# 线性代数知识集锦：矩阵的秩与线性方程组

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> **涵盖讲次**：第17讲（矩阵的秩）、第19讲（高斯消元法和方程组解与秩）、第24讲（方程组解的结构）

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## 关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ **矩阵秩的定义**：存在一个 $r$ 阶子式不为0，而所有 $r+1$ 阶子式都为0
2. ⭐ **秩的7条基本性质**：唯一性、上界、转置不变性、阶梯形秩等
3. ⭐ **初等变换不改变矩阵的秩**
4. ⭐ **乘以可逆阵秩不变**：$r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)$
5. ⭐ **线性方程组解的判定定理**：$r(A) = r(\tilde{A})$ 时有解
6. ⭐ **自由未知量个数** = 未知数个数 $-$ 系数矩阵的秩
7. ⭐ **基础解系定义**：线性无关 + 可表出所有解（两个条件缺一不可）
8. ⭐ **基础解系向量个数** = $n - r(A)$
9. ⭐ **非齐次通解 = 特解 + 对应齐次方程组的通解**
10. ⭐ **秩不等式**：$r(A+B) \leq r(A) + r(B)$

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# 第17讲：矩阵的秩 - 知识集锦

## 一、矩阵秩的概念

### (1) 定义

- **$k$ 阶子式**：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，令 $k \leq \min\{m, n\}$，从 $A$ 中取 $k$ 行 $k$ 列的交叉点上元素，按照它们在矩阵 $A$ 中的相对位置组成的 $k$ 阶行列式。[来源：p1]

- ⭐ **矩阵的秩**：设矩阵 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，若存在一个 $r$ 阶子式不为0，而矩阵 $A$ 的全部 $r+1$ 阶子式都为0，则称矩阵 $A$ 的秩为 $r$，记作 $r(A) = r$。[来源：p14，黄色高亮]

- **秩的等价刻画**：
  $$
  \min\{k \mid \text{矩阵}A\text{的全部}k\text{阶子式都等于}0\} = \max\{k \mid \text{矩阵}A\text{存在一个}k\text{阶子式不等于}0\} + 1
  $$
  
  [来源：p13]

### (2) 引理/命题

- **引理1**：如果矩阵 $A$ 的全部 $k$ 阶子式都等于0，那么矩阵 $A$ 的全部 $k+1$ 阶的子式也都等于0。[来源：p9，黄色高亮]

- **引理2**：如果矩阵 $A$ 存在一个 $k$ 阶子式不等于0，那么矩阵 $A$ 一定存在一个 $k-1$ 阶子式也不等于0。[来源：p11，黄色高亮]

- **存在唯一性**：存在唯一非负整数 $r$，使得矩阵 $A$ 中有一个 $r$ 阶子式不等于0，但是所有的 $r+1$ 阶的子式都等于0。[来源：p13]

### (3) 矩阵秩的性质

⭐ **矩阵秩的7条性质**：[来源：p15]

| 序号 | 性质 |
|:---:|:---|
| (1) | 秩具有**唯一性** |
| (2) | $r(A_{m \times n}) \leq \min\{m, n\}$ |
| (3) | 若矩阵 $A$ 有一个 $r$ 阶子式不为0，则 $r(A) \geq r$ |
| (4) | 若矩阵 $A$ 的所有 $r$ 阶子式都为0，则 $r(A) < r$ |
| (5) | $r(A^T) = r(A)$（转置不改变秩） |
| (6) | **行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的数目** |
| (7) | **$n$ 阶可逆矩阵的秩等于 $n$** |

### (4) 满秩矩阵与等价条件

- **零矩阵的秩**：$r(O) = 0$。[来源：p16]

- **行（列）满秩矩阵**：设矩阵 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵，若 $r(A) = m$（$r(A) = n$），则称矩阵 $A$ 为**行（列）满秩矩阵**。[来源：p16]

- ⭐ **可逆矩阵的等价条件**：
  $$
  A\text{是}n\text{阶可逆阵} \Leftrightarrow A\text{是}n\text{阶满秩矩阵} \Leftrightarrow A\text{是}n\text{阶非奇异阵}
  $$
  
  [来源：p16]

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## 二、矩阵秩与初等变换

### (1) 定理

- ⭐ **定理**：**初等变换不改变矩阵的秩**。[来源：p17]

- **矩阵秩是矩阵变换下的不变量**。[来源：p17]

