# 第15-16讲：矩阵初等变换与初等矩阵

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## 关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ **三种初等变换**：交换、倍乘、倍加（行与列对应）
2. ⭐ **行阶梯形矩阵定义**：零行在下，首非零元列号严格递增
3. ⭐ **规范行阶梯形矩阵定义**：首非零元为1，所在列其他元素为0
4. ⭐ **定理**：任何矩阵可经初等行变换化为行阶梯形（不唯一）和规范行阶梯形（唯一）
5. ⭐ **标准形矩阵**：$\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$
6. ⭐ **初等矩阵定义**：单位矩阵经一次初等变换所得
7. ⭐ **核心定理**：左乘初等矩阵 = 行变换，右乘初等矩阵 = 列变换
8. ⭐ **初等矩阵可逆**：逆矩阵是同类型初等矩阵
9. ⭐ **求逆方法**：$(A \mid E) \xrightarrow{\text{行变换}} (E \mid A^{-1})$
10. ⭐ **等价充要条件**：$A \sim B \Leftrightarrow \exists$ 可逆 $P, Q$ 使 $PAQ = B \Leftrightarrow$ 有相同标准形

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## 第15讲：矩阵的初等变换

### 一、初等变换的定义

#### (1) 定义

- **矩阵的初等行(列)变换**：对矩阵进行以下三种操作之一 [来源：p2]
  
  | 变换类型 | 行变换记号 | 列变换记号 | 说明 |
  |---------|-----------|-----------|------|
  | **交换** | $r_i \leftrightarrow r_j$ | $c_i \leftrightarrow c_j$ | 交换第 $i$ 行(列)与第 $j$ 行(列) |
  | **倍乘** | $kr_i \to r_i$ | $kc_i \to c_i$ | 第 $i$ 行(列)乘以非零数 $k$（$k \neq 0$）|
  | **倍加** | $r_j + kr_i \to r_j$ | $c_j + kc_i \to c_j$ | 第 $i$ 行(列)的 $k$ 倍加到第 $j$ 行(列) |

#### (2) 注意要点

- 倍乘变换中 $k \neq 0$（否则会产生零行/列）[来源：p2]
- 倍加变换中 $k$ 可以为任意数（包括0）【整理自PPT】

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### 二、行阶梯形矩阵

#### (1) 定义

- **行阶梯形矩阵**：矩阵 $A$ 满足以下条件 [来源：p29]
  1. 若矩阵 $A$ 存在零行，则**零行在非零行下方**；
  2. 设 $A$ 的第 $k$ 个非零行的第一个非零元素在第 $j_k$ 列，共有 $r$ 个非零行，则 $j_1 < j_2 < \cdots < j_r$（首非零元列号**严格递增**）。

- **示例**（黄色标记为首非零元）：[来源：p29]
$$
\begin{pmatrix} \boxed{1} & 3 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & \boxed{-1} & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$


#### (2) 定理

- ⭐ **定理**：任何矩阵可以经过**单纯的初等行变换**化为行阶梯形矩阵（**不唯一**）。[来源：p30, p45]

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### 三、规范的行阶梯形矩阵

#### (1) 定义

- **规范的行阶梯形矩阵**：矩阵 $A$ 是行阶梯形矩阵，且满足 [来源：p43]
  1. **每个非零行的第一个非零元素为 $1$**；
  2. **每个非零行的第一个非零元素所在的列的其他元素都为 $0$**。

- **示例**（蓝色标记列只有一个1，其他为0）：[来源：p43-44]
$$
\begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & \boxed{1} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$


#### (2) 定理

- ⭐ **定理**：任何矩阵可以经过**单纯的初等行变换**化为规范的行阶梯形矩阵（**唯一**）。[来源：p44, p45]

#### (3) 重要应用

- 规范行阶梯形中，**非零行的首非零元对应的列**选出来，在原矩阵中相应的列**可以把其他列都线性表示出来**，且这些列中**没有多余的**（即构成列空间的一组基）。[来源：p48-49]

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### 四、矩阵的标准形

#### (1) 定义

- **矩阵的相抵标准形**（简称**标准形**）：形如 [来源：p60-61]
$$
\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}
$$

其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵，$O$ 为零矩阵。

#### (2) 定理

- ⭐ **定理**：任何矩阵可以经过**初等行列变换**化为标准形矩阵。[来源：p61]

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### 五、矩阵的等价（相抵）

#### (1) 定义

- **矩阵等价**（或**相抵**）：如果矩阵 $A$ 经过**有限次初等变换**化为矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价（记作 $A \sim B$）。[来源：p62]

#### (2) 等价关系的性质

- 矩阵等价是一个**等价关系**，满足 [来源：p63]
  - **自反性**：$A \sim A$（矩阵自己与自己等价）
  - **对称性**：$A \sim B \Rightarrow B \sim A$
  - **传递性**：$A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C$

- **矩阵可以按照等价关系分类**。[来源：p63]

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## 第16讲：初等变换和初等矩阵

### 一、初等矩阵的定义

#### (1) 定义

- **初等矩阵**：**单位矩阵经过一次初等变换**所得到的矩阵。[来源：第16讲p11]

- 对应三种初等变换，有**三种类型的初等矩阵** [来源：第16讲p11]

| 类型 | 记号 | 对应变换 |
|-----|------|---------|
| 交换矩阵 | $R_{i \leftrightarrow j}$ | $r_i \leftrightarrow r_j$ 或 $c_i \leftrightarrow c_j$ |
| 倍乘矩阵 | $R_{(k)i}$ | $kr_i \to r_i$ 或 $kc_i \to c_i$（$k \neq 0$）|
| 倍加矩阵 | $R_{j+(k)i}$ 或 $C_{i+(k)j}$ | $r_j + kr_i \to r_j$ 或 $c_i + kc_j \to c_i$ |

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### 二、三种初等矩阵的具体形式

#### (1) 交换矩阵 $R_{i \leftrightarrow j}$

- **形式**：单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换（或第 $i$ 列与第 $j$ 列交换）[来源：第16讲p12]
$$
R_{i \leftrightarrow j} = \begin{pmatrix} \ddots & & & & \\ & 0 & \cdots & 1 & \\ & \vdots & \ddots & \vdots & \\ & 1 & \cdots & 0 & \\ & & & & \ddots \end{pmatrix} \leftarrow \text{第}i\text{行} \atop \leftarrow \text{第}j\text{行}
$$


- **行列式**：$\det(R_{i \leftrightarrow j}) = -1$ [来源：第16讲p12]

- **逆矩阵**：$(R_{i \leftrightarrow j})^{-1} = R_{i \leftrightarrow j}$（**逆等于本身**）[来源：第16讲p12, p16]

#### (2) 倍乘矩阵 $R_{(k)i}$

- **形式**：单位矩阵的第 $i$ 个对角元 $1$ 换成 $k$（$k \neq 0$）[来源：第16讲p13]
$$
R_{(k)i} = \begin{pmatrix} \ddots & & & \\ & 1 & & \\ & & k & \\ & & & 1 \\ & & & & \ddots \end{pmatrix} \leftarrow \text{第}i\text{行}
$$


- **行列式**：$\det(R_{(k)i}) = k$ [来源：第16讲p13]

- **逆矩阵**：$(R_{(k)i})^{-1} = R_{(\frac{1}{k})i}$（**$k$ 换成 $\frac{1}{k}$**）[来源：第16讲p13, p16]

#### (3) 倍加矩阵 $R_{j+(k)i}$

- **形式**：单位矩阵的 $(j, i)$ 位置加上 $k$ [来源：第16讲p14]
$$
R_{j+(k)i} = \begin{pmatrix} \ddots & & & & \\ & 1 & & & \\ & & \ddots & & \\ & k & & 1 & \\ & & & & \ddots \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \leftarrow \text{第}i\text{行} \\ \\ \leftarrow \text{第}j\text{行} \end{matrix}
$$


- **行列式**：$\det(R_{j+(k)i}) = 1$ [来源：第16讲p14]

- **逆矩阵**：$(R_{j+(k)i})^{-1} = R_{j+(-k)i}$（**$k$ 换成 $-k$**）[来源：第16讲p14, p16]

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### 三、初等矩阵与初等变换的关系

#### (1) 核心定理

- ⭐ **定理**：用一个 $m$（$n$）阶初等矩阵**左（右）乘**一个 $m \times n$ 阶矩阵，相当于对这个矩阵作相应的初等**行（列）变换**。[来源：第16讲p15]

- **等价表述**：对矩阵作初等行（列）变换，相当于在这个矩阵**左（右）边乘以**一个相应的初等矩阵。[来源：第16讲p15]

| 操作 | 乘法位置 | 变换类型 |
|-----|---------|---------|
| $PA$（$P$ 是 $m$ 阶初等矩阵）| 左乘 | 行变换 |
| $AQ$（$Q$ 是 $n$ 阶初等矩阵）| 右乘 | 列变换 |

