# 线性空间（第35、36、38讲）

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## 关键考点总览（三讲速记）

1. ⭐ 线性空间的8条定义公理（4条加法 + 4条数乘）
2. ⭐ 线性子空间的判定条件：非空（或 $0\in S$）+ 加法封闭 + 数乘封闭
3. ⭐ 基、维数、坐标的定义与唯一性
4. ⭐ 同构映射的定义及其保持的性质
5. ⭐ 过渡矩阵的定义与性质（可逆）
6. ⭐ 坐标变换公式：$x = Cy$ 或 $y = C^{-1}x$
7. ⭐ 线性变换的定义（可加性 + 齐次性）
8. ⭐ 线性变换的矩阵表示及其唯一性
9. ⭐ 线性变换在不同基下的矩阵相似：$B = C^{-1}AC$
10. ⭐ 秩-零度定理：$\dim(\text{Im}(\sigma)) + \dim(\text{Ker}(\sigma)) = \dim(V)$
11. 常见反例：全体“次数恰为 $n$”的多项式、非齐次方程组解集（$b\neq 0$）、实数对复数域不构成线性空间

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# 第35讲：线性空间概念 - 知识集锦

## 一、数域

### (1) 定义

- **数域**：设 $P$ 是一个数集，$P$ 包含 $0$ 与 $1$，且对加、减、乘法封闭；对除法封闭指：对任意 $a,b\in P$ 且 $b\neq 0$，都有 $a/b\in P$。则称 $P$ 是一个数域。[来源：p2]

- **常见数域**：全体有理数 $\mathbb{Q}$，全体实数 $\mathbb{R}$，全体复数 $\mathbb{C}$。[来源：p2]

- **例**：$P = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}$ 是一个数域。[来源：p2]

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## 二、线性空间的概念

### (1) 定义

- **线性空间**：设 $V$ 是一个非空集合，$P$ 是一个数域，$V$ 中定义了两种运算：加法与数乘。同时满足以下8条公理，则称 $V$ 是数域 $P$ 上的**线性空间**。[来源：p3-4]

**加法公理（4条）**：
1. **加法交换律**：$\alpha + \beta = \beta + \alpha$ [来源：p3，红框标注]
2. **加法结合律**：$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ [来源：p3，红框标注]
3. **零元素存在**：在 $V$ 中存在一个元素，记为 $0$，称作**零元素**，对所定义的加法满足：对任意 $\alpha \in V$，$\alpha + 0 = \alpha$ [来源：p3，红框标注]
4. **负元素存在**：对任意 $\alpha \in V$，都存在 $\beta \in V$，使得 $\alpha + \beta = 0$，记 $\beta = -\alpha$，称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的**负元素** [来源：p3]

**数乘公理（4条）**：
5. **数乘单位元**：对任意 $\alpha \in V$，有 $1 \cdot \alpha = \alpha$ [来源：p4]
6. **数乘结合律**：对任意 $\alpha \in V$，$k, l \in P$，有 $k \cdot (l \cdot \alpha) = (kl) \cdot \alpha$ [来源：p4]
7. **数乘对向量加法的分配律**：对任意 $\alpha, \beta \in V$，$k \in P$，有 $k(\alpha + \beta) = k \cdot \alpha + k \cdot \beta$ [来源：p4]
8. **数乘对数加法的分配律**：对任意 $\alpha \in V$，$k, l \in P$，有 $(k + l)\alpha = k \cdot \alpha + l \cdot \alpha$ [来源：p4]

### (2) 定理/命题（性质）

- **线性空间的性质**：[来源：p12]
  - 零元素是唯一的
  - 每个元素的负元素是唯一的
  - $0 \cdot \alpha = 0$（数0乘任何向量等于零向量）
  - $(-1) \cdot \alpha = -\alpha$
  - $k \cdot 0 = 0$（任何数乘零向量等于零向量）
  - ⭐ 若 $k \cdot \alpha = 0$，则 $k = 0$ 或 $\alpha = 0$

