# 第6讲：矩阵的概念 & 第7讲：矩阵的运算

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## 关键考点总览（本讲速记）

1. ⭐ 矩阵的定义与记法：$A = (a_{ij})_{m \times n}$
2. ⭐ 特殊矩阵：零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵
3. ⭐ 矩阵相等的条件：同型且对应元素相等
4. ⭐ 矩阵乘法的定义与条件：$A_{m \times p} \cdot B_{p \times n} = C_{m \times n}$
5. ⭐ 矩阵乘法**不满足交换律**：一般地 $AB \neq BA$
6. ⭐ 矩阵乘法**不满足消去律**：$AB = AC$ 不能推出 $B = C$
7. ⭐ $AB = O$ **不能推出** $A = O$ 或 $B = O$
8. ⭐ 转置的性质：$(AB)^T = B^T A^T$，对称矩阵 $\Leftrightarrow A^T = A$
9. ⭐ 若 $AB = BA$（可交换），则二项式展开公式成立
10. ⭐ 若对任意方阵 $B$ 都有 $AB = BA$，则 $A$ 是数量矩阵

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# 第6讲：矩阵的概念

## 一、矩阵的基本概念

### (1) 定义

- **矩阵**：$m \times n$ 个数 $a_{ij}$（$i = 1, 2, \cdots, m$；$j = 1, 2, \cdots, n$）排成 $m$ 行 $n$ 列的长方形数表，用圆括号或方括号括起来，称为矩阵，记作 $A$，$B$，$C$ 等。[来源：p2]
$$
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = (a_{ij})_{m \times n}
$$


- **矩阵相等**：设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{s \times t}$，若 $m = s$，$n = t$，且 $a_{ij} = b_{ij}$（对所有 $i, j$），则称 $A = B$。[来源：p15]

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## 二、几种特殊类型的矩阵

### (1) 行（列）矩阵

- **行矩阵**：只有一行的矩阵，如 $A = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$。[来源：p4]
- **列矩阵**：只有一列的矩阵，如 $B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$。[来源：p4]
- 行（列）矩阵在介绍了线性空间的概念后，也叫**行列向量**。[来源：p4]

### (2) 零矩阵

- **零矩阵**：元素全部为 $0$ 的矩阵，记作 $O_{m \times n}$。[来源：p5]
- 零矩阵类比实数 $0$，在矩阵的计算中，作用和数字 $0$ 相似。[来源：p5]

### (3) 方阵

- **方阵**：行数和列数相同的矩阵，即 $n \times n$ 矩阵，称为 $n$ 阶方阵。[来源：p6]
- **主对角线**：方阵中从左上角到右下角的对角线，元素为 $a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$。[来源：p6]
- **主对角元**：主对角线上的元素 $a_{ii}$（$i = 1, 2, \cdots, n$）。[来源：p6]

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## 三、几种特殊类型的方阵

### (1) 对角形矩阵

- **对角矩阵**：除主对角线外其余元素全为 $0$ 的方阵。[来源：p7]
$$
A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}
$$

记作 $A = \text{diag}(a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn})$。[来源：p7]

### (2) 单位矩阵

- **单位矩阵**：主对角元全为 $1$，其余元素全为 $0$ 的方阵，记作 $E$ 或 $I$。[来源：p8]
$$
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}
$$

- 单位矩阵类比实数 $1$，在矩阵的计算中，作用和数字 $1$ 相似。[来源：p8]

### (3) 数量矩阵

- **数量矩阵**：主对角元全为同一个数 $a$，其余元素全为 $0$ 的方阵，记作 $aE$ 或 $aI$。[来源：p9]

### (4) 三角形矩阵

- **上三角矩阵**：主对角线以下元素全为 $0$（即当 $i > j$ 时，$a_{ij} = 0$）。[来源：p10]
- **下三角矩阵**：主对角线以上元素全为 $0$（即当 $i < j$ 时，$a_{ij} = 0$）。[来源：p10]

### (5) 对称矩阵

- **对称矩阵**：满足 $a_{ij} = a_{ji}$（$i, j = 1, 2, \cdots, n$）的方阵，即关于主对角线对称。[来源：p11-12]

### (6) 反对称矩阵

- **反对称矩阵**：满足 $a_{ij} = -a_{ji}$（$i, j = 1, 2, \cdots, n$）的方阵。[来源：p13]
- ⭐ **反对称矩阵对角线上元素一定是 $0$**（因为 $a_{ii} = -a_{ii}$，所以 $a_{ii} = 0$）。[来源：p14]

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# 第7讲：矩阵的运算

## 一、矩阵的加法

### (1) 定义

- 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{m \times n}$（**同型矩阵**），则：[来源：p2]
$$
A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}
$$


- **负矩阵**：$-A = (-a_{ij})_{m \times n}$。[来源：p2]
- **矩阵减法**：$A - B = A + (-B)$。[来源：p2]