#### (2) 推论

- ⭐ **推论**：初等矩阵都是**可逆矩阵**，且其逆矩阵是**同类型的初等矩阵**。[来源：第16讲p16]

| 初等矩阵 | 逆矩阵 |
|--------|-------|
| $R_{i \leftrightarrow j}$ | $R_{i \leftrightarrow j}$ |
| $R_{(k)i}$ | $R_{(\frac{1}{k})i}$ |
| $R_{j+(k)i}$ | $R_{j+(-k)i}$ |

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### 四、初等变换与标准形的存在性

#### (1) 定理

- **定理**：设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则 [来源：第16讲p17]
  - 存在一系列初等**行变换**使得矩阵 $A$ 化为（规范的）阶梯型矩阵；
  - 进一步，存在一系列初等**列变换**使得矩阵 $A$ 化为标准型矩阵。

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### 五、求逆矩阵的初等变换法

#### (1) 原理

- 若 $A$ 可逆，存在初等矩阵 $R_1, R_2, \ldots, R_s$ 使得 $R_1 R_2 \cdots R_s A = E$，则 [来源：第16讲p22]
$$
R_1 R_2 \cdots R_s = A^{-1}
$$

$$
R_1 R_2 \cdots R_s E = A^{-1}
$$


#### (2) 方法

- ⭐ **求逆方法**：构造分块矩阵 $(A \mid E)$，通过初等行变换 [来源：第16讲p22]
$$
(A \mid E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E \mid A^{-1})
$$


- 若左边化为单位矩阵 $E$，则右边即为 $A^{-1}$
- 若左边**无法化为 $E$**（出现零行），则 $A$ **不可逆**

#### (3) 应用：解矩阵方程

- **解 $AX = B$**：对 $(A \mid B)$ 作初等行变换化为 $(E \mid A^{-1}B)$，则 $X = A^{-1}B$ [来源：第16讲p23]
- **解 $XA = B$**：对 $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ 作初等列变换化为 $\begin{pmatrix} E \\ BA^{-1} \end{pmatrix}$，则 $X = BA^{-1}$【整理自PPT】

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### 六、矩阵等价的充要条件

#### (1) 定理

- ⭐ **定理**：矩阵 $A$ 与 $B$ 等价的**充分必要条件**是 [来源：第16讲p25]
$$
\text{存在可逆矩阵 } P \text{ 与 } Q，\text{使得 } PAQ = B
$$


#### (2) 推论

- ⭐ **推论**：$m$ 行 $n$ 列矩阵 $A$ 与 $B$ 等价的**充分必要条件**是 [来源：第16讲p25]
$$
A \text{ 与 } B \text{ 有相同的标准形}
$$


- **等价表述**：$A \sim B \Leftrightarrow \text{rank}(A) = \text{rank}(B)$【非PPT直接给出】（由标准形唯一由秩决定推得）

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## 常用技巧总结

### (1) 化行阶梯形的步骤

1. 从左到右找第一个非零列
2. 将该列的首非零元通过行交换移到最上面
3. 用倍加变换消去该列下方所有元素
4. 对剩余子矩阵重复上述步骤

### (2) 化规范行阶梯形的步骤

1. 先化为行阶梯形
2. 从下往上，将每个首非零元化为1（倍乘变换）
3. 消去首非零元上方的元素（倍加变换）

### (3) 记忆口诀

- **初等矩阵三类型**：换、乘、加
- **左行右列**：左乘做行变换，右乘做列变换
- **逆矩阵规律**：换→换，乘k→乘1/k，加k→加-k
- **等价=可逆夹**：$A \sim B \Leftrightarrow PAQ = B$

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## 易错点与注意事项

1. **行阶梯形不唯一**，但**规范行阶梯形唯一**。[来源：p45]

2. 初等变换的倍乘中 $k \neq 0$，否则不可逆。[来源：p2]

3. **左乘对应行变换，右乘对应列变换**，不要混淆。[来源：第16讲p15]

4. 求逆矩阵时只能用**行变换**（或只用列变换），不能混用。[来源：第16讲p22]

5. 倍加矩阵的位置：$R_{j+(k)i}$ 的 $k$ 在 $(j, i)$ 位置（**第 $j$ 行第 $i$ 列**）。[来源：第16讲p14]

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*文档生成基于上海交通大学线性代数课程PPT第15-16讲*