# 线性代数预备知识（第1-5讲）

> Arietids Learn · 个人课程复习笔记
> 在线阅读：https://learn.arietids.net/courses/linear-algebra/chapter-1s0/

---

## 关键考点总览（本部分速记）

1. ⭐ **数域的定义**：包含0、1，对加减乘除封闭的数集
2. ⭐ **复数的三角形式**：$Z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
3. ⭐ **棣莫弗公式**：$Z^n = r^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)$
4. ⭐ **多项式带余除法**：$p(x) = s(x) \times q(x) + r(x)$，其中 $\deg r(x) < \deg s(x)$ 或 $r(x) = 0$
5. ⭐ **韦达定理（根与系数关系）**：根之和与积与系数的关系
6. ⭐ **求和符号交换次序**：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}$
7. ⭐ **方程组/矩阵的初等变换**：三种基本变换
8. ⭐ **矩阵秩的多重理解**：8种等价表述
9. **常见反例**：正整数、整数不构成数域

---

## 第1讲：概述

### (1) 课程核心思想

- **线性代数的核心**：研究"变"与"不变"的关系 [来源：p11, p23, p25]
- **变**：通过初等变换改变方程组/矩阵的形式 [来源：p21-22]
- **不变**：在变换过程中保持不变的性质和量 [来源：p23-24]

### (2) 方程组的初等变换

方程组的初等变换包含三种操作：[来源：p21，红框标注]

1. **交换两个方程的位置**
2. **一个方程的两端同乘以一个不等于0的数**
3. **一个方程的两端同乘以一个数以后加至另一个方程的两端**

### (3) 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换包含三种操作：[来源：p22，红框标注]

1. **交换矩阵的两行**
2. **矩阵的一行同乘以一个不等于0的数**
3. **矩阵的一行乘以一个数以后加至矩阵的另一行**

### (4) ⭐ 矩阵的秩——不变量的核心概念

矩阵的秩是初等变换下的不变量，有以下等价理解：[来源：p24，框图总结]

| 角度 | 等价表述 |
|------|---------|
| 方程组角度 | 方程组自由未知量个数 |
| 行列式角度 | 矩阵所包含的阶数最大的行列式非0的子式 |
| 向量组角度 | 向量组中极大线性无关组所含向量的个数 |
| 线性空间角度 | 线性空间维数 |
| 行空间角度 | 矩阵行空间维数 |
| 列空间角度 | 矩阵列空间维数 |
| 零空间角度 | 矩阵零空间维数（与秩互补） |
| 特征值角度 | 可对角化矩阵非零特征值个数（记重数） |
| 二次型角度 | 对称矩阵正惯性指数与负惯性指数之和 |

### (5) 分类与标准形

- 通过"变"得到"标准形"，用于分类 [来源：p25]
- 初等变换下的标准形、相似变换下的标准形、合同变换下的标准形 [来源：p27]

---

## 第2讲：复数介绍

### (1) 定义

- **虚数单位**：$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$ [来源：p2]

- **复数的概念**：形如 $a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，叫做复数，写作 $Z = a + bi$ [来源：p2]
  - $a$ 称为**实部** (Re $Z$)
  - $b$ 称为**虚部** (Im $Z$)

- **复数集**：全体复数的集合，叫做复数集，用 $\mathbb{C}$ 表示 [来源：p2]

- **复数的分类判定**：[来源：p3]
  - $a + bi$ 是实数 $\Leftrightarrow$ $b = 0$
  - $a + bi$ 是虚数 $\Leftrightarrow$ $b \neq 0$
  - $a + bi$ 是纯虚数 $\Leftrightarrow$ $a = 0$ 且 $b \neq 0$

### (2) 复数的几何表示

- **复数的模**：$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，几何意义为复平面上点到原点的距离（线段OA的长度）[来源：p5]

- **复数的幅角**：$\theta + 2k\pi$，$k$ 为整数 [来源：p5]

- **复数幅角的主值**：$\theta$ 是复数 $Z$ 的一个幅角，且 $0 \leq \theta < 2\pi$ [来源：p5]

### (3) ⭐ 复数的三角形式

$$
Z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
$$


其中 $r$ 是复数 $Z$ 的模，$\theta$ 是复数 $Z$ 的幅角。[来源：p6]

### (4) 定理/命题

#### 复数的乘法（代数形式）

已知 $Z_1 = a + bi$，$Z_2 = c + di$，那么：[来源：p7]

$$
Z_1 Z_2 = ac - bd + (ad + bc)i
$$


**推导过程**：
$$
Z_1 Z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac - bd + (ad + bc)i
$$


#### 复数的乘法（三角形式）

已知 $Z_1 = r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)$，$Z_2 = r_2(\cos\beta + i\sin\beta)$，那么：[来源：p8]

$$
Z_1 Z_2 = r_1 r_2(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta))
$$