### (2) 推论

- **标准形矩阵**：设矩阵 $A$ 的秩为 $r$，即 $r(A) = r$，则 $A$ 的标准型矩阵为：
  $$
  \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}
  $$
  
  [来源：p18]

- **等价矩阵分类**：全部 $m$ 行 $n$ 列矩阵，按照等价关系可以分为 $\min\{m, n\} + 1$ 类。[来源：p19]

### (3) 满秩矩阵的标准形

- 列满秩矩阵（$r(A) = n$）的标准形：$\begin{pmatrix} E_n \\ O \end{pmatrix}$【整理自PPT】

- 行满秩矩阵（$r(A) = m$）的标准形：$(E_m \quad O)$【整理自PPT】

- **可逆矩阵的标准形**：$E_n$（单位矩阵）。[来源：p22]

- **列（行）满秩矩阵可以只经过初等行（列）变换化为标准型**。[来源：p23]

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## 三、秩与可逆阵的乘积

### (1) 定理

- ⭐ **定理**：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$P$ 为 $m$ 阶可逆矩阵，$Q$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则：
  $$
  r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)
  $$
  
  即：**矩阵乘以一个可逆阵，秩不变**。[来源：p26，红色高亮]

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## 四、满秩分解

### (1) 定理

- ⭐ **满秩分解定理**：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则：
  $$
  r(A) = r \Leftrightarrow \text{存在}m \times r\text{矩阵}P\text{和}r \times n\text{矩阵}Q\text{，满足}r(P) = r(Q) = r\text{，且}A = PQ
  $$
  
  [来源：p30，标注"满秩分解"]

### (2) 推论

- **秩为1矩阵的分解**：$A$ 是秩为1的 $m \times n$ 矩阵，当且仅当存在 $m$ 维非0列向量 $\alpha$ 和 $n$ 维非0列向量 $\beta$，使得 $A = \alpha \beta^T$。[来源：p30]

- **秩为1方阵的幂次公式**：$A$ 为 $n$ 阶方阵，$r(A) = 1$，那么：
  $$
  A^m = (\beta^T \alpha)^{m-1} A = \text{tr}(A)^{m-1} A
  $$
  
  [来源：p30]

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# 第19讲：高斯消元法和方程组解与秩 - 知识集锦

## 一、系数矩阵与增广矩阵的秩

### (1) 基本不等式

- ⭐ **秩的关系**：
  $$
  r(A) \leq r(\tilde{A}) \leq r(A) + 1
  $$
  
  其中 $\tilde{A} = (A \mid B)$ 是增广矩阵。[来源：p6，蓝色大字]

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## 二、高斯消元法

### (1) 基本概念

- **同解方程组**：如果两个方程组的解的集合完全相同，那么我们说这两个方程组是**同解方程组**。[来源：p8]

### (2) 消元法步骤

⭐ **消元法解线性方程组 $AX = B$ 的方法**：[来源：p8，黄色框]

1. 通过初等行变换将线性方程组的增广矩阵 $\tilde{A}$ 化成规范的阶梯型矩阵 $T$
2. 写出以 $T$ 为增广矩阵的同解方程组
3. 将一些自由未知量移到等式右边

### (3) 自由未知量

- ⭐ **自由未知量确定方法**：化为简化的阶梯形矩阵后，除去每个非0行的第一个非0元素所对应的未知数后，剩下的那些未知数。[来源：p8，红色字]

- ⭐ **自由未知量的个数**：$n - r(A)$（未知数个数 $-$ 系数矩阵的秩）。[来源：p8，黄色高亮]

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## 三、线性方程组解的判定

### (1) 解的情况总结

⭐ **线性方程组 $AX = B$ 解的判定**：[来源：p16，黄色高亮]

| 条件 | 解的情况 |
|:---|:---|
| $r(A) = r(\tilde{A})$ | **有解** |
| $r(A) = r(\tilde{A})$ 且 $n - r(A) = 0$（无自由未知量） | **有唯一解** |
| $r(A) = r(\tilde{A})$ 且 $n - r(A) > 0$（有自由未知量） | **有无穷多解** |
| $r(A) \neq r(\tilde{A})$（即 $r(A) < r(\tilde{A})$） | **无解** |

### (2) 定理的等价表述

⭐ **定理**：线性方程组 $AX = B$：[来源：p17]