### (3) 常见线性空间实例

- 全体 $n$ 维实向量的集合 $V$ 对于通常定义的加法与数乘运算构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间 $\mathbb{R}^n$。[来源：p5，黄色标注]
- 全体 $m \times n$ 阶实矩阵的集合 $V$ 对于通常定义的加法与数乘运算构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间 $\mathbb{R}^{m \times n}$。[来源：p5，黄色标注]
- 全体次数不超过 $n-1$ 次的变量 $x$ 的实系数多项式和零多项式的集合 $V$ 对于通常定义的函数加法与数乘运算构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间 $\mathbb{R}[x]_n$。[来源：p5，黄色标注]
- 闭区间 $[a, b]$ 上全体连续的实函数的集合 $V$ 对于通常定义的函数的加法与数乘函数运算构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间 $C[a,b]$。[来源：p6]
- ⭐ **实系数的齐次线性方程组的解的全体**的集合 $V$ 构成实数域上的线性空间。[来源：p6，黄色标注]
- 仅由 $n$ 维零向量构成的集合 $V$，也构成实数域上的线性空间。[来源：p6]

### (4) 非常规运算定义的线性空间

- **例**：令 $V = \mathbb{R}^+$（正实数集），$P = \mathbb{R}$。定义加法运算为 $a \oplus b \stackrel{\text{def}}{=} a \cdot b$，数乘运算为 $k \circ a \stackrel{\text{def}}{=} a^k$。则 $\mathbb{R}^+$ 在上述定义的加法和数乘运算下构成 $\mathbb{R}$ 上的线性空间。[来源：p7]
  - 加法运算的零元素为 $1$（因为 $a \oplus 1 = a \cdot 1 = a$）
  - 加法运算的负元素：对 $\forall a \in \mathbb{R}^+$，有 $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}^+$，且 $a \oplus \frac{1}{a} = a \cdot \frac{1}{a} = 1$

### (5) 反例与易错点

- ⭐ **全体“次数恰为 $n$”的多项式（不含零多项式）不构成线性空间**：例如 $x^n$ 与 $-x^n$ 都在其中，但相加得 $0$（次数不再是 $n$），加法不封闭；且集合也不含零多项式。[来源：p8，"No."反例]

- ⭐ **全体实数的集合 $V$，对于 $P = \mathbb{C}$（复数域）不构成线性空间**：因为数乘不封闭（复数乘实数可能不再是实数，如 $i \cdot 1 = i \notin \mathbb{R}$）。[来源：p9，"No."反例]

- ⭐ **当 $b\neq 0$ 时，非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的所有解的集合不构成线性空间**：例如若 $x_1,x_2$ 为解，则 $A(x_1+x_2)=2b\neq b$，加法不封闭；且一般也不满足数乘封闭（$A(kx_1)=kb\neq b$）。[来源：p10，"No."反例]

- **数乘不满足 $1 \cdot \alpha = \alpha$ 的反例**：设 $V = \mathbb{R}^2 = \{(x_1, x_2) \mid x_i \in \mathbb{R}, i = 1, 2\}$，定义加法为通常意义下的加法，定义数乘为 $k \circ (x_1, x_2) = (kx_1, 0)$。则 $V$ 不构成线性空间，因为对 $\alpha = (x_1, x_2) \in V$ 且 $x_2 \neq 0$，有 $1 \circ (x_1, x_2) = (x_1, 0) \neq (x_1, x_2)$。[来源：p11]

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## 三、线性子空间

### (1) 定义

- **线性子空间**：设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$S \subseteq V$ 且 $S \neq \emptyset$。若 $S$ 对于 $V$ 中的加法与数乘运算也构成数域 $P$ 上的线性空间，则称 $S$ 是 $V$ 的一个**线性子空间**（简称**子空间**）。[来源：p13-14]

### (2) 定理/命题（判定定理）

- ⭐ **子空间判定定理**：$S \subseteq V$ 且 $S \neq \emptyset$，是 $V$ 的线性子空间 **当且仅当** $S$ 对于 $V$ 中的加法与数乘运算封闭。[来源：p14，黄色标注]
  - 即：$\forall \alpha, \beta \in S$，有 $\alpha + \beta \in S$
  - 且：$\forall \alpha \in S, k \in P$，有 $k\alpha \in S$