**几何意义**：两复数相乘，模相乘，幅角相加。【整理自PPT】

#### ⭐ 棣莫弗公式（De Moivre's Formula）

若 $Z_1 = r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)$，则：[来源：p9]

$$
Z_1^n = r_1^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)
$$


#### n次单位根

解复数方程 $Z^n = 1$：[来源：p10]

设 $Z = r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$，那么 $Z^n = r^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)$

注意到 $1 = \cos 0 + i\sin 0$，我们有 $r = 1$ 且 $\cos n\alpha = 1 = \cos 0$

这样 $n\alpha = 0 + 2k\pi$，得到 $\alpha = \dfrac{2k\pi}{n}$，$k = 0, 1, \ldots, n-1$

所以 **n次单位根为**：

$$
Z = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1
$$


[来源：p10]

### (5) 复数的共轭

- **共轭复数的定义**：已知 $Z = a + bi$，称复数 $a - bi$ 为复数 $Z$ 的共轭，记作 $\bar{Z}$ [来源：p11]

$$
\bar{Z} = a - bi
$$


- **共轭的性质**：已知 $Z_1 = a + bi$，$Z_2 = c + di$，那么：[来源：p12]

$$
\overline{Z_1 Z_2} = \bar{Z_1} \cdot \bar{Z_2}
$$


即：两复数乘积的共轭等于共轭的乘积。

---

## 第3讲：多项式介绍

### (1) 定义

#### 整数的带余除法

若 $p$ 和 $s$ 是非负整数，$s \neq 0$，那么存在非负整数 $q$ 和 $r$ 使得：[来源：p4]

$$
p = s \times q + r, \quad 0 \leq r < s
$$


其中：$p$ 是被除数，$s$ 是除数，$q$ 是商，$r$ 是余数。

#### ⭐ 多项式的带余除法

若 $p(x)$ 和 $s(x)$ 是系数在数域 $F$ 上的多项式，$s(x) \neq 0$，那么存在多项式 $q(x)$ 和 $r(x)$，使得：[来源：p6]

$$
p(x) = s(x) \times q(x) + r(x)
$$


其中 $0 \leq r(x)$ 的次数 $< s(x)$ 的次数，或者 $r(x) = 0$

**示例**：$x^3 - 2x^2 + x - 4 = (x^2 - 3x + 2)(x + 1) + 2x - 6$ [来源：p6，虚线框示例]

### (2) 定理/命题

#### 复数域上多项式的根分解

若 $p(x)$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的次数为 $m$ 的多项式，那么 $p(x)$ 可唯一分解为：[来源：p7]

$$
p(x) = c(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_m)
$$


其中 $c, x_1, x_2, \ldots, x_m$ 都是复数。

#### ⭐ 韦达定理（根与系数的关系）

若 $p(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0$ 为系数在复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $m$ 次多项式，$a_m \neq 0$，$x_1, x_2, \ldots, x_m$ 是 $p(x)$ 的 $m$ 个根，那么：[来源：p8]

**根之和**：
$$
x_1 + x_2 + \cdots + x_m = -\frac{a_{m-1}}{a_m}
$$


**根之积**：
$$
x_1 x_2 \cdots x_m = (-1)^m \frac{a_0}{a_m}
$$


#### 韦达定理的推导

由 $p(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0$ 可知：[来源：p9]

- $p(0) = a_0$（常数项）

由 $p(x) = a_m(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_m)$ 可知：

$$
p(0) = a_m(0 - x_1)(0 - x_2)\cdots(0 - x_m) = (-1)^m a_m x_1 x_2 \cdots x_m
$$


因此：$a_0 = (-1)^m a_m x_1 x_2 \cdots x_m$

整理得：$x_1 x_2 \cdots x_m = (-1)^m \dfrac{a_0}{a_m}$ [来源：p9]

类似地，对于 $x^{m-1}$ 项系数：[来源：p11]

$p(x)$ 中 $x^{m-1}$ 项系数为：$a_{m-1}$

展开 $a_m(x - x_1)(x - x_2)\cdots(x - x_m)$ 后，$x^{m-1}$ 项系数为：$a_m(-x_1 - x_2 - \cdots - x_m)$

因此：$a_{m-1} = -a_m(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)$

整理得：$x_1 + x_2 + \cdots + x_m = -\dfrac{a_{m-1}}{a_m}$

### (3) 本讲重点

- **多项式的带余除法** [来源：p13，重点标注]
- **多项式根与系数的关系**（韦达定理）[来源：p13，重点标注]

---

## 第4讲：求和符号与求乘积符号介绍

### (1) 定义

#### 求和符号 $\sum$

求和符号的结构：[来源：p2]

$$
\sum_{i=1}^{n} i^2
$$


- 下方：**变量和变量的范围**（$i=1$）
- 上方：**变量的上界**（$n$）
- 右侧：**求和项的表达式**（$i^2$）

**含义**：将满足条件的所有项加起来 [来源：p3]

$$
\sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2
$$


#### 求乘积符号 $\prod$

求乘积符号的结构：[来源：p11]

$$
\prod_{i=1}^{n}(2i+1)
$$


- 下方：**变量和变量的范围**（$i=1$）
- 上方：**变量的上界**（$n$）
- 右侧：**乘积项的表达式**（$2i+1$）

**含义**：将满足条件的所有项乘起来

$$
\prod_{i=1}^{n}(2i+1) = 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times (2n+1)
$$


【整理自PPT】

### (2) 重要性质

#### 双重求和

对于 $n \times n$ 矩阵元素 $a_{ij}$（$i, j = 1, 2, \ldots, n$）：[来源：p5-6]

$$
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = \text{将全部 } n^2 \text{ 个数加起来}
$$


**按行求和**：先对每行求和，再将各行和相加 [来源：p6]

$$
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = \sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\right) = \sum_{i=1}^{n}(a_{i1} + a_{i2} + \cdots + a_{in})
$$


**按列求和**：先对每列求和，再将各列和相加 [来源：p7]

$$
\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\right)
$$


#### ⭐ 求和次序可交换

$$
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}
$$


[来源：p8]

**理解**：无论按行求和还是按列求和，最终结果相同（都是将所有 $n^2$ 个元素加起来）。【整理自PPT】

---

## 第5讲：数域的概念

### (1) 定义

#### 运算封闭

设 $F$ 是一个数集，若 $F$ 中任意两个数作某种运算的结果仍在 $F$ 中，称 $F$ 对这种**运算封闭**。[来源：p4]

#### ⭐ 数域

设 $F$ 是包含 0、1 的数集，若 $F$ 中元素的**和、差、积、商**（0不做除数）的结果仍在 $F$ 中，即 $F$ 对这几种运算封闭，则称 $F$ 为一个**数域**。[来源：p4，红色标注]

#### 数域的特点总结

一个数域具有以下特点：[来源：p3]

- **一个集合**：非空数集
- **两种运算**：加法和乘法（差由加法导出，商由乘法导出）
- **四个规律**：对加减乘除四则运算封闭

【整理自PPT】

### (2) 常见数域

- **有理数域** $\mathbb{Q}$：所有有理数组成的集合 [来源：p2]
- **实数域** $\mathbb{R}$：所有实数组成的集合 [来源：p2]
- **复数域** $\mathbb{C}$：所有复数组成的集合 [来源：p2]

### (3) 数系的包含关系

$$
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}
$$


【整理自PPT，由 p4 数域定义推得】

### (4) 反例与易错点

- **所有的正整数不构成数域**：因为对减法不封闭（如 $1 - 2 = -1 \notin$ 正整数），对除法不封闭（如 $1 \div 2 = 0.5 \notin$ 正整数），且不包含 0 [来源：p5]

- **所有整数不构成数域**：因为对除法不封闭（如 $1 \div 2 = 0.5 \notin$ 整数）[来源：p5]

### (5) 判定数域的常用技巧

验证一个数集 $F$ 是否为数域，需检验：【整理自PPT】

1. $F$ 包含 0 和 1
2. $F$ 对加法封闭：$\forall a, b \in F$，有 $a + b \in F$
3. $F$ 对减法封闭：$\forall a, b \in F$，有 $a - b \in F$
4. $F$ 对乘法封闭：$\forall a, b \in F$，有 $a \times b \in F$
5. $F$ 对除法封闭：$\forall a, b \in F$，$b \neq 0$，有 $a \div b \in F$

---

## 附录：重要公式速查表

### 复数公式

| 公式名称 | 公式 | 来源 |
|---------|------|------|
| 虚数单位 | $i^2 = -1$ | p2 |
| 复数模 | $\|Z\| = \sqrt{a^2 + b^2}$ | p5 |
| 三角形式 | $Z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ | p6 |
| 乘法（代数） | $(a+bi)(c+di) = ac-bd + (ad+bc)i$ | p7 |
| 乘法（三角） | $Z_1Z_2 = r_1r_2[\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)]$ | p8 |
| 棣莫弗公式 | $Z^n = r^n(\cos n\alpha + i\sin n\alpha)$ | p9 |
| n次单位根 | $Z_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}$ | p10 |
| 共轭 | $\overline{a+bi} = a-bi$ | p11 |
| 共轭乘积 | $\overline{Z_1Z_2} = \bar{Z_1}\cdot\bar{Z_2}$ | p12 |

### 多项式公式

| 公式名称 | 公式 | 来源 |
|---------|------|------|
| 带余除法 | $p(x) = s(x) \times q(x) + r(x)$ | p6 |
| 根分解 | $p(x) = c(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_m)$ | p7 |
| 根之和 | $\sum x_i = -\frac{a_{m-1}}{a_m}$ | p8 |
| 根之积 | $\prod x_i = (-1)^m\frac{a_0}{a_m}$ | p8 |

---

*本知识集锦严格基于课程PPT内容整理，标注【整理自PPT】的内容为基于原文的归纳整理。*