### (2) 性质

- ⭐ $A + B = B + A$（加法交换律）[来源：p3]
- ⭐ $(A + B) + C = A + (B + C)$（加法结合律）[来源：p3]
- ⭐ $A + O = O + A = A$（加法单位元）[来源：p3]
- ⭐ $A + (-A) = O$（加法逆元）[来源：p3]

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## 二、矩阵的数乘

### (1) 定义

- 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$c$ 是一个数，则：[来源：p4]
$$
cA = (ca_{ij})_{m \times n}
$$


- 特别地：$-A = (-1)A$，$cE = \text{diag}(c, c, \cdots, c)$。[来源：p4]

### (2) 性质

- $1A = A$  [来源：p5]
- $k(lA) = (kl)A$  [来源：p5]
- $(k + l)A = kA + lA$  [来源：p5]
- $k(A + B) = kA + kB$  [来源：p5]

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## 三、矩阵的乘法

### (1) 定义

- ⭐ 设 $A = (a_{ij})_{m \times p}$，$B = (b_{ij})_{p \times n}$（**A的列数 = B的行数**），则：[来源：p7]
$$
A \cdot B = C = (c_{ij})_{m \times n}
$$

其中 $c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}$

### (2) 性质

- $(AB)C = A(BC)$（乘法结合律）[来源：p12]
- $k(AB) = (kA)B = A(kB)$  [来源：p12]
- ⭐ $(A + B)C = AC + BC$（乘法**右**分配律）[来源：p12]
- ⭐ $C(A + B) = CA + CB$（乘法**左**分配律）[来源：p12]
- $k(A + B) = kA + kB$  [来源：p12]
- $A_{m \times n} E_n = A_{m \times n}$，$E_m A_{m \times n} = A_{m \times n}$（单位矩阵的性质）[来源：p12]
- $A_{m \times p} O_{p \times n} = O_{m \times n}$，$O_{m \times p} A_{p \times n} = O_{m \times n}$  [来源：p12]

### (3) 线性映射的矩阵表示

- 线性型可以写成矩阵形式：$\mathbf{y} = A\mathbf{x}$  [来源：p9-10]
- 线性型的复合：若 $\mathbf{z} = B\mathbf{y}$，则 $\mathbf{z} = BA\mathbf{x}$  [来源：p11]

### (4) 反例与易错点

- ⭐ **矩阵乘法不满足交换律**！[来源：p19]
  - 情形一：$AB$ 有定义但 $BA$ 没有定义（不同型矩阵）
  - 情形二：$AB$ 和 $BA$ 都有定义但 $AB \neq BA$

- ⭐ **矩阵乘法不满足消去律**！[来源：p20]
  - $AB = AC$，但 $B \neq C$
  - $BA = CA$，但 $B \neq C$

- ⭐ **$AB = O$ 不能推出 $A = O$ 或 $B = O$**  [来源：p21]

### (5) 重要结论

- ⭐ **若对任意 $n \times n$ 方阵 $B$ 都有 $AB = BA$，则 $A$ 是数量矩阵**。[来源：p23-24]

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## 四、方阵的幂

### (1) 定义

- 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则：[来源：p25]
  - $A^2 = A \cdot A$
  - $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A \cdot A$
  - $A^m = A^{m-1} \cdot A$，其中 $m$ 是正整数
  - 规定 $A^0 = E$

- ⭐ **注意这里没有定义方阵的负整数次幂**。[来源：p25]

### (2) 性质

- $A^m A^n = A^{m+n}$  [来源：p26]
- $(A^m)^n = A^{mn}$，其中 $m, n$ 为非负整数  [来源：p26]

### (3) 反例与易错点

- ⭐ 由于矩阵乘法交换律不一定成立，所以一般地：[来源：p26]
  - $(AB)^m \neq A^m B^m$
  - $(AB)^m = A(BA)^{m-1}B$
  - $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$
  - $(A - B)(A + B) = A^2 + AB - BA - B^2 \neq A^2 - B^2$

### (4) 可交换情形

- ⭐ **设方阵 $A$ 与 $B$ 可交换**（即 $AB = BA$），那么：[来源：p27]
  - $(A + B)^m = A^m + C_m^1 A^{m-1}B + \cdots + C_m^m B^m$（二项式展开）
  - $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$
  - $(A \cdot B)^m = A^m B^m$

- **特别地**：$A$ 与 $E$ 总是可交换的，所以：[来源：p26]
$$
(A + E)^m = A^m + C_m^1 A^{m-1} + \cdots + C_m^m E
$$


### (5) 方阵的多项式

- 多项式 $f(x) = a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + \cdots + a_m$  [来源：p28]
- 方阵 $A$ 的多项式：$f(A) = a_0 A^m + a_1 A^{m-1} + \cdots + a_m E$  [来源：p28]