### (3) 常见子空间实例

- 设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，$Ax = 0$ 的实数解向量的全体 $\subseteq \mathbb{R}^n$ 构成线性子空间。[来源：p15]
- $V_1 = \{(0, a_2, a_3, \cdots, a_n) \mid a_i \in \mathbb{R}, i = 2, 3, \cdots, n\} \subseteq \mathbb{R}^n$ 构成线性子空间。[来源：p15]
- $V_3 = \{A_{n \times n} \mid A_{n \times n} \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^T = A\} \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$（全体对称矩阵）构成线性子空间。[来源：p15]

### (4) 常用技巧

- 验证子空间的步骤：验证加法和数乘封闭即可。[来源：p16，标注"容易验证：加法和数乘封闭"]

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## 四、线性空间的基、维数与坐标

### (1) 定义

- **线性空间中的向量**：线性空间的元素也称为"向量"。可以仿照 $n$ 维实向量空间中有限个向量的线性组合、线性相关与线性无关的概念。[来源：p20]

- **基**：线性空间 $V$ 的一组基是 $V$ 中的一个向量组 $B$，它线性无关且能生成 $V$（等价地：$B$ 是 $V$ 的极大线性无关组）。[来源：p27，红字标注]

- **维数**：线性空间 $V$ 的维数记为 $\dim(V)$，定义为任一组基所含向量的个数（该数与所取基无关）。在有限维情形下，也可表述为：$\dim(V)$ 等于 $V$ 中任一极大线性无关组的向量个数（即“秩”）。[来源：p27，红字标注]

- **坐标**：就是向量在基下的表示系数，具有**唯一性**。[来源：p28，红字标注]

### (2) 定理/命题

- 向量在基下的坐标是唯一的。[来源：p28]

- 向量的线性表示可以用矩阵形式表示：若 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表出，可以记作 
$$
(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t) = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m)B
$$

其中 $B$ 是 $m \times t$ 矩阵。[来源：p23]

### (3) 推论/二级结论（基的性质）

- 对同一向量组而言，极大线性无关组一般不唯一，但其秩（即极大线性无关组所含向量的个数）是唯一确定的。[来源：p33]
- 极大线性无关组固定后，每个向量的表示系数唯一。[来源：p33]
- 对某向量组 $S$（秩为 $r(S)$）：若从 $S$ 中取出 $r(S)$ 个向量且它们线性无关，则该子组就是 $S$ 的一个极大线性无关组。[来源：p33]
- 对某向量组 $S$（秩为 $r(S)$）：任何包含向量个数超过 $r(S)$ 的子组必线性相关。[来源：p33]
- 若向量组 $T$ 与向量组 $S$ 等价（互相可线性表示），且 $T$ 的向量个数等于 $r(S)$，则 $T$ 必为 $S$ 的一个极大线性无关组（从而也是生成 $\langle S\rangle$ 的一组基）。[来源：p33]

### (4) 常见线性空间的基与维数

- $\mathbb{R}[x]_n$（次数不超过 $n-1$ 次的多项式空间）的一组基为 $1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}$，维数为 $n$。[来源：p24]
  - 任意多项式 $f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1}$ 在这组基下的坐标为 $(a_0, a_1, \cdots, a_{n-1})^T$
  
- $\mathbb{R}^{2 \times 3}$（全体 $2 \times 3$ 阶实矩阵）的一组基为 $E_{11}, E_{12}, E_{13}, E_{21}, E_{22}, E_{23}$（矩阵单位），维数为 $6$。[来源：p25-26]

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## 五、同构映射

### (1) 定义

- **同构映射（线性同构）**：若映射 $\phi$ 同时满足：①线性（保持加法与数乘）；②一一对应（双射），则称 $\phi$ 为同构（线性同构）。[来源：p41，红字标注]

- 设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，取定 $V$ 中一组基为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$。对任何 $\alpha \in V$，设 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下坐标为 $x$，即 $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)x$，而 $x \in P^n$ 是一个 $n$ 维列向量。这样得到一个映射 $\phi: V \to P^n$，对任何 $\alpha \in V$，$\phi(\alpha) = x$。[来源：p40-41]

- 映射 $\phi: V \to P^n$ 是一一对应，且有性质：
  - $\phi(\alpha + \beta) = \phi(\alpha) + \phi(\beta)$（保持加法）[来源：p41]
  - $\phi(k\alpha) = k\phi(\alpha)$（保持数乘）[来源：p41]

### (2) 定理/命题

- 在确定了基以后，我们建立了 $V$ 中的元素与 $P^n$ 中向量之间的一一对应关系，这种对应还保持了线性组合之间的对应，因而也保持了线性相关与线性无关的对应。称这样的两个线性空间为**同构的线性空间**。[来源：p42]

- 研究抽象的线性空间 $V$ 中"向量"的线性关系可以转化为研究与其同构的 $P^n$ 中的向量之间的线性关系。[来源：p42]

### (3) 推论/二级结论（同构的具体结论）

- ⭐ **同构把线性相关的向量组变成线性相关的向量组**。[来源：p43，红字标注]
- ⭐ **同构把线性无关的向量组变成线性无关的向量组**。[来源：p43，红字标注]
- 同构把零元素变成零元素，负元素变成负元素。[来源：p43，红字标注]
- 同构把一组基变成一组基。[来源：p43，红字标注]
- 同构保持向量组的秩不变。[来源：p43，红字标注]
- 同构保持线性空间的维数不变。[来源：p43，红字标注]

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# 第36讲：基变换和坐标变换 - 知识集锦

## 一、过渡矩阵

### (1) 定义

- **过渡矩阵**：设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是这个线性空间的两组基，$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示。[来源：p2-3]

$$
(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)C
$$


称矩阵 $C$ 是**由基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵**。[来源：p3，黄色标注]

### (2) 定理/命题

- ⭐ **过渡矩阵是可逆矩阵**。[来源：p3]

- $C^{-1}$ 是由基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 到基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的过渡矩阵：
$$
(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)C^{-1}
$$

[来源：p3]

- **两组基是可以相互表示的**。[来源：p2，红字标注]

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## 二、坐标变换公式

### (1) 定义

- 设 $\xi \in V$ 是 $V$ 中一个向量，设 $\xi$ 在基 $(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)$ 下的坐标为 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$，即 $\xi = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)x$；$\xi$ 在基 $(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)$ 下的坐标为 $(y_1, y_2, \cdots, y_n)^T$，即 $\xi = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)y$。[来源：p4]

### (2) 定理/命题（坐标变换公式）

- ⭐ **坐标变换公式**：若 $(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)C$，则 [来源：p4-5，黄色标注]

$$
x = Cy \quad \text{或者} \quad y = C^{-1}x
$$


其中 $x$ 是向量在旧基下的坐标，$y$ 是向量在新基下的坐标。按本讲记号 $(\beta_1, \cdots, \beta_n) = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n)C$，$C$ 的列是新基向量在旧基下的坐标，所以 $C$ 用于把新基坐标换算成旧基坐标（$x=Cy$）；反向换算用 $C^{-1}$（$y=C^{-1}x$）。

### (3) 推论/二级结论

- **新基向量在旧基下的坐标**：$\beta_j$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的坐标为过渡矩阵 $C$ 的第 $j$ 列。[来源：p6]

- **旧基向量在新基下的坐标**：由于 $(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)C^{-1}$，$\alpha_j$ 在基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 下的坐标为 $C^{-1}$ 的第 $j$ 列。[来源：p6]

### (4) 常用技巧

- **求在两组基下有相同坐标的向量**：设所求向量 $\alpha$ 在两组基下相同的坐标为 $x$，则 $x = Cx$，变为齐次线性方程组 $(E - C)x = 0$。得到基础解系 $\xi_1, \xi_2, \cdots$，所求向量 $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)(k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots)$。[来源：p8]

- ⭐ **利用标准基作为桥梁**：$E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 等是"我们熟悉和擅长的基"，是"研究其他基的桥梁"。[来源：p9，红字标注]
  - 设 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 到 $A_1, A_2, A_3, A_4$ 的过渡矩阵为 $C$
  - 设 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 到 $B_1, B_2, B_3, B_4$ 的过渡矩阵为 $D$
  - 则 $(B_1, B_2, B_3, B_4) = (A_1, A_2, A_3, A_4)C^{-1}D$
  [来源：p9]

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# 第38讲：线性变换 - 知识集锦

## 一、线性变换的概念

### (1) 定义

- **变换**：设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，若存在一个 $V$ 到自身的映射 $\sigma$，即**对任意的 $\alpha \in V$，都有唯一的 $\sigma(\alpha) \in V$ 与 $\alpha$ 对应**，则称 $\sigma$ 为 $V$ 的一个**变换**。$\sigma(\alpha)$ 称为 $\alpha$ 在变换 $\sigma$ 下的**像**，$\alpha$ 称为 $\sigma(\alpha)$ 的**一个原像**。[来源：p2，红字标注]

- ⭐ **线性变换**：设 $V$ 是数域 $P$ 上线性空间，$\sigma$ 为 $V$ 的一个变换。若对任意的 $\alpha, \beta \in V$ 和 $k \in P$ 都有 [来源：p3，红字标注]
  - $\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$（**可加性**）
  - $\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$（**齐次性**）
  
  则称 $\sigma$ 为 $V$ 的一个**线性变换**。

### (2) 定理/命题（性质）

- **线性变换的性质**：若 $\sigma$ 为数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换，则 [来源：p4]
  1. $\sigma(0) = 0$，对任意 $\alpha \in V$，$\sigma(-\alpha) = -\sigma(\alpha)$
  2. **线性变换保持线性关系不变**：
  $$
  \forall \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \in V, k_1, k_2, \cdots, k_m \in P
  $$
  
  $$
  \sigma(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m) = k_1\sigma(\alpha_1) + k_2\sigma(\alpha_2) + \cdots + k_m\sigma(\alpha_m)
  $$
  

### (3) 推论/二级结论

- ⭐ **线性变换 $\sigma$ 将 $V$ 中线性相关的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 变换到线性相关的向量组 $\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \cdots, \sigma(\alpha_m)$**。[来源：p5]

【整理自PPT】**注意**：线性变换不一定把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。例如零变换 $\sigma(\alpha) = 0$ 把任何向量组都变成零向量组，而零向量组是线性相关的。

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## 二、线性变换与矩阵

### (1) 定义

- ⭐ **线性变换在基下的矩阵**：设 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$，线性变换 $\sigma$ 在这组基下的像为 [来源：p11-13]

$$
(\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \cdots, \sigma(\alpha_n)) = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)A
$$


称矩阵 $A$ 为**线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的矩阵**。

### (2) 定理/命题

- ⭐ **只要确定了线性变换 $\sigma$ 在一组基下的像，就完全确定了 $\sigma$**。[来源：p10，蓝字标注]

- **线性变换在基下的矩阵是唯一的**：由于 $\sigma(\alpha_j)$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的坐标是唯一的，所以线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的矩阵也是唯一的。[来源：p15]

- **定理（存在性与唯一性）**：设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，$A$ 是一个 $n$ 阶方阵。那么存在**唯一的**线性变换 $\sigma$，它在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 下的矩阵为 $A$。[来源：p16]

- ⭐ **一一对应关系**：设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $n$ 维线性空间的一组基，则 **$V$ 中所有线性变换与所有 $n$ 阶方阵之间存在一一对应关系**，这种关系由 $(\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \cdots, \sigma(\alpha_n)) = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)A$ 确定。[来源：p17]

### (3) 推论/二级结论

- ⭐ **坐标变换定理**：设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基。$V$ 中线性变换 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为 $A$。**若向量 $\alpha$ 在这组基下的坐标为 $x$，那么 $\alpha$ 的像 $\sigma(\alpha)$ 在这组基下的坐标为 $Ax$**。[来源：p34，红字标注]