- **有解** $\Leftrightarrow$ $r(A) = r(\tilde{A})$
- **有唯一解** $\Leftrightarrow$ $r(A) = r(\tilde{A}) = n$（没有自由未知量）
- **有无穷多解** $\Leftrightarrow$ $r(A) = r(\tilde{A}) = r < n$（有自由未知量）
- **无解** $\Leftrightarrow$ $r(A) < r(\tilde{A})$

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## 四、齐次线性方程组的解

### (1) 推论

⭐ **齐次线性方程组 $AX = O$ 的解**：[来源：p18，黄色高亮]

- 齐次线性方程组 $AX = O$ **总是有解的**（至少有零解）

- **存在非零解** $\Leftrightarrow$ $r(A) = r < n$（系数矩阵的秩 $<$ 未知数个数）

- **只有零解** $\Leftrightarrow$ $r(A) = n$（系数矩阵的秩 $=$ 未知数个数）

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## 五、秩与方程组的核心联系

### (1) 总结

⭐ **矩阵的秩和方程组的关系**：[来源：p20]

1. **系数矩阵和增广矩阵的秩决定方程组解的存在**
2. **在有解的情况下，矩阵的秩决定未知量自由度的数目**

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## 六、行列满秩与方程组解（易错点）

### (5) 反例与易错点

⭐ **思考题辨析**：[来源：p22]

| 命题 | 正误 | 说明 |
|:---|:---:|:---|
| 系数矩阵 $A$ 是**列满秩**的，方程组一定有唯一解？ | ✗ | **错误，可能无解**。但如果有解的话，一定唯一 |
| 系数矩阵 $A$ 是**行满秩**的，方程组一定有唯一解？ | ✗ | **错误，可能无穷多解**，与是否存在自由未知量有关 |

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# 第24讲：方程组解的结构 - 知识集锦

## 一、齐次线性方程组解的性质

### (1) 解的性质

- ⭐ **解的线性组合仍为解**：设 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 都是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解，那么 $k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_s\xi_s$ 都是方程组的解，其中 $k_1, k_2, \ldots, k_s$ 是任意常数。[来源：p3]

- 简言之：**齐次线性方程组任意解的线性组合还是方程组的解**。[来源：p3，绿色框]

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## 二、基础解系

### (1) 定义

⭐ **基础解系定义**：设 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 都是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解，且满足：[来源：p4，黄色高亮]

1. $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ **线性无关**
2. 齐次线性方程组的**任意一个解都可以由** $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ **线性表出**

则称 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 为齐次线性方程组的**基础解系**。

> ⚠️ **两个条件，缺一不可！**[来源：p4，红色提示]

### (2) 定理

⭐ **基础解系存在定理**：设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，$r(A) = r < n$，则齐次线性方程组 $Ax = 0$ 存在由 $n - r$ 个解向量 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$ 组成的基础解系，它们的线性组合
$$
k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}
$$

（其中 $k_1, k_2, \ldots, k_{n-r}$ 是任意常数）给出方程组的所有解。[来源：p8]

### (3) 重要公式

⭐ **秩与基础解系向量个数的关系**：
$$
r(A) + \text{基础解系所含向量的个数} = n = \text{系数矩阵的列数}
$$

即：**基础解系所含向量的个数** $= n - r(A)$。[来源：p8，黄色高亮]

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## 三、基础解系求法

### (6) 常用技巧

⭐ **齐次线性方程组 $Ax = 0$ 基础解系求法**：[来源：p7]

| 步骤 | 操作 |
|:---:|:---|
| 1 | 通过**初等行变换**化系数矩阵 $A$ 为规范阶梯形矩阵 |
| 2 | 将每个非0行的第一个非零元素1对应的未知数（$r$ 个）留在等式左边，其余的未知数（**自由未知量，有 $n - r(A)$ 个**）移到等式右边 |
| 3 | 将**一个自由未知量取1，其余的自由未知量都取0**，然后计算出所有的等号左边的未知数，从而得到 $n - r(A)$ 个向量 |
| 4 | 这 $n - r$ 个向量就是 $Ax = 0$ 的基础解系，写出通解 |

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## 四、非齐次线性方程组解的性质

### (1) 解的性质

⭐ **非齐次方程组解的性质**：设 $\eta_1, \eta_2$ 都是非齐次线性方程组 $Ax = B$ 的解：[来源：p11]

- **(I)** $\eta_1 - \eta_2$ 是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解
  - 即：**非齐次方程组的两个解的差是对应齐次方程组的一个解**

- **(II)** 若 $\xi$ 是 $Ax = B$ 的解，$\eta$ 是 $Ax = 0$ 的解，那么 $\xi + \eta$ 是 $Ax = B$ 的解
  - 即：**非齐次方程组的一个解与对应齐次方程组的一个解的和，是非齐次线性方程组的一个解**

### (2) 解的线性组合

- 设 $\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_k$ 是非齐次线性方程组 $Ax = B$ 的解，那么：[来源：p21]
  - $l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_k\eta_k$ 是方程组 $Ax = (l_1 + l_2 + \cdots + l_k)B$ 的解
  - 若 $l_1 + l_2 + \cdots + l_k \neq 0$，则 $\dfrac{l_1\eta_1 + l_2\eta_2 + \cdots + l_k\eta_k}{l_1 + l_2 + \cdots + l_k}$ 是方程组 $Ax = B$ 的解

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## 五、非齐次方程组通解求法

### (6) 常用技巧

⭐ **非齐次线性方程组 $Ax = B$ 通解求法**：[来源：p14]

| 步骤 | 操作 |
|:---:|:---|
| 1 | 通过初等行变换化**增广矩阵**为规范阶梯形矩阵 |
| 2 | 将每个非0行的第一个非零元素1对应的未知数（$r$ 个）留在等式左边，其余的未知数（自由未知量，有 $n - r$ 个）移到等式右边 |
| 3 | 将规范行阶梯阵中**所有自由未知量取0**，得到一个**特解** |
| 4 | 将规范行阶梯阵中**常数项改为0**，写出一个**基础解系** |
| 5 | 写出**通解 = 基础解系的线性组合 + 一个特解** |

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## 六、非齐次方程组通解的结构

### (2) 定理

⭐ **非齐次方程组通解结构定理**：设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，$r(A) = r < n$，齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的基础解系为 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$，$\eta_0$ 是非齐次线性方程组 $Ax = B$ 的解，则：
$$
k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r} + \eta_0
$$

（其中 $k_1, k_2, \ldots, k_{n-r}$ 是任意常数）给出方程组 $Ax = B$ 的所有解，称为 $Ax = B$ 的**通解**。[来源：p15]

### (3) 核心公式

⭐ **非齐次线性方程组的通解 = 非齐次线性方程组的特解 + 对应的齐次线性方程组的通解**
[来源：p15，红色高亮]

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## 七、秩不等式

### (2) 定理/公式

⭐ **秩的不等式**：
$$
r(A + B) \leq r(A) + r(B)
$$

[来源：p20，绿色框]

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## 附：核心公式速查表

| 公式 | 说明 |
|:---|:---|
| $r(A) \leq \min\{m, n\}$ | 秩的上界 |
| $r(A^T) = r(A)$ | 转置不改变秩 |
| $r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)$ | 乘可逆阵秩不变 |
| $r(A) \leq r(\tilde{A}) \leq r(A) + 1$ | 系数矩阵与增广矩阵秩的关系 |
| 自由未知量个数 $= n - r(A)$ | 自由度公式 |
| 基础解系向量个数 $= n - r(A)$ | 基础解系向量数 |
| $r(A) + (n - r(A)) = n$ | 秩 + 基础解系向量数 = 列数 |
| $r(A + B) \leq r(A) + r(B)$ | 秩的次可加性 |
| $A^m = \text{tr}(A)^{m-1}A$（当 $r(A) = 1$） | 秩为1矩阵的幂次 |

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## 附：解的判定速查表

| 方程组类型 | 条件 | 结论 |
|:---|:---|:---|
| $Ax = B$ | $r(A) = r(\tilde{A})$ | 有解 |
| $Ax = B$ | $r(A) = r(\tilde{A}) = n$ | 有唯一解 |
| $Ax = B$ | $r(A) = r(\tilde{A}) < n$ | 有无穷多解 |
| $Ax = B$ | $r(A) < r(\tilde{A})$ | 无解 |
| $Ax = 0$ | $r(A) = n$ | 只有零解 |
| $Ax = 0$ | $r(A) < n$ | 有非零解（无穷多解） |

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*文档生成时间：基于第17、19、24讲PPT内容整理*