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## 五、矩阵的转置

### (1) 定义

- 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，将 $A$ 的行列互换得到的矩阵称为 $A$ 的**转置矩阵**，记作 $A^T$。[来源：p13]
$$
A^T = (a_{ji})_{n \times m}
$$


### (2) 性质

- $(A^T)^T = A$  [来源：p14]
- $(A + B)^T = A^T + B^T$  [来源：p14]
- $(kA)^T = k(A^T)$  [来源：p14]
- ⭐ $(AB)^T = B^T A^T$（**注意顺序颠倒**）[来源：p14]
- $(A_1 \cdot A_2 \cdot \cdots \cdot A_m)^T = A_m^T \cdot A_{m-1}^T \cdot \cdots \cdot A_1^T$  [来源：p14]
- 若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $(A^n)^T = (A^T)^n$  [来源：p14]

### (3) 等价条件

- ⭐ **矩阵 $A$ 为对称矩阵 $\Leftrightarrow A^T = A$**  [来源：p14]
- ⭐ **矩阵 $A$ 为反对称矩阵 $\Leftrightarrow A^T = -A$**  [来源：p14]
- ⭐ **若矩阵 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，那么 $AA^T$ 和 $A^TA$ 都是对称矩阵**。[来源：p14]

### (4) 重要结论

- ⭐ **$A$ 是实矩阵。若对任何 $x \in \mathbb{R}^n$，都有 $x^T A x = 0 \Leftrightarrow A$ 是反对称矩阵**。[来源：p16]

- ⭐ **任何一个 $n$ 阶方阵可以唯一地写为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和**。[来源：p17]
  【整理自PPT】分解方式：$A = \frac{1}{2}(A + A^T) + \frac{1}{2}(A - A^T)$

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## 六、二次型初步

### (1) 公式

- 设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$，则：[来源：p15]
$$
\mathbf{x}^T A \mathbf{y} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i y_j
$$

$$
\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{ij} + a_{ji}) x_i x_j
$$


### (2) 性质

- ⭐ **若 $A$ 是反对称矩阵**（即 $A^T = -A$），**那么对任何 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 0$**。[来源：p15]

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## 七、常用技巧

### (1) 行列矩阵乘法

- ⭐ **一个行矩阵乘以一个列矩阵，结果为一个数字**（内积）。[来源：p30]
- ⭐ **一个列矩阵乘以一个行矩阵，结果为一个矩阵，且这个矩阵的行（列）之间相差倍数关系**。[来源：p30-31]

### (2) 求方阵幂的技巧

- **分解法**：若 $A = \lambda E + B$，其中 $B$ 是幂零矩阵（$B^k = O$），则可利用二项式展开计算 $A^n$。[来源：p29]

### (3) 秩为1的矩阵

- 若矩阵的行（列）是某个行（列）矩阵的倍数，则该矩阵可写为一个列矩阵乘以一个行矩阵的形式。[来源：p31]

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## 八、矩阵的迹

### (1) 定义

- **矩阵的迹**：$n$ 阶方阵 $A$ 的主对角线上元素之和，记作 $\text{tr}(A)$。[来源：p32]
$$
\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}
$$


### (2) 性质

- ⭐ **$\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$**（即使 $AB \neq BA$）[来源：p33]

### (3) 重要结论

- ⭐ **若 $\text{tr}(AA^T) = 0$，则 $A = O$**（对于实矩阵）。[来源：p34]
- ⭐ **若 $A^2 = AA^T$，则 $A$ 为实对称矩阵**。[来源：p34]
- ⭐ **下三角矩阵的乘积还是下三角矩阵**。[来源：p35]

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## 九、矩阵的共轭

### (1) 定义

- 设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 是一个元素为复数的矩阵，矩阵 $A$ 的**共轭矩阵**为 $\bar{A} = (\bar{a}_{ij})_{m \times n}$。[来源：p36]

### (2) 性质

- $\overline{A + B} = \bar{A} + \bar{B}$  [来源：p36]
- $\overline{cA} = \bar{c} \cdot \bar{A}$  [来源：p36]
- $\overline{AB} = \bar{A} \cdot \bar{B}$  [来源：p36]
- $|\bar{A}| = \overline{|A|}$  [来源：p36]

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## 附：公式速查表

| 运算 | 公式 | 备注 |
|------|------|------|
| 矩阵加法 | $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ | 需同型 |
| 矩阵数乘 | $(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}$ | |
| 矩阵乘法 | $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ | A列数=B行数 |
| 转置 | $(A^T)_{ij} = a_{ji}$ | 行列互换 |
| 转置乘法 | $(AB)^T = B^T A^T$ | ⭐顺序颠倒 |
| 对称矩阵 | $A^T = A$ | |
| 反对称矩阵 | $A^T = -A$ | 对角元为0 |
| 迹 | $\text{tr}(A) = \sum_i a_{ii}$ | 主对角元之和 |
| 迹的性质 | $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ | |