 若两矩阵有**不同的特征值**，则不相似
- 若两矩阵都可对角化且对角化后的对角矩阵相同（特征值相同），则相似
- **例**：$A = \mathrm{diag}(1, 3, 2)$ 与 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 相似，因为 $B$ 有3个不同特征值1, 2, 3，可对角化为 $\mathrm{diag}(1, 3, 2) = A$。[来源：p23]

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## 八、公式速查表

| 条件 | 结论 |
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| $A \sim B$ | 特征多项式相同，特征值相同，$\det(A)=\det(B)$，$\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B)$ |
| $A \sim B$ | $A^T \sim B^T$，$A^{-1} \sim B^{-1}$（若可逆），$A^m \sim B^m$，$g(A) \sim g(B)$ |
| $P^{-1}A_1P = B_1$，$P^{-1}A_2P = B_2$（同一$P$） | $A_1 + A_2 \sim B_1 + B_2$，$A_1A_2 \sim B_1B_2$ |
| $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵 | $AB$ 与 $BA$ 有相同特征值（含重数） |
| $A$ 有 $n$ 个不同特征值 | $A$ 可对角化 |
| $A$ 可对角化 | $\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关特征向量 $\Leftrightarrow$ 每个特征值几何重数=代数重数 |
| $\lambda_i$ 是 $n_i$ 重特征值 | 几何重数 $m_i \leq n_i$（代数重数） |

【整理自PPT】