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## 三、线性变换在不同基下的矩阵

### (1) 定理/命题

- ⭐ **定理**：设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 和 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基。$V$ 中线性变换 $\sigma$ 在这两组基下的矩阵为 $A$ 和 $B$。从 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵为 $C$。那么，[来源：p36-37]

$$
B = C^{-1}AC
$$


即**矩阵 $B$ 和矩阵 $A$ 是相似矩阵**。[来源：p36，红字标注]

- ⭐ **核心结论**：**线性变换在不同基下的矩阵是相似的**。[来源：p37，红字标注]

### (2) 推论/二级结论

【整理自PPT】**逆命题**：若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，则存在某个线性变换，使得 $A$ 和 $B$ 分别是该线性变换在某两组基下的矩阵。

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## 四、线性变换的值域、核

### (1) 定义

- **值域**：$\text{Im}(\sigma) = \{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ 称为线性变换 $\sigma$ 的**值域**，记作 $\text{Im}(\sigma)$。[来源：p41]

- **核**：$\text{Ker}(\sigma) = \{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha) = 0\}$ 称为线性变换的**核**，记作 $\text{Ker}(\sigma)$。[来源：p41]

- **秩**：线性变换 $\sigma$ 的值域的维数，称为线性变换 $\sigma$ 的**秩**，记作 $r(\sigma)$。[来源：p43]

- **零度**：线性变换 $\sigma$ 的核的维数，称为线性变换 $\sigma$ 的**零度**，可记作 $\dim(\text{Ker}(\sigma))$（有些教材也写作 $r(\sigma^{-1}(0))$）。[来源：p43]

### (2) 定理/命题

- $\sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，则 [来源：p42]
  1. **线性变换 $\sigma$ 的值域是 $V$ 的子空间**
  2. **线性变换 $\sigma$ 的核是 $V$ 的子空间**

- ⭐ **秩-零度定理**：$\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，则 [来源：p44]

$$
\dim(\text{Im}(\sigma)) + \dim(\text{Ker}(\sigma)) = \dim(V) = n
$$


即**线性变换 $\sigma$ 的值域的维数 + 线性变换 $\sigma$ 的核的维数 = 线性空间 $V$ 的维数**。

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## 附录：公式速查表

### 线性空间

| 公式/结论 | 说明 |
|---------|------|
| $\alpha + 0 = \alpha$ | 零元素 |
| $\alpha + (-\alpha) = 0$ | 负元素 |
| $1 \cdot \alpha = \alpha$ | 数乘单位元 |
| $0 \cdot \alpha = 0$ | 数0乘向量 |
| $k \cdot 0 = 0$ | 数乘零向量 |
| $(-1) \cdot \alpha = -\alpha$ | 负元素的另一表达 |
| $k \cdot \alpha = 0 \Rightarrow k = 0$ 或 $\alpha = 0$ | 零因子性质 |

### 基变换与坐标变换

| 公式 | 说明 |
|------|------|
| $(\beta_1, \cdots, \beta_n) = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n)C$ | 过渡矩阵定义 |
| $(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) = (\beta_1, \cdots, \beta_n)C^{-1}$ | 逆过渡矩阵 |
| $x = Cy$ | 坐标变换（旧基坐标 = 过渡矩阵 × 新基坐标） |
| $y = C^{-1}x$ | 坐标变换的逆形式 |

### 线性变换

| 公式 | 说明 |
|------|------|
| $(\sigma(\alpha_1), \cdots, \sigma(\alpha_n)) = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n)A$ | 线性变换的矩阵定义 |
| 若在同一组基下 $\alpha$ 的坐标为 $x$，则 $\sigma(\alpha)$ 的坐标为 $Ax$ | 坐标与矩阵均相对于同一组基 |
| $B = C^{-1}AC$ | 不同基下矩阵的相似关系 |
| $\dim(\text{Im}(\sigma)) + \dim(\text{Ker}(\sigma)) = n$ | 秩-零度定理 |

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*本知识集锦严格基于上海交通大学线性代数课程第35、36、38讲PPT内容